初中数学冀教版九年级上册26.3 解直角三角形优秀课时训练

这是一份初中数学冀教版九年级上册26.3 解直角三角形优秀课时训练，共24页。试卷主要包含了点关于原点中心对称的点的坐标是等内容，欢迎下载使用。


1．点关于原点中心对称的点的坐标是（ ）
A．（，）B．（，）
C．（，）D．（，）
2．如图，已知窗户高米，窗户外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板米，当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则的关系式是（ ）
A．n=mtanα-0.2B．n=mtanα+0.2
C．m=ntanα-0.2D．m=ntanα+0.2
3．已知△ABC 中， ∠C=90°，tanA= ，D 是 AC 上一点， ∠CBD=∠A， 则 cs∠CDB的值为（ ）
A．B．C．D．2
4．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，平移后的抛物线与轴交于A、B两点，顶点是点，连接、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，B转动，测量知．当转动到时，点C到的距离是（ ）（结果保留小数点后一位，参考数据：）
A．B．C．D．
8．如图，已知点M，N分别是矩形边和的中点，点E在边上，将沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C地表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地，导航显示车辆应沿北偏东方向行驶至B地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达C地，则B，C两地的距离为（ ）．（结果保留根号，参考数据：，，）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，sin∠COD=，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2．则下列结论：①BD=8；②点P在运动过程中，PE+PF的值始终保持不变，为；③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN=5：6时，则DM：AG=5：6．其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
11．一个直角三角形的两边长分别为3和4，则较小的锐角的正切值是 .
12．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是 ．

13．如图，矩形的边上有一点P，且，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接EF，则=
14．如图，矩形ABCD的边长，如果矩形ABCD以B为中心，按顺时针方向旋转到的位置（点落在对角线BD上），则△的形状为 ．
15．东太湖风景区美丽怡人，如意桥似浮在太湖之上富有灵动起飞的光环．小亮在如意桥上看到一艘游艇迎面驶来，他在高出水面的A处测得在C处的游艇俯角为；他登高到正上方的B处测得驶至D处的游艇俯角为，则两次观测期间游艇前进了 米．（结果精确到，参考数据：）
16．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点A落在的中点E处，折痕为，点F，G分别在边 上，则tan值为 ．
17．先化简，再求代数式：的值，其中．
18．在中，，，为锐角且．
(1)求的面积；
(2)求的值；
(3)求的值．
19．如图，在平行四边形中，于点，于点，平行四边形的周长为28，面积为40，．求：
(1)的长；
(2)的值．
20．如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．
(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？
(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？
21．如图，菱形中，、相交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，当，，求的值．
22．如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼和成轴对称，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼边缘，且与闸机侧立面夹角．
(1)求闸机通道宽度，即和之间的距离；
(2)经实践调查，：至：该公园入园游客较多，图为该公园：至：每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为人．
①求出：：时段的入园游客人数；
②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过人”或“在园内游客总数超过人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因．
23．小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为．
(1)点坐标为______，段关于的函数解析式为______；
(2)小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式；
(3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：，，）
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、计算题
评卷人
得分
四、解答题
评卷人
得分
五、作图题
参考答案：
1．D
【分析】利用特殊角的三角函数值确定出M坐标，找出关于原点中心对称的点坐标即可．
【详解】解：点化简得：，
所以关于原点对称的点的坐标是（，），
故选：D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，原点对称，熟练掌握特殊角的三角函数值，原点对称是解题的关键．
2．C
【分析】根据CB=CA+AB求出CB的长，再利用三角函数求出m的值即可．
【详解】解：∵窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=n米，
∴CB=CA+AB=（m+0.2）米，
∵光线与水平线成α角，
∴∠BDC=α，
∵tan∠BDC=，
∴CB=n•tanα，
∴m=ntanα-0.2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
3．B
【分析】由已知条件，可得，设，由题意可得，即可算出，在中，根据勾股定理可得，由余弦定义进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
设，
，
，
在中，
，
