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人教版高中物理新教材同步讲义选修第二册 第2章 专题强化7 电磁感应中的电路、电荷量问题（含解析）
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电磁感应中的电路、电荷量问题[学习目标] 1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路.2.掌握电磁感应现象中感应电荷量求解的基本思路和方法．一、电磁感应中的电路问题处理电磁感应中电路问题的一般方法1．明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体相当于电源，其他部分是外电路．2．画等效电路图，分清内、外电路．3．用法拉第电磁感应定律E＝neq \f(ΔΦ,Δt)或E＝Blvsin θ确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向．注意在等效电源内部，电流方向从负极流向正极．4．运用闭合电路的欧姆定律、串并联电路特点、电功率等公式求解．例1 如图甲所示，线圈总电阻r＝0.5 Ω，匝数n＝10，其端点a、b与R＝1.5 Ω的电阻相连，线圈内磁通量变化规律如图乙所示．关于a、b两点电势φa、φb及两点电势差Uab，正确的是( )A．φa>φb，Uab＝1.5 VB．φa<φb，Uab＝－1.5 VC．φa<φb，Uab＝－0.5 VD．φa>φb，Uab＝0.5 V答案 A解析 由题图乙可知，线圈内的磁通量是增大的，根据楞次定律，感应电流产生的磁场与原磁场方向相反，即感应电流产生的磁场方向为垂直纸面向外，根据安培定则可知，线圈中感应电流的方向为逆时针方向．在回路中，线圈相当于电源，由于电流的方向是逆时针方向，所以a相当于电源的正极，b相当于电源的负极，所以a点的电势高于b点的电势．根据法拉第电磁感应定律得：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝10×eq \f(0.08,0.4) V＝2 V，I＝eq \f(E,R总)＝eq \f(2,1.5＋0.5) A＝1 A．a、b两点的电势差等于电路中的路端电压，所以Uab＝IR＝1.5 V，故A正确．针对训练1 如图甲所示，一个圆形线圈匝数n＝1 000匝、面积S＝2×10－2 m2、电阻r＝1 Ω，在线圈外接一阻值为R＝4 Ω的电阻．把线圈放入一个匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面向里，磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示．求：(1)0～4 s内，回路中的感应电动势；(2)t＝5 s时，电阻两端的电压U.答案 (1)1 V (2)3.2 V解析 (1)根据法拉第电磁感应定律可得E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)S由题图乙可知，0～4 s内，eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(0.4－0.2,4) T/s＝0.05 T/s解得E＝1 V.(2)由题图乙知，4～6 s内，eq \f(ΔB′,Δt′)＝eq \f(0.4,2) T/s＝0.2 T/s根据法拉第电磁感应定律有E′＝neq \f(ΔΦ′,Δt′)＝neq \f(ΔB′,Δt′)S＝4 V根据闭合电路的欧姆定律有I′＝eq \f(E′,R＋r)＝eq \f(4,4＋1) A＝0.8 A则电阻两端的电压U＝I′R＝0.8×4 V＝3.2 V.例2 如图所示，粗细均匀、电阻为2r的金属圆环，放在图示的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，圆环直径为l；长为l、电阻为eq \f(r,2)的金属棒ab放在圆环上，且与圆环接触良好，以速度v0向左匀速运动，当ab棒运动到图示虚线位置(圆环直径处)时，金属棒两端的电势差为( )A．Blv0 B.eq \f(1,2)Blv0 C.eq \f(1,3)Blv0 D.eq \f(2,3)Blv0答案 B解析 切割磁感线的金属棒ab相当于电源，其电阻相当于电源内阻，当运动到题图中虚线位置时，两个半圆金属环相当于并联，等效电路图如图所示．则R外＝R并＝eq \f(r,2)，I＝eq \f(E,R外＋\f(r,2))＝eq \f(Blv0,r).金属棒两端的电势差等于路端电压，则U＝IR外＝eq \f(Blv0,r)·eq \f(r,2)＝eq \f(1,2)Blv0，B正确．针对训练2 粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是( )答案 B解析 磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路可看成由三个相同电阻串联形成，A、C、D选项中a、b两点间电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压：U＝eq \f(1,4)E＝eq \f(Blv,4)，B选项中a、b两点间电势差的绝对值为路端电压：U′＝eq \f(3,4)E＝eq \f(3Blv,4)，所以a、b两点间电势差的绝对值最大的是B选项．1．“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”．2．