冀教版九年级上册数学第二十八章圆（A卷-）含解析答案

第二十八章圆（A卷-）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．下列语句中，正确的是（    ）

A．任何一个圆都只有一个圆内接三角形

B．钝角三角形的外心在三角形内部

C．三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点

D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点

2．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（   ）

A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE

3．如图，点A，B，C，D，E在上，所对的圆心角为50°，则等于（    ）

A． B． C． D．

4．如图，是的直径，弦于点E，若，则弦的长是（　　）

A． B． C．6 D．8

5．一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

6．点M在内，cm，若的半径是5cm，则过点M的最短弦的长度为（　　）

A．3cm B．6cm C．cm D．cm

7．如图，点D为外接圆上弧的中点，已知，，，则的长为（   ）

A．4 B．

C． D．

8．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到，则C点运行痕迹长为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，中，，点O是边上的一点，与分别相切于点A、E，点F为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是（　　）

A． B． C． D．

10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）

A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米

11．如图A、B、C是上的三点，且，则    °．

12．在中，，，则这个三角形的外接圆的直径是     ．

13．如图，是半圆的直径，，则的长为  ．

14．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为      ．（结果保留）

15．设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为           ．

16．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为      ．

17．如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，试求的度数．

18．如图，隧道的截面由圆弧和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道的顶端（圆弧的中点）高出道路（）．

(1)求圆弧所在圆的半径；

(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高，宽，问这辆货运卡车能否通过该隧道？

19．如图，是的直径，是弦，点，在的两侧．若，，求弧的长．

20．如图，的直径长为10，点C在圆上，的平分线交于点D，．

(1)求的度数；

(2)求弦的长．

21．如图，是等腰三角形底边的中点，过点 作．

(1)求证：是的直径；

(2)延长交于点，连接，求证：；

(3)若，，求长．

22．如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．

(1)求证：．

(2)若，，求阴影部分的面积．

23．如图，在矩形ABCD中，，，P，Q是对角线BD上两个动点（不与B，D重合），且，于点E，经过点P，Q，E的⊙O交AB于另一点F．

(1)当点P在点Q的左侧时，求PQ的长（用含x的代数式表示）．

(2)若点F在的中点，求x的值．

(3)M是AB的中点，是否存在一个x的值，使得△BMO的周长最小，若存在，请直接写出△BMO的周长，若不存在请说明理由．

参考答案：

1．D

【分析】根据确定圆的条件、三角形外接圆的性质以及外心的定义分析得出即可．

【详解】A、任何一个圆有无数个圆内接三角形，故本选项不符合题意；

B、钝角三角形的外心在三角形外部，故本选项不符合题意；

C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故本选项不符合题意；

D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了三角形的外心的定义、确定圆的条件、外心的性质，熟记外心的性质是解题的关键．

2．C

【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答；

【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点是的外心．

故答案选C．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键．

3．B

【分析】连接，利用圆内接四边形对角互补求解即可．

【详解】解：连接，

∵四边形是的内接四边形，

∴，

∵所对的圆心角为，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记“圆内接四边形对角互补”是解题的关键．

4．C

【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可．

【详解】解：连接，

∵是的直径，弦，

∴，

∵，

∴，

∴

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．

5．B

【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可；

【详解】解：该扇形的半径为：，

∴扇形的面积为：，

故选：B．

【点睛】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键．

6．D

【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得．

【详解】解：在过点的所有的弦中，最短的弦长为垂直于的弦，即，连接，

在中，．．根据勾股定理可得：，

根据垂径定理可得：cm．

故选：D．

【点睛】本题考查了综合运用垂径定理和勾股定理进行计算，此题关键是能够正确分析出其最短的弦．

7．D

【分析】过点C作，交于点E，由圆周角定理可得，，再利用锐角三角函数，求出和的长，即可求解．

【详解】解：过点C作，交于点E，如图，

点D为外接圆上弧的中点，，

，

，

，

，，

在中，，

，

，

在中，，

，

．

故选：D．

【点睛】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．

8．A

【分析】由旋转的性质可得所在圆的半径和圆心角度数，再根据弧长计算公式进行计算即可．

【详解】解：由题意得，，

由弧长的计算方法可得，的长为，

故选：A．

【点睛】本题考查旋转的性质，弧长的计算，理解旋转的性质，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．

9．A

【分析】根据菱形的性质得，根据圆周角定理得，根据切线性质得，求出，然后根据直角三角形性质、扇形面积公式计算，最后得到答案．

【详解】解：四边形是菱形，

，

由圆周角定理得：，

与分别相切于点A、E，

，

，

，

，

，，，

，

，，

，

阴影部分面积==．

故选A．

【点睛】此题考查了切线的性质、菱形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式、圆周角定理、勾股定理等知识；熟练掌握并运用相关性质是解题的关键．

10．A

【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．

【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，

连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，

在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，

∴OD===，

∴CD=OC﹣OD=4﹣，

即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，

故选：A．

【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．

11．50

【分析】根据圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理即可求得的度数．

【详解】解：，，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是综合运用圆周角定理和等腰三角形的性质．

12．或/10或8

【分析】根据题意，结合半圆（直径）所对的圆周角是直角，可得这个三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边长，然后分两种情况：斜边为和斜边为，利用勾股定理，分别进行计算即可．

【详解】解：∵是直角三角形，

∴这个三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边长，

∴当斜边为时，则这个三角形的外接圆的直径是，

当斜边为时，则这个三角形的外接圆的直径是，

综上可得，这个三角形的外接圆的直径是或．

故答案为：或

【点睛】本题考查了三角形外接圆、圆周角定理、勾股定理，解本题的关键在根据圆周角定理，得出这个三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边长．

