冀教版九年级上册数学第二十八章圆（B卷）含解析答案

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第二十八章圆（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

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一、单选题
1．投掷飞镖是大众喜爱的一项游戏，如图所示的标靶由一个中心圆和九个等宽的圆环组成，中心圆的半径为1，每个圆环的宽度也为1（标靶的半径为10）．则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．
2．如图，是的直径，若弧度数是，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（    ）

A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）
4．如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为（　　）

A．144π B．256π C．400π D．441π
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，连接EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（    ）

A． B． C． D．1
6．某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P． A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（   ）

A．20 m B．20m
C．（20 - 20）m D．（40 - 20）m
7．如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，过AB的中点E有一动弦CD（点C只在上运动，且不与A、B重合），设EC=x，ED=y，下列能够表示y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B． C． D．
8．如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个相同的半圆①和⑦、等腰直角三角形②、角不规图形③、直角梯形④、圆不规图形⑤、圆⑥组成，已知AJ＝BK．为庆祝北京冬奥会，小明将这个智力七巧板拼成一个滑冰运动员的图案，如图2所示，若AB平行地面MN，AJ＝2，则该图案的高度是（    ）

A．8 B． C． D．
9．某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（    ）
小组
测量内容
甲
的长
乙
的长
A．两组测量数据都不足 B．甲组 C．乙组 D．两组都可以
10．在平面直角坐标系中， 已知点， 点是轴上一个动点， 当时， 点的坐标为（    ）
A． B．或 C． D．或

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二、填空题
11．已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，则该圆的半径为 cm．
12．在中，是它的外心，cm，到的距离是5cm，则的外接圆的半径为 cm．
13．如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号跑道长 m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）．

14．如图，以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的⊙P与平行于y轴的直线交于M，N两点．若点M的坐标是，则点N坐标为 ．

15．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点．若，则 ．（用含的代数式表示）

16．是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ．


评卷人
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三、解答题
17．如图，为的直径，弦于点，于点，若，，求、的长度．









18．如图，四边形是的内接四边形，，，，，求的长．









19．如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交于点F，连结．

(1)求证：；
(2)若，求的长；








20．已知如图，AB是的直径，的平分线交于点D．

(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，，求的半径．








21．阅读下列材料，并按要求解答相关问题：
【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．
如图1，若是一条定线段，且，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边为直径的（直径两端点A、B除外）

(1)已知：如图2，四边形是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接相交于点P．
①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出的度数．
②求点P运动的路经长．
(2)已知：如图3，在图2的条件下，连接，请直接写出E、F运动过程中，的最小值．








22．如图，在梯形中，动点在边上，过点作，与边交于点，过点作，与边交于点，设线段．

(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；
(3)如图，作的外接圆，当点在运动过程中，外接圆的圆心落在的内部不包括边上时，求出的取值范围．









评卷人
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四、作图题
23．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．
（2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．

参考答案：
1．C
【分析】根据圆环面积等于大圆面积减小圆面积即可求解．
【详解】解：S阴=
=
=．
故选C．
【点睛】本题考查了圆环的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．
2．C
【分析】连接，根据弧的度数，得出，再根据等边对等角，得出，即，再根据三角形的内角和定理，即可得出的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵弧度数是，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．

故选：C
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系、等边对等角、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
3．B
【分析】根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可．
【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，

则点P为△ABC外接圆的圆心，
由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键．
4．C
【分析】根据垂径定理，勾股定理求出，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，过点作于，
，过圆心，是弦，
，
，
在中，，
在中，，
，
故选：C．

【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
5．A
【分析】根据翻折及E为AB中点，得到，∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动．结合题意， G点运动的路径为的长．当F与D点重合时，由三角函数定义计算得，从而得到，再计算的长．
【详解】解：∵点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，连接EF，将沿EF折叠，
∴，
∴G点在以E为圆心，AE长为半径的圆上运动．
当F与D点重合时，如图，
则G点运动的路径为．
∵AB＝2，点E为AB中点，
∴，
∵矩形ABCD，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵将沿EF折叠，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．

【点睛】本题考查了与圆相关的动点轨迹问题，运用翻折的性质结合三角函数的基础知识求得轨迹对应的圆心角度数是解题的关键．
6．D
【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．
【详解】∵人工湖面积尽量小，

∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，
过点B作BC ⊥，垂足为C，
∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，
∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，
∴OC=CB=CP=20，
∴OP=40，OB==，
∴最小的距离PE=PO-OE=40 - 20（m），
故选D．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．
7．C
【分析】根据相交弦定理可知，x和y成反比例关系，在根据弦长确定函数自变量的取值范围即可．
【详解】如图：当CD经过圆心时，CD⊥AB，且CD平分AB，

∵AB=8，
∴AE=4，
∴OE=，
∴CE=CO-CE=5-3=2，DE=CD-CE=10-2=8，
即当x=2时，y=8．
∴xy=16，即y=，
当CD和AB重合时：