电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极．二、电磁感应中的电荷量问题闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内通过某一截面的电荷量(感应电荷量)q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(\x\to(E),R总)·Δt＝neq \f(ΔΦ,Δt)·eq \f(1,R总)·Δt＝eq \f(nΔΦ,R总).由上式可知，线圈匝数一定时，通过某一截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关．例3 如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为d和2d的单匝闭合线框a和b，以相同的速度将线框从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外．若此过程中流过两线框的电荷量分别为Qa、Qb，则Qa∶Qb为( )A．1∶4 B．1∶2C．1∶1 D．不能确定答案 B解析 设闭合线框的边长为L，则流过线框的电荷量为Q＝IΔt＝eq \f(E,R)Δt＝eq \f(ΔΦ,RΔt)Δt＝eq \f(B·ΔS,R)＝eq \f(BL2,R)，R＝ρeq \f(4L,S横)，则Q＝eq \f(BS横L,4ρ)，则eq \f(Qa,Qb)＝eq \f(La,Lb)＝eq \f(d,2d)＝eq \f(1,2)，故选B.针对训练3 物理实验中，常用一种叫作“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量．如图所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R.若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可得出被测磁场的磁感应强度为( )A.eq \f(qR,S) B.eq \f(qR,nS) C.eq \f(qR,2nS) D.eq \f(qR,2S)答案 C解析 由题意知q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(\x\to(E),R)·Δt＝eq \f(n\f(ΔΦ,Δt),R)Δt＝neq \f(ΔΦ,R)＝neq \f(2BS,R)，则B＝eq \f(qR,2nS)，故C正确．1.如图所示，一个匝数为n的正方形线圈，边长为d，电阻为r.将其两端a、b与阻值为R的电阻相连接，其他部分电阻不计．在线圈中存在垂直线圈平面向里的磁场区域，磁感应强度B随时间t均匀增加，eq \f(ΔB,Δt)＝k.则a、b两点间的电压为( )A．nd2k B.eq \f(Rnd2k,R＋r) C.eq \f(rnd2k,R＋r) D.eq \f(nd2,kR＋r)答案 B解析 根据法拉第电磁感应定律可得：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)S＝nkd2，则a、b两点间的电压为Uab＝eq \f(RE,R＋r)＝eq \f(Rnd2k,R＋r)，故选B.2.(多选)粗细均匀的电阻丝围成边长为L的正方形线框，置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，磁感应强度大小为B，其右边界与正方形线框的bc边平行．现使线框以速度v匀速平移出磁场，如图所示，则在移出的过程中( )A．ad边的电流方向为a→dB．ad边的电流方向为d→aC．a、d两点间的电势差绝对值为eq \f(1,4)BLvD．a、d两点间的电势差绝对值为eq \f(3,4)BLv答案 BD解析 由右手定则可知，ad边的电流方向为d→a，选项A错误，B正确．在线框以速度v向右运动移出磁场的过程中，只有ad边在切割磁感线，产生感应电动势，则线框上的感应电动势E＝BLv；设每边的电阻为R，根据闭合电路的欧姆定律得I＝eq \f(BLv,4R)，a、d两点间的电势差的绝对值是路端电压，则Uad＝I·3R＝eq \f(3,4)BLv，选项C错误，D正确．3.如图所示，一个半径为L的半圆形导体AC以速度v在水平放置的光滑U形框架上匀速滑动，匀强磁场的磁感应强度为B，回路中定值电阻的阻值为R0，半圆形导体AC的电阻为r，其余电阻不计，则半圆形导体AC切割磁感线产生感应电动势的大小及A、C之间的电势差分别为( )A．BLv，eq \f(BLvR0,R0＋r) B．2BLv，BLvC．BLv，2BLv D．2BLv，eq \f(2BLvR0,R0＋r)答案 D解析 半圆形导体AC切割磁感线的有效长度为2L，根据法拉第电磁感应定律可知，AC切割磁感线产生感应电动势的大小为E＝2BLv；AC相当于电源，其两端的电压是外电压，则A、C之间的电势差U＝eq \f(2BLvR0,R0＋r)，故D正确．4.如图所示，闭合开关K，将条形磁体匀速插入闭合线圈，第一次用时0.2 s，第二次用时0.4 s，并且两次的起始和终止位置相同，则( )A．第一次磁通量变化量较大B．第一次的最大偏转角较大C．第一次经过的总电荷量较多D．若断开K，均不偏转，则均无感应电动势答案 B解析 由于两次条形磁体插入线圈的起始和终止位置相同，因此磁通量的变化量ΔΦ相同，故A错误；根据E＝neq \f(ΔΦ,Δt)可知，第一次磁通量变化较快，所以感应电动势较大，而闭合电路的电阻相同，所以第一次的感应电流较大，第一次的最大偏转角较大，故B正确；通过的电荷量q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(\x\to(E),R)Δt＝neq \f(ΔΦ,RΔt)·Δt＝neq \f(ΔΦ,R)，则两次通过的电荷量相同，故C错误；若断开K，虽然电路不闭合，没有感应电流，但感应电动势仍存在，故D错误．