．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
4．B
【分析】先根据抛物线的平移得到平移后的抛物线的表达式，并转换为顶点式，得到平移后抛物线的顶点的坐标，并计算出平移后的抛物线与轴交点坐标，计算出AC的长度，即可得到答案．
【详解】抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
平移后的解析式为，
顶点的坐标为，
令，得，
解得：或，
点，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质和直角三角形的正弦，解题的关键是掌握二次函数的平移规则，即上加下减，左加右减 ．
5．B
【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BCF+∠BFC＝90°，
根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理得：BF＝＝＝6，
则tan∠BCF＝＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键．
6．D
【分析】设AB=x，利用正切值表示出BC和BD的长，CD=BC-BD，从而列出等式，解得x即可．
【详解】设AB=x，由题意知，∠ACB=α,∠ADB=β,
∴，，
∵CD=BC-BD，
∴，
∴，即AB=，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．D
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．
【详解】如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM中，
∵∠BAE=60°，AB=16，
∴（cm），
∠ABM=90°-60°=30°，
在Rt△BCD中，
∵∠DBC=∠ABC-∠ABM=50°-30°=20°，
∴∠BCD=90°-20°=70°，
又∵BC=8，
∴BD=sin70°×8≈0.94×8=7.52（cm），
∴CN=DM=BM-BD=8-7.52≈6.3（cm），
即点C到AE的距离约为6.3cm，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
8．C
【分析】先证四边形是矩形，得到，由折叠的性质可，，，得到，可以得到，则，得，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点M，N分别是矩形边和的中点，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵沿折叠，使点C恰好落在线段上的点F处，得到三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、特殊角的三角函数、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．C
【分析】先作BD⊥AC于D点，根据题意可在Rt△ABD中，设，则，以及，然后在Rt△CBD中，利用正切函数的定义建立方程求解并检验即可得出的值，从而得到BD的长度，同样在Rt△CBD中，利用余弦的定义即可求出BC的长度．
【详解】解：如图所示，作BD⊥AC于D点，则∠ADB=∠CDB=90°，
则由题意可知，∠A=60°，∠ABD=30°，∠CBD=53°，
在Rt△ABD中，设，则，
∴，
在Rt△CBD中，，
即：，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，
∵，
∴，
即：，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形，理解并熟练掌握三角函数的基本定义是解题关键．
10．B
【分析】由特殊角的三角函数值可得出∠COD=60°，再结合矩形的性质可证△AOB和△COD是等边三角形，即得出BD=2OA=2AB=8，可判断①正确；连接OP，由勾股定理可求出BC=，再根据矩形的性质可求出S△AOD=S矩形ABCD=，最后由 S△AOD=S△AOP+S△DOP结合三角形面积公式即可求出PE+PF的长，可判断②正确；由，即得出PE2+PF2≥2PE•PF，从而由S1+S2=PE2+PF2≥(PE+PF)2=6，得出当且仅当PE=PF=时，等号成立，可判断③正确；由题意易证△APE∽△DPF，即得出．再由，得出 ，可判断④错误．
【详解】解：①∵sin∠COD=，
∴∠COD=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OD=OB，
∴△AOB和△COD是等边三角形，
∴BD=2OA=2AB=8，故①正确；
②如图，连接OP，
由①知BD=8，
∴矩形ABCD的两边AB=4，BC=，
∴S矩形ABCD=AB•BC=，
∴S△AOD=S矩形ABCD=，OA=OD=4，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=OA(PE+PF)=×4×(PE+PF)=，
∴PE+PF=，故②正确；
③∵，
∴PE2+PF2≥2PE•PF，
∴S1+S2=PE2+PF2=( PE2+PF2+PE2+PF2)≥(PE2+PF2+2PE•PF)=(PE+PF)2=6，
当且仅当PE=PF=时，等号成立，故③正确；
④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF，
∴△APE∽△DPF，
∴．
∵，
∴，故④错误．
综上所述，其中正确的结论有①②③．
故选B．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识，较难．利用数形结合的思想是解题关键．
11．或
【分析】分两种情况分别计算，即可求得．
【详解】解：当3和4是直角三角形的两条直角边时，
故此时较小的锐角的正切值是；
当斜边长是4时，另一条直角边长为：，
故此时较小的锐角的正切值是，
故较小的锐角的正切值是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了求一个角的正切值，勾股定理，分类讨论是解决本题的关键．
12．1
【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断△ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．
【详解】解：连接AB，
由勾股定理得：AB＝，AO＝，OB＝，
∴AB＝AO，，
∴△ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
13．
【分析】过点E作于点M，证明，利用对应边成比例可得出PF：PE的值，继而得出．
【详解】解：过点E作于点M，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，求正切，证明是解题的关键．
14．等边三角形