∵AB=8，
∴CD=8，
∴CE=DE=4，
即当x=4时，y=4，
∵点C不与点A和点B重合，
∴图像上（4，4）应为空心．
故选：C
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，垂径定理，相交弦定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．相交弦定理，过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等．
8．B
【分析】由已知可知③⑤⑥的高度都为2，直角梯形④的锐角为45°，图1中B到HG的距离为2，所以下图中RP=2，由已知得OR=1，即OQ=OQ，推出，从而得出答案．
【详解】解：由图1中的数据可知③⑤⑥的高度都为2，MN是半圆⑦的切线，
如图是直角梯形④和半圆⑦，作RP⊥AB，OT⊥MN，RQ⊥OT

图1中，∵∠KBA=45°，
∴∠GBC=45°=∠HGB，即直角梯形④的锐角为45°，
∴∠PRO=∠ORQ=45°，
∵图1中B到HG的距离为2，
∴图中RP=2，
∵半圆⑦的直径为2，
∴OR=1，OQ=OR=,
∴QT=,
∴高度为6＋PR＋QT=；
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，理清题意，找准线段之间的关系是解题的关键．
9．D
【分析】乙的做法的合理性为可由垂径定理求出HK，又知KL，由直角三角形的勾股定理可求出答案；甲组做法的合理性由弧长公式和两条半径之间的关系列方程组求解即可．
【详解】解：甲、乙两组的做法都可以，

乙组做法的理由：如图2，根据测量数据可知，HG=KL，GN=HM，由垂径定理可求出HK，在直角三角形OHK中，由勾股定理可求出OH，进而求出OL，问题得以解决；
甲组做法的理由：如图1，由于已知AB，可以设外圆半径为R，则可表示内圆半径OA，根据弧长公式列方程组可求出R即可，
所以甲、乙两组做法均可，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，直角三角形的边角关系，弧长的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及弧长的计算方法是解决问题的关键．
10．D
【分析】根据题意，分类讨论当点C在y轴的正半轴时和当点C在y轴的负半轴时，利用圆周角定理和勾股定理，可以求得点C的坐标．
【详解】解∶设线段AB的中点为E，
∵点、，
∴ ，
当点C在y轴的正半轴时，如下图所示，

过点E在第二象限作，且，则为等腰直角三角形，，；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作，与y轴的正半轴交于点C，为的圆周角，
∴，即点C即为所求
过点P作轴于点F，则，
∵在中，．
∴ ，
∴，
∴点C坐标为；
当点C在y轴的负半轴时，如下图所示，

过点E在第三象限作，且，则为等腰直角三角形，，；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作，与y轴的负半轴交于点C，为的圆周角，
∴，即点C即为所求
过点P作轴于点F，则，
∵在中，．
∴ ，
∴，
∴点C坐标为．
综上所述，点C坐标为或，
故选∶D ．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，圆周角定理，由的园周角联想到的圆心角是解题的关键，也是本题的难点所在．
11．7.2
【分析】设圆的半径为r cm，根据弧长公式列式计算即可．
【详解】解：设圆的半径为r cm，
则，
解得，r=7.2，
故答案为：7.2．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
12．13
【分析】根据外心的性质可知OD垂直平分BC，可知△BOD为直角三角形，BD＝BC＝12，OD＝5，由勾股定理可求半径OB．
【详解】解：如图所示，

∵O为外心，OD⊥BC，
∴BD＝BC＝12，又OD＝5，
∴由勾股定理，得
OB＝（cm），
∴△ABC的外接圆的半径是13cm．
故答案为：13．
【点睛】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，得出BD的长是解题关键．
13． 6.28 6.28
【分析】利用各跑道直线跑道相等，每条跑道宽1m，两个半圆相加得一个整圆列出式子对比即可．
【详解】解：设直线部分长为l米
1号：
2号：
3号：
4号：
2号比1号长：
4号起点比2号起点前移：
故答案为：6.28，6.28
【点睛】本题考查了列代数式，圆的周长公式，整式的加减等知识点，熟练掌握是解题的关键．
14．
【分析】过点作于点，由垂径定理即可求得，易证得四边形是矩形，即可得，设,在中，由，可得方程，继而可求得答案．
【详解】
解：过点P作于点A，如图所示：
∴，
∵以y轴上的点P为圆心，过坐标原点O的与平行于y轴的直线交于两点．
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设,
则PM=OP=a,
∵点M的坐标是，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴点N的坐标为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理等知识，注意掌握辅助线的作法，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15．
【分析】连接，如图，根据圆内接四边形的性质得，再根据三角形外角性质得，则，然后根据三角形内角和定理有即，再解方程即可．
【详解】解：连接，如图，

∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
16．/
【分析】先证明，如图，设交于点T．证明，推出点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出可得结论．
【详解】解：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
如图，设交于点T．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．，
【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出，根据勾股定理得出，求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出．
【详解】解：连接，