5．如图所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面．环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为eq \f(R,2)的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，导体棒与圆环接触良好，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时导体棒两端的电压为( )A.eq \f(Bav,3) B.eq \f(Bav,6) C.eq \f(2Bav,3) D．Bav答案 A解析 导体棒AB摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·eq \f(1,2)v＝Bav.外电路电阻大小为R外＝eq \f(\f(R,2)·\f(R,2),\f(R,2)＋\f(R,2))＝eq \f(R,4)，由闭合电路的欧姆定律有|UAB|＝eq \f(E,\f(R,2)＋\f(R,4))·eq \f(R,4)＝eq \f(1,3)Bav，故选A.6.如图所示，将一半径为r的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B的匀强磁场中用力握中间成“8”字形，并使上、下两圆半径相等．如果环的电阻为R，则此过程中流过环的电荷量为( )A.eq \f(πr2B,R) B.eq \f(πr2B,2R) C．0 D.eq \f(3πr2B,4R)答案 B解析 ΔΦ＝Bπr2－2×Bπ(eq \f(r,2))2＝eq \f(1,2)Bπr2，电荷量q＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(πr2B,2R)，B正确．7.固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd的边长为L，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线．匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．现有一段与ab段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ架在导线框上(如图所示)，PQ与导线框接触良好．若PQ以恒定的速度v从ad滑向bc，当其滑过eq \f(L,3)的距离时，通过aP段的电流为多大？方向如何？答案 eq \f(6BvL,11R) 方向由 P到a解析 PQ在磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势，由于是闭合回路，故电路中有感应电流，可将电阻丝PQ视为有内阻的电源，电阻丝aP与bP并联，且RaP＝eq \f(1,3)R、RbP＝eq \f(2,3)R，于是可画出如图所示的等效电路图．外电阻为R外＝eq \f(RaPRbP,RaP＋RbP)＝eq \f(2,9)R，总电阻为R总＝R外＋R＝eq \f(2,9)R＋R＝eq \f(11,9)R，又电源电动势为E＝BLv，则电路中的总电流为：I＝eq \f(E,R总)＝eq \f(9BLv,11R)，故通过aP段的电流为：IaP＝eq \f(RbP,RaP＋RbP)I＝eq \f(6BLv,11R)，方向由P到a.8.(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间都接阻值为R＝10 Ω的电阻．一接入电路的阻值为R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨垂直且接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小为B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场．下列说法中正确的是( )A．导体棒ab中电流的方向为由b到aB．cd两端的电压为1 VC．de两端的电压为1 VD．fe两端的电压为1 V答案 BD解析 由右手定则可知，A错误；E＝Blv＝0.5×1×4 V＝2 V，则Ucd＝eq \f(R,R＋R)E＝1 V，B正确；由于de间、cf间电阻没有电流流过，故Ucf＝Ude＝0，所以Ufe＝Ucd＝1 V，C错误，D正确．9．如图所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b＞a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环横截面的电荷量为( )A.eq \f(πB|b2－2a2|,R) B.eq \f(πBb2＋2a2,R)C.eq \f(πBb2－a2,R) D.eq \f(πBb2＋a2,R)答案 A解析 设开始时穿过导线环向里的磁通量为正值，Φ1＝Bπa2，则向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为eq \x\to(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)，则通过导线环横截面的电荷量为q＝|eq \f(\x\to(E),R)|·Δt＝|eq \f(ΔΦ,R)|＝eq \f(πB|b2－2a2|,R)，A项正确．