13．

【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据弧长公式计算即可．

【详解】解：连接，

由圆周角定理得，，

∴ 的长= ．

故答案是： ．

【点睛】本题考查的是圆周角定理及弧长的计算，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式：（弧长为l,圆心角度数为n，圆的半径为R）．

14．．

【分析】利用勾股定理求出AB=2，根据旋转的性质得到旋转角为∠=60°，再由弧长计算公式，计算出结果．

【详解】解：∵，，，

∴AB=2AC，

设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：

，

解得：x=1，

则：AC=1，AB=2，

∵将绕点逆时针旋转角（）得到，且点落在边上，

∴旋转角为60°，

∴∠=60°，

∴点所经过的路径长为： ，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质和弧长的计算公式，解题关键在于找到旋转角，根据弧长公式进行计算．

15．17或7/7或17

【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．

【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，

∵ABCD，OE⊥CD，

∴OF⊥AB，

由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5，

在Rt△CEO中，OE==12；

同理，OF==5，

故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；

②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC，

同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；

故答案为：17或7．

【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．

16．/

【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，然后根据勾股定理可得问题的答案．

【详解】解：∵点A关于DE的对称点P，

∴DA=DP=6，

∴P在以D为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接BD，交圆D于P′，

∴BP′为最小值，

∵AB=4，AD=6，∠DAB=90°，

∴BD=，

∵半径为6，即DP′=6，

∴BP′=2-6．

故答案为：2-6．

【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键．

17．

【分析】连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解．

【详解】解：连接，

，，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质及等腰三角形的性质，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．

18．(1)所在圆的半径为

(2)这辆货运卡车能通过该隧道．

【分析】（1）设圆心为点O，半径为，再根据垂径定理、勾股定理即可得；

（2）如图（见解析），先利用勾股定理的长，然后与车宽进行大小比较即可．

【详解】（1）如图，设圆心为点O，半径为，连接OE交AD于点F，连接OA、OD，

由垂径定理得：OF垂直平分AD

四边形ABCD是矩形，

，

，

在中，，即

解得

即所在圆的半径为；

（2）解：如图，在上取点，且使，过作交于点，连接，

依题意，圆弧所在圆的半径为，到的距离为7m，则点到的距离为，

则点到的距离为(m)，

在中，(m)

∵

∴这辆货运卡车能通过该隧道．

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的实际应用，熟练掌握垂径定理是解题关键．

19．

【分析】根据平角定义和已知求出，，，可得，然后求出半径，再根据弧长公式计算即可．

【详解】解：∵，，

∴，，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴弧CD的长为．

【点睛】本题考查了弧长公式的应用，能求出半径的长是解此题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答；

（2）根据角平分线的定义可得，从而可得，再利用直径所对的圆周角是直角可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．

【详解】（1）解：∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴的度数为；

（2）解：∵平分，

∴，

∴，

∵是的直径，

∴，

在中，

∴

∴

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论及勾股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．

21．(1)见详解

(2)见详解

(3)

【分析】（1）连接；根据等腰三角形三线合一的性质和圆周角定理的推论即可证明；

（2）根据等腰三角形的两底角相等以及同弧所对的圆周角相等可证；从而得出结论；

（3）先证明，根据相似三角形的性质求出的长，进而得出结果；

【详解】（1）证明：如图，连接；

在等腰中，为底边的中点，

，即：

∴是的直径

（2）证明：在等腰中，

均为 所对的圆周角

（3）解：

【点睛】本题考查了圆周角定理以及推论、等腰三角形三线合一的性质、相似三角形的性质；综合运用这些性质是解决问题的关键．

22．(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；

（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．

【详解】（1）证明：∵=，

∴∠ACD＝∠DBA，     

又∠CAB＝∠DBA，

∴∠CAB＝∠ACD，  

∴；

（2）解：如图，连结OC，OD．

∵∠ACD＝30°，

∴∠ACD＝∠CAB＝30°，

∴∠AOD＝∠COB＝60°,

∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．

∵，

∴S△DOC=S△DBC，                             

∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，

∵AB＝4，

∴OA＝2，

∴S扇形COD=．                      

∴S阴影=．

【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．

23．(1)

(2)或

(3)存在，

【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理可得的长，根据即可求解；

（2）连接，交于点，证明是等边三角形，可得，表示出，分当点P在点Q的左侧，当点P在点Q的右侧时，根据点F在的中点，得出列出方程，解方程即可求解；

（3）当圆心O落在线段DM上时，即△BMO的周长取到最小，勾股定理求得，即可求解．

【详解】（1）解：在矩形ABCD中，，，，，

∴，

∴，

当点P在点Q的左侧时，

∴；

（2）解：如图，连接，交于点，

∵

∴,

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，，

∴  ，

∵，

∴⊙O是以PF为直径的圆，

∴，

∵点F在的中点，

∴,

∴，

∴，

当点P在点Q的左侧时如图

，

解得：，

当点P在点Q的右侧时如图，

，

解得：，

∴综合以上得点F在的中点时，或；

（3）存在，，

∵，

如图当圆心O落在线段DM上时，即△BMO的周长取到最小，

∵为的中点，

∴,

在中，，

∴最小值为．

【点睛】本题考查了矩形的性质，90度圆周角所对弦的是直径，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握以上知识是解题的关键．