，
，
，
，
由勾股定理得：，
，过圆心，
，
，
设，则，
，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
即，
，过圆心，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记勾股定理是解此题的关键．
18．
【分析】延长、交于E，先利用含30度直角三角形的性质求得的长，然后解直角三角形求得的长，从而求得答案．
【详解】解：延长、交于E，
∵，四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
在中，，
∴．

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，含30度直角三角形的性质，解直角三角形等知识，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
19．(1)证明见解析；
(2)3．

【分析】（1）由圆周角定理及直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点作于点．由勾股定理求出，求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；
【详解】（1）证明：为的直径，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
平分，
，
；
（2）解：如图1，过点作于点．

，，
∴，
∴，
，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分的性质等，构造相似三角形、利用面积法求高是解题（2）的关键．
20．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据CD平分，可得对应弧相等，从而得出对应弦相等，得出为等腰三角形，再利用直径所对的圆周角是直角，即可获证．
（2）过点A作于点H，由AB是的直径，的平分线交于点D，，从而求得AH，CH的长，进而利用勾股定理即可求得AD的长，从而可求得AB的长，即可得解．
【详解】（1）证明∶∵CD平分，
，
，
，
为的直径，
，
为等腰直角三角形．
（2）解：如下图，过点A作于点H，
∵AB是的直径，的平分线交于点D，
，
，，
，
，
，
∵， ，
∴，
∴的半径．

【点睛】本题考查了圆周角定理、角平分线的性质、锐角三角函数以及勾股定理，圆周角定理的灵活运用以及熟练掌握勾股定理解直角三角形是本题的关键．
21．(1)①的大小不会发生变化，的度数总等于；②点P运动的路经的长；
(2)的最小值为．

【分析】（1）①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小不会发生变化，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质解答即可；
②利用题干中的结论和圆的弧长公式解答即可；
（2）通过分析得到当点P运动的轨迹的圆心与P，C两点在一条直线上时，取得最小值，利用勾股定理解答即可得出结论．
【详解】（1）解：①当点E从点B运动到点C的过程中，的大小不会发生变化，理由：
∵四边形是边长为8的正方形，
∴，
∵点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，
∴．
在和中，，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴当点E从点B运动到点C的过程中，的大小不会发生变化，的度数总等于；
②∵，是一条定线段，，
∴所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边为直径的圆，
由于点E与点B重合，点F与点C重合时，点P与点B重合，点E与点C重合，点F与点D重合时，点P与正方形的对角线的交点重合，
∴点P运动的路经为以的中点为圆心，以的长为半径，圆心角为的圆弧，
∴点P运动的路经的长；
（2）解：的最小值为，理由：
由（1）②知：在图2的条件下，在E、F运动过程中，点P运动的路经为以的中点为圆心，以的长为半径，圆心角为的圆弧，
∴当P，C两点与圆弧的圆心在一条直线上时，的值最小，
设的中点为O，则，
在中，
∵，
∴．
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的弧长公式，勾股定理，点的运动轨迹，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的结论是解题的关键．
22．(1)，
(2)或
(3)

【分析】（1）由题中条件、可知四边形是平行四边形，故CE；过点作垂线交于点，交于点，可得相似的和，用含、的表达式表示它们的边长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得关于的解析式；下一步即为求得和的各自边长，过点作垂线交延长线于点，由且可得四边形为矩形，则；在中，由勾股定理可算得的长度；在中，，则可由勾股定理求得的长度，，至此已求得所有所需边长，根据相似三角形边长比例关系：，代入各边长表达式即可得关于的解析式，再根据题中要求写出定义域即可；
（2）因为是以为腰的等腰三角形，，由勾股定理知，过点作交于点，则四边形是矩形，；在直角三角形中，运用勾股定理进行计算即可得解；
（3）根据三角形的外接圆圆心落在三角形的内部，得到为锐角三角形，分析点运动过程可知，随点向右运动角度不断减小，且和始终是锐角．
根据题意，令点的位置满足，则大于此时对应的长度就可使得外接圆圆的圆心落在的内部．
【详解】（1）解：如图所示：过点作交延长线于点，再过点作垂线交于点，交于点，

，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
化简得：，
点在上运动，故定义域为：；
（2）如图所示，此时是以为腰的等腰三角形，过点作交于点，

，
四边形是矩形，
又是以为腰的等腰三角形，
，
由（得，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即，
解得：的值为或，
因此，的值为或；
（3）解：分析点运动过程可知，随点向右运动角度不断减小，且和始终是锐角．
根据题意，令点的位置满足，则大于此时对应的长度就可使得外接圆圆的圆心落在的内部．
如下图所示，此时，

，
，
同角的余角相等，
同理可得：，
∽，
，
，
，
解得：，
综上可得，当时，外接圆圆的圆心落在的内部．
【点睛】本题考查矩形和平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的外接圆等知识点，解题的关键是熟练掌握并灵活运用以上性质．本题综合性较强，属于中考压轴题．
23．（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可；
（2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论．
【详解】解：（1）作出线段的垂直平分线，连接；  
以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示：

（2）结论：．理由如下：
由作图可得：是的垂直平分线，



四边形是圆的内接四边形，






【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键．