10.用相同的导线绕制的边长分别为L和2L的正方形闭合线框，以相同的速度匀速进入右侧的匀强磁场，如图所示，在线框进入磁场的过程中，a、b和c、d两点间的电压分别为U甲和U乙，ab边和cd边所受的安培力分别为F甲和F乙，则下列判断正确的是( )A．U甲＝U乙 B．U甲＝2U乙C．F甲＝F乙 D．F甲＝eq \f(1,2)F乙答案 D解析 线框进入磁场后切割磁感线，甲中产生的感应电动势是乙中感应电动势的一半，设甲线框的电阻为4r，乙线框的电阻为8r，则有U甲＝BLv·eq \f(3r,4r)＝eq \f(3,4)BLv，U乙＝B·2Lv·eq \f(6r,8r)＝eq \f(3,2)BLv，故U甲＝eq \f(1,2)U乙，A、B错误；根据F＝BIL，E＝BLv，得出F甲＝eq \f(B2L2v,4r)，F乙＝eq \f(B22L2v,8r)，所以F甲＝eq \f(1,2)F乙，C错误，D正确．11．粗细均匀的电阻丝围成如图所示的线框，置于正方形有界匀强磁场中，磁感应强度为B，方向垂直线框平面向里，图中ab＝bc＝2cd＝2de＝2ef＝2fa＝2L.现使线框以同样大小的速度v匀速沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则在通过如图所示位置时，下列说法正确的是( )A．四个图中，图①中a、b两点间的电势差最大B．四个图中，图②中a、b两点间的电势差最大C．四个图中，图③中回路电流最大D．四个图中，图④中回路电流最小答案 A解析 设线框的电阻为R.题图①中：a、b两点间的电势差等于外电压，其大小为U1＝eq \f(3,4)E1＝eq \f(3,4)B·2Lv＝eq \f(3,2)BLv，电流为I1＝eq \f(E1,R)＝eq \f(2BLv,R)；题图②中：a、b两点间的电势差等于外电压的eq \f(1,3)，其大小为U2＝eq \f(1,4)E2＝eq \f(1,4)B·2Lv＝eq \f(1,2)BLv，电流为I2＝eq \f(2BLv,R)；题图③中：a、b两点间的电势差等于外电压的eq \f(2,7)，其大小为U3＝eq \f(BLv,4)，电流为I3＝eq \f(BLv,R)；题图④中：a、b两点间的电势差大小为U4＝eq \f(BLv,2)，电流为I4＝eq \f(2BLv,R).可见，题图①中a、b两点间的电势差最大，题图③中回路电流最小，故A正确，B、C、D错误．12．(多选)在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2.螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF.在一段时间内，穿过螺线管的磁场的磁感应强度B随时间t按如图乙所示的规律变化，螺线 管内的磁场B的方向向下为正方向．则下列说法中正确的是( )A．螺线管中产生的感应电动势为1 VB．闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为5×10－2 WC．电路中的电流稳定后电容器下极板带正电D．S断开后，流经R2的电荷量为1.8×10－5 C答案 CD解析 根据法拉第电磁感应定律得E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)S＝1 500×eq \f(1.0－0.2,2.0)×20×10－4 V＝1.2 V，A错误；根据闭合电路的欧姆定律得I＝eq \f(E,R1＋R2＋r)＝eq \f(1.2,4.0＋5.0＋1.0) A＝0.12 A，根据P＝I2R1，得R1的电功率P＝0.122×4.0 W＝5.76×10－2 W，B错误；根据楞次定律，螺线管感应电流沿逆时针方向(俯视)，即等效电源为上负下正，所以电路中电流稳定后电容器下极板带正电，C正确；S断开后，流经R2的电荷量即为S闭合时电容器所带电荷量Q，电容器两端的电压等于R2两端电压，故U＝IR2＝0.6 V，则流经R2的电荷量Q＝CU＝1.8×10－5 C，D正确．13．如图甲所示，水平放置的线圈匝数n＝200匝，直径d1＝40 cm，电阻r＝2 Ω，线圈与阻值R＝6 Ω的电阻相连．在线圈的中心有一个直径d2＝20 cm的有界匀强磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化，规定垂直纸面向里的磁感应强度方向为正方向．(1)求通过电阻R的电流方向；(2)求理想电压表的示数；(3)若撤去原磁场，在图中竖直虚线的右侧空间加磁感应强度B′＝0.5 T的匀强磁场，方向垂直纸面向里，试求在施加新磁场过程中通过电阻R的电荷量．答案 (1)A→R→B (2)4.71 V (3)1.57 C解析 (1)线圈内磁感应强度方向向里且增大，根据楞次定律判断可知通过电阻R的电流方向为A→R→B.(2)根据法拉第电磁感应定律得E＝neq \f(ΔB,Δt)S＝neq \f(ΔB,Δt)·π(eq \f(d2,2))2＝2π V，感应电流大小为I＝eq \f(E,R＋r)＝eq \f(2π,6＋2) A＝eq \f(π,4) A故电压表的示数为U＝IR≈4.71 V(3)根据法拉第电磁感应定律得，平均感应电动势为eq \x\to(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)，平均感应电流为eq \x\to(I)＝eq \f(\x\to(E),R＋r)则通过电阻R的电荷量为q＝eq \x\to(I)Δt＝neq \f(ΔΦ,R＋r)，ΔΦ＝B′·π(eq \f(d1,2))2代入数据解得q≈1.57 C.