【分析】根据特殊角三角函数值求出∠CDB的度数，然后根据旋转的性质和等边三角形的判定即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC＝AB＝1，BC＝AD＝，∠DCB＝90°，
∴tan∠CDB＝，即∠CDB＝60°；
由旋转的性质可知：BD＝，
∴△为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角三角函数值，旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是抓住旋转过程中的不变量，灵活运用有关性质来解题．
15．36
【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可．
【详解】解：设BA与CD的延长线交于点O，
根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，
在Rt△BOD中，，
解得：，
在Rt△AOC中，，
，
答：两次观测期间龙舟前进了米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法．
16．/
【分析】如图，连接交于O，连接，则为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得出，中，根据锐角函数的定义由，，分别得出CE，BE的长，中，利用勾股定理得出AE的长，根据折叠的性质得出，，设，则，中利用勾股定理建立方程，求解得出EF的长，中，利用勾股定理算出的长，根据正切函数的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于O，连接
在菱形纸片中，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴在中， ，
∴中， = ，
由折叠可得，， = ，
设，则，
∵中，，
∴，
解得x= ，即 ，
∴中， ，
∴= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，根据菱形的性质和等边三角形的性质得到和是直角三角形，由折叠的性质得到是直角三角形是解答本题的关键．
17．，
【分析】先根据分式的混合运算化简，再求出x的值，最后将x的值代入化简后的代数式中进行计算即可得．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，三角函数，二次根式的混合运算，解题的关键是将分式正确化简．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出；
（3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
∴，
∵为锐角且，
∴，
∴，
∴，
∴，
在，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴的面积为．
（2）∵，，
∴，
在中，
．
∴的值为．
（3）在中，，，
∴．
∴的值为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．
19．(1)5
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由，求出，，再根据平行四边形面积公式求解即可；
（2）先证明，在中，，则．
【详解】（1）解：∵平行四边形中，，，平行四边形的周长为28，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵在四边形中，，，，
∴，
又∵在平行四边形中，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，求角的正弦值，四边形内角和定理等等，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
20．(1)B处离岛C有10海里；有触礁危险，证明见解析
(2)没有触礁危险，证明见解析
【分析】（1）过C作于O，通过证明，即可求出CB的长；判断C到AB的距离即CO是否大于9，如果大于则无触礁危险，反之则有；
（2）过C作交BF于D，交BO于E，求出CD的长度即可作出判断．
【详解】（1）过C作于O，CO为渔船向东航行到C的最短距离，
∵在A处测得岛C在北偏东的方向，
∴，
又∵B处测得岛C在北偏东方向，
∴，，
∴，
∴（海里），
∵，，
∴，
∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险；
（2）过C作交BF于D，交BO于E，
，
∴没有触礁危险．
【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义得，则，再由勾股定理得，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
（2）解：如图，
四边形是菱形，
，，，
在中，，，
，
，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)①人；②：：和：：需要限流，理由见解析
【分析】（1）过A作于点，过作于点，根据三角函数即可得到答案；
（2）平均数为人，设：：人数为，然后根据平均数概念列出方程求解即可．
【详解】（1）解：过A作于点，过作于点，
直角三角形中，，
同理，且，，
与间的距离为．
（2）①平均数为人，设：：人数为，
，
，
：：时段的入园游客人数为；
②：：和：：需要限流，
：：限流原因：入园人数是，超过；
：：限流原因如下：
：：入园总人数为人超过人；
：：入园人数为：人，超过人；
：：时段入园游客超过人或在园内游客总数超过人．
【点睛】此题考查的是条形统计图，掌握三角函数和平均数的概念是解决此题关键．
23．(1)，
(2)，
(3)9秒
【分析】（1）通过三角函数值和已知题意信息可以解出A点坐标，再通过A点坐标和原点进而确定段的函数解析式．
（2）通过段对应的无人机飞行的路程和速度求出小明所花的时间，再由三角函数和（1）问得到小明所走的路程，进而解出小明在段的速度，由A，点确定段解析式．
（3）通过段和段的函数解析式分别求出无人机与小明之间距离为时所用的时长，进而计算出无人机与小明之间距离不超过的时长．
【详解】（1）解：如图，过A点作于点，

，
，
，斜坡的坡度：：，
，，
点A坐标为，
设段关于的函数解析式为，
代入，，
解得：，
段关于的函数解析式
，
故答案为：；．
（2）解：在中，，，
，
，
，，
在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为，
小明在斜坡上跑步的时间为：，
小明在斜坡上的跑步速度是：，
，，
，
，
设段关于的函数解析式为：代入，，
得：，
解得：，
段关于的函数解析式为；
故答案为：．
（3）解：在段上无人机与小明之间的距离为时，
则有：，
解得：，
无人机飞行的时间为；
在段上，无人机与小明之间距离为时，则有：，
解得：，
无人机飞行的时间为，
无人机与小明之间距离不超过的时长为：．
【点睛】本题主要考查一次函数应用和解直角三角形，关键在于一次函数的应用和对题意的推断能力．