电磁感应中的电路、电荷量问题[学习目标] 1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路.2.掌握电磁感应现象中感应电荷量求解的基本思路和方法．一、电磁感应中的电路问题处理电磁感应中电路问题的一般方法1．明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体相当于电源，其他部分是外电路．2．画等效电路图，分清内、外电路．3．用法拉第电磁感应定律E＝neq \f(ΔΦ,Δt)或E＝Blvsin θ确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向．注意在等效电源内部，电流方向从负极流向正极．4．运用闭合电路的欧姆定律、串并联电路特点、电功率等公式求解．例1 如图甲所示，线圈总电阻r＝0.5 Ω，匝数n＝10，其端点a、b与R＝1.5 Ω的电阻相连，线圈内磁通量变化规律如图乙所示．关于a、b两点电势φa、φb及两点电势差Uab，正确的是( )A．φa>φb，Uab＝1.5 VB．φa<φb，Uab＝－1.5 VC．φa<φb，Uab＝－0.5 VD．φa>φb，Uab＝0.5 V答案 A解析 由题图乙可知，线圈内的磁通量是增大的，根据楞次定律，感应电流产生的磁场与原磁场方向相反，即感应电流产生的磁场方向为垂直纸面向外，根据安培定则可知，线圈中感应电流的方向为逆时针方向．在回路中，线圈相当于电源，由于电流的方向是逆时针方向，所以a相当于电源的正极，b相当于电源的负极，所以a点的电势高于b点的电势．根据法拉第电磁感应定律得：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝10×eq \f(0.08,0.4) V＝2 V，I＝eq \f(E,R总)＝eq \f(2,1.5＋0.5) A＝1 A．a、b两点的电势差等于电路中的路端电压，所以Uab＝IR＝1.5 V，故A正确．针对训练1 如图甲所示，一个圆形线圈匝数n＝1 000匝、面积S＝2×10－2 m2、电阻r＝1 Ω，在线圈外接一阻值为R＝4 Ω的电阻．把线圈放入一个匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面向里，磁场的磁感应强度B随时间变化规律如图乙所示．求：(1)0～4 s内，回路中的感应电动势；(2)t＝5 s时，电阻两端的电压U.答案 (1)1 V (2)3.2 V解析 (1)根据法拉第电磁感应定律可得E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)S由题图乙可知，0～4 s内，eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(0.4－0.2,4) T/s＝0.05 T/s解得E＝1 V.(2)由题图乙知，4～6 s内，eq \f(ΔB′,Δt′)＝eq \f(0.4,2) T/s＝0.2 T/s根据法拉第电磁感应定律有E′＝neq \f(ΔΦ′,Δt′)＝neq \f(ΔB′,Δt′)S＝4 V根据闭合电路的欧姆定律有I′＝eq \f(E′,R＋r)＝eq \f(4,4＋1) A＝0.8 A则电阻两端的电压U＝I′R＝0.8×4 V＝3.2 V.例2 如图所示，粗细均匀、电阻为2r的金属圆环，放在图示的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，圆环直径为l；长为l、电阻为eq \f(r,2)的金属棒ab放在圆环上，且与圆环接触良好，以速度v0向左匀速运动，当ab棒运动到图示虚线位置(圆环直径处)时，金属棒两端的电势差为( )A．Blv0 B.eq \f(1,2)Blv0 C.eq \f(1,3)Blv0 D.eq \f(2,3)Blv0答案 B解析 切割磁感线的金属棒ab相当于电源，其电阻相当于电源内阻，当运动到题图中虚线位置时，两个半圆金属环相当于并联，等效电路图如图所示．则R外＝R并＝eq \f(r,2)，I＝eq \f(E,R外＋\f(r,2))＝eq \f(Blv0,r).金属棒两端的电势差等于路端电压，则U＝IR外＝eq \f(Blv0,r)·eq \f(r,2)＝eq \f(1,2)Blv0，B正确．针对训练2 粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是( )答案 B解析 磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路可看成由三个相同电阻串联形成，A、C、D选项中a、b两点间电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压：U＝eq \f(1,4)E＝eq \f(Blv,4)，B选项中a、b两点间电势差的绝对值为路端电压：U′＝eq \f(3,4)E＝eq \f(3Blv,4)，所以a、b两点间电势差的绝对值最大的是B选项．1．“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”．2．电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极．二、电磁感应中的电荷量问题闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内通过某一截面的电荷量(感应电荷量)q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(\x\to(E),R总)·Δt＝neq \f(ΔΦ,Δt)·eq \f(1,R总)·Δt＝eq \f(nΔΦ,R总).由上式可知，线圈匝数一定时，通过某一截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关．例3 如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为d和2d的单匝闭合线框a和b，以相同的速度将线框从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外．若此过程中流过两线框的电荷量分别为Qa、Qb，则Qa∶Qb为( )A．1∶4 B．1∶2C．1∶1 D．不能确定答案 B解析 设闭合线框的边长为L，则流过线框的电荷量为Q＝IΔt＝eq \f(E,R)Δt＝eq \f(ΔΦ,RΔt)Δt＝eq \f(B·ΔS,R)＝eq \f(BL2,R)，R＝ρeq \f(4L,S横)，则Q＝eq \f(BS横L,4ρ)，则eq \f(Qa,Qb)＝eq \f(La,Lb)＝eq \f(d,2d)＝eq \f(1,2)，故选B.针对训练3 物理实验中，常用一种叫作“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量．如图所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n，面积为S，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R.若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q，由上述数据可得出被测磁场的磁感应强度为( )A.eq \f(qR,S) B.eq \f(qR,nS) C.eq \f(qR,2nS) D.eq \f(qR,2S)答案 C解析 由题意知q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(\x\to(E),R)·Δt＝eq \f(n\f(ΔΦ,Δt),R)Δt＝neq \f(ΔΦ,R)＝neq \f(2BS,R)，则B＝eq \f(qR,2nS)，故C正确．1.如图所示，一个匝数为n的正方形线圈，边长为d，电阻为r.将其两端a、b与阻值为R的电阻相连接，其他部分电阻不计．在线圈中存在垂直线圈平面向里的磁场区域，磁感应强度B随时间t均匀增加，eq \f(ΔB,Δt)＝k.则a、b两点间的电压为( )A．nd2k B.eq \f(Rnd2k,R＋r) C.eq \f(rnd2k,R＋r) D.eq \f(nd2,kR＋r)答案 B解析 根据法拉第电磁感应定律可得：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)S＝nkd2，则a、b两点间的电压为Uab＝eq \f(RE,R＋r)＝eq \f(Rnd2k,R＋r)，故选B.2.(多选)粗细均匀的电阻丝围成边长为L的正方形线框，置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，磁感应强度大小为B，其右边界与正方形线框的bc边平行．现使线框以速度v匀速平移出磁场，如图所示，则在移出的过程中( )A．ad边的电流方向为a→dB．ad边的电流方向为d→aC．a、d两点间的电势差绝对值为eq \f(1,4)BLvD．a、d两点间的电势差绝对值为eq \f(3,4)BLv答案 BD解析 由右手定则可知，ad边的电流方向为d→a，选项A错误，B正确．在线框以速度v向右运动移出磁场的过程中，只有ad边在切割磁感线，产生感应电动势，则线框上的感应电动势E＝BLv；设每边的电阻为R，根据闭合电路的欧姆定律得I＝eq \f(BLv,4R)，a、d两点间的电势差的绝对值是路端电压，则Uad＝I·3R＝eq \f(3,4)BLv，选项C错误，D正确．3.如图所示，一个半径为L的半圆形导体AC以速度v在水平放置的光滑U形框架上匀速滑动，匀强磁场的磁感应强度为B，回路中定值电阻的阻值为R0，半圆形导体AC的电阻为r，其余电阻不计，则半圆形导体AC切割磁感线产生感应电动势的大小及A、C之间的电势差分别为( )A．BLv，eq \f(BLvR0,R0＋r) B．2BLv，BLvC．BLv，2BLv D．2BLv，eq \f(2BLvR0,R0＋r)答案 D解析 半圆形导体AC切割磁感线的有效长度为2L，根据法拉第电磁感应定律可知，AC切割磁感线产生感应电动势的大小为E＝2BLv；AC相当于电源，其两端的电压是外电压，则A、C之间的电势差U＝eq \f(2BLvR0,R0＋r)，故D正确．4.如图所示，闭合开关K，将条形磁体匀速插入闭合线圈，第一次用时0.2 s，第二次用时0.4 s，并且两次的起始和终止位置相同，则( )A．第一次磁通量变化量较大B．第一次的最大偏转角较大C．第一次经过的总电荷量较多D．若断开K，均不偏转，则均无感应电动势答案 B解析 由于两次条形磁体插入线圈的起始和终止位置相同，因此磁通量的变化量ΔΦ相同，故A错误；根据E＝neq \f(ΔΦ,Δt)可知，第一次磁通量变化较快，所以感应电动势较大，而闭合电路的电阻相同，所以第一次的感应电流较大，第一次的最大偏转角较大，故B正确；通过的电荷量q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(\x\to(E),R)Δt＝neq \f(ΔΦ,RΔt)·Δt＝neq \f(ΔΦ,R)，则两次通过的电荷量相同，故C错误；若断开K，虽然电路不闭合，没有感应电流，但感应电动势仍存在，故D错误．5．如图所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指剪开拉直时的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面．环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为eq \f(R,2)的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，导体棒与圆环接触良好，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时导体棒两端的电压为( )A.eq \f(Bav,3) B.eq \f(Bav,6) C.eq \f(2Bav,3) D．Bav答案 A解析 导体棒AB摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·eq \f(1,2)v＝Bav.外电路电阻大小为R外＝eq \f(\f(R,2)·\f(R,2),\f(R,2)＋\f(R,2))＝eq \f(R,4)，由闭合电路的欧姆定律有|UAB|＝eq \f(E,\f(R,2)＋\f(R,4))·eq \f(R,4)＝eq \f(1,3)Bav，故选A.6.如图所示，将一半径为r的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B的匀强磁场中用力握中间成“8”字形，并使上、下两圆半径相等．如果环的电阻为R，则此过程中流过环的电荷量为( )A.eq \f(πr2B,R) B.eq \f(πr2B,2R) C．0 D.eq \f(3πr2B,4R)答案 B解析 ΔΦ＝Bπr2－2×Bπ(eq \f(r,2))2＝eq \f(1,2)Bπr2，电荷量q＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(πr2B,2R)，B正确．7.固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd的边长为L，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线．匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．现有一段与ab段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ架在导线框上(如图所示)，PQ与导线框接触良好．若PQ以恒定的速度v从ad滑向bc，当其滑过eq \f(L,3)的距离时，通过aP段的电流为多大？方向如何？答案 eq \f(6BvL,11R) 方向由 P到a解析 PQ在磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势，由于是闭合回路，故电路中有感应电流，可将电阻丝PQ视为有内阻的电源，电阻丝aP与bP并联，且RaP＝eq \f(1,3)R、RbP＝eq \f(2,3)R，于是可画出如图所示的等效电路图．外电阻为R外＝eq \f(RaPRbP,RaP＋RbP)＝eq \f(2,9)R，总电阻为R总＝R外＋R＝eq \f(2,9)R＋R＝eq \f(11,9)R，又电源电动势为E＝BLv，则电路中的总电流为：I＝eq \f(E,R总)＝eq \f(9BLv,11R)，故通过aP段的电流为：IaP＝eq \f(RbP,RaP＋RbP)I＝eq \f(6BLv,11R)，方向由P到a.8.(多选)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l＝1 m，cd间、de间、cf间都接阻值为R＝10 Ω的电阻．一接入电路的阻值为R＝10 Ω的导体棒ab以速度v＝4 m/s匀速向左运动，导体棒与导轨垂直且接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小为B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场．下列说法中正确的是( )A．导体棒ab中电流的方向为由b到aB．cd两端的电压为1 VC．de两端的电压为1 VD．fe两端的电压为1 V答案 BD解析 由右手定则可知，A错误；E＝Blv＝0.5×1×4 V＝2 V，则Ucd＝eq \f(R,R＋R)E＝1 V，B正确；由于de间、cf间电阻没有电流流过，故Ucf＝Ude＝0，所以Ufe＝Ucd＝1 V，C错误，D正确．9．如图所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B.一半径为b(b＞a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环横截面的电荷量为( )A.eq \f(πB|b2－2a2|,R) B.eq \f(πBb2＋2a2,R)C.eq \f(πBb2－a2,R) D.eq \f(πBb2＋a2,R)答案 A解析 设开始时穿过导线环向里的磁通量为正值，Φ1＝Bπa2，则向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为eq \x\to(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)，则通过导线环横截面的电荷量为q＝|eq \f(\x\to(E),R)|·Δt＝|eq \f(ΔΦ,R)|＝eq \f(πB|b2－2a2|,R)，A项正确．10.用相同的导线绕制的边长分别为L和2L的正方形闭合线框，以相同的速度匀速进入右侧的匀强磁场，如图所示，在线框进入磁场的过程中，a、b和c、d两点间的电压分别为U甲和U乙，ab边和cd边所受的安培力分别为F甲和F乙，则下列判断正确的是( )A．U甲＝U乙 B．U甲＝2U乙C．F甲＝F乙 D．F甲＝eq \f(1,2)F乙答案 D解析 线框进入磁场后切割磁感线，甲中产生的感应电动势是乙中感应电动势的一半，设甲线框的电阻为4r，乙线框的电阻为8r，则有U甲＝BLv·eq \f(3r,4r)＝eq \f(3,4)BLv，U乙＝B·2Lv·eq \f(6r,8r)＝eq \f(3,2)BLv，故U甲＝eq \f(1,2)U乙，A、B错误；根据F＝BIL，E＝BLv，得出F甲＝eq \f(B2L2v,4r)，F乙＝eq \f(B22L2v,8r)，所以F甲＝eq \f(1,2)F乙，C错误，D正确．11．粗细均匀的电阻丝围成如图所示的线框，置于正方形有界匀强磁场中，磁感应强度为B，方向垂直线框平面向里，图中ab＝bc＝2cd＝2de＝2ef＝2fa＝2L.现使线框以同样大小的速度v匀速沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则在通过如图所示位置时，下列说法正确的是( )A．四个图中，图①中a、b两点间的电势差最大B．四个图中，图②中a、b两点间的电势差最大C．四个图中，图③中回路电流最大D．四个图中，图④中回路电流最小答案 A解析 设线框的电阻为R.题图①中：a、b两点间的电势差等于外电压，其大小为U1＝eq \f(3,4)E1＝eq \f(3,4)B·2Lv＝eq \f(3,2)BLv，电流为I1＝eq \f(E1,R)＝eq \f(2BLv,R)；题图②中：a、b两点间的电势差等于外电压的eq \f(1,3)，其大小为U2＝eq \f(1,4)E2＝eq \f(1,4)B·2Lv＝eq \f(1,2)BLv，电流为I2＝eq \f(2BLv,R)；题图③中：a、b两点间的电势差等于外电压的eq \f(2,7)，其大小为U3＝eq \f(BLv,4)，电流为I3＝eq \f(BLv,R)；题图④中：a、b两点间的电势差大小为U4＝eq \f(BLv,2)，电流为I4＝eq \f(2BLv,R).可见，题图①中a、b两点间的电势差最大，题图③中回路电流最小，故A正确，B、C、D错误．12．(多选)在如图甲所示的电路中，螺线管匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2.螺线管导线电阻r＝1.0 Ω，R1＝4.0 Ω，R2＝5.0 Ω，C＝30 μF.在一段时间内，穿过螺线管的磁场的磁感应强度B随时间t按如图乙所示的规律变化，螺线 管内的磁场B的方向向下为正方向．则下列说法中正确的是( )A．螺线管中产生的感应电动势为1 VB．闭合S，电路中的电流稳定后，电阻R1的电功率为5×10－2 WC．电路中的电流稳定后电容器下极板带正电D．S断开后，流经R2的电荷量为1.8×10－5 C答案 CD解析 根据法拉第电磁感应定律得E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)S＝1 500×eq \f(1.0－0.2,2.0)×20×10－4 V＝1.2 V，A错误；根据闭合电路的欧姆定律得I＝eq \f(E,R1＋R2＋r)＝eq \f(1.2,4.0＋5.0＋1.0) A＝0.12 A，根据P＝I2R1，得R1的电功率P＝0.122×4.0 W＝5.76×10－2 W，B错误；根据楞次定律，螺线管感应电流沿逆时针方向(俯视)，即等效电源为上负下正，所以电路中电流稳定后电容器下极板带正电，C正确；S断开后，流经R2的电荷量即为S闭合时电容器所带电荷量Q，电容器两端的电压等于R2两端电压，故U＝IR2＝0.6 V，则流经R2的电荷量Q＝CU＝1.8×10－5 C，D正确．13．如图甲所示，水平放置的线圈匝数n＝200匝，直径d1＝40 cm，电阻r＝2 Ω，线圈与阻值R＝6 Ω的电阻相连．在线圈的中心有一个直径d2＝20 cm的有界匀强磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化，规定垂直纸面向里的磁感应强度方向为正方向．(1)求通过电阻R的电流方向；(2)求理想电压表的示数；(3)若撤去原磁场，在图中竖直虚线的右侧空间加磁感应强度B′＝0.5 T的匀强磁场，方向垂直纸面向里，试求在施加新磁场过程中通过电阻R的电荷量．答案 (1)A→R→B (2)4.71 V (3)1.57 C解析 (1)线圈内磁感应强度方向向里且增大，根据楞次定律判断可知通过电阻R的电流方向为A→R→B.(2)根据法拉第电磁感应定律得E＝neq \f(ΔB,Δt)S＝neq \f(ΔB,Δt)·π(eq \f(d2,2))2＝2π V，感应电流大小为I＝eq \f(E,R＋r)＝eq \f(2π,6＋2) A＝eq \f(π,4) A故电压表的示数为U＝IR≈4.71 V(3)根据法拉第电磁感应定律得，平均感应电动势为eq \x\to(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)，平均感应电流为eq \x\to(I)＝eq \f(\x\to(E),R＋r)则通过电阻R的电荷量为q＝eq \x\to(I)Δt＝neq \f(ΔΦ,R＋r)，ΔΦ＝B′·π(eq \f(d1,2))2代入数据解得q≈1.57 C.
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