第四章 《指数函数、对数函数与幂函数》单元测试高中数学人教B版必修第二册

第四章  指数函数、对数函数与幂函数

章末综合检测

                       第Ⅰ部分（选择题，共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．已知集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

2．三个数，，的大小顺序是（    ）

A． B． C． D．

3．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（    ）

（参考数据：，）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致是（    ）

A． B． 

C． D．

5．已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．某工厂生产一种溶液，按市场要求其杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为（参考数据：，）（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

7．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（    ）

A．10 B．8 C．7 D．6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．下列结论中，正确的是（    ）

A．函数是指数函数

B．函数的值域是

C．若，则

D．函数的图像必过定点

10．下列四个函数中过相同定点的函数有（    ）

A． B．

C． D．

11．对于函数，说法正确的有（    ）

A．对，都有

B．函数有两个零点，且互为倒数

C．，使得

D．对，，都有

12．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．为偶函数 B．在上单调递增

C．在[2016，2020]上恰有三个零点 D．的最大值为2

                         第Ⅱ部分（选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若，则______.

14．已知函数，则____________．

15．函数，的最小值为________.

16．已知函数.

（1）的零点是______；

（2）若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题10分）

化简求值：

（1） ；

（2）.

18．（本小题12分）

已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）设，解不等式.

19．（本小题12分）

已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.

（1）求实数的值；

（2）解不等式；

（3）有两个不等实根时，求的取值范围.

20．（本小题12分）

已知是定义在上的奇函数，当时，，且.

（1）若当时，求实数，，的值；

（2）在（1）条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

21．（本小题12分）

碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为P，死亡年数为t.

（1）试将P表示为t的函数；

（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：）

22．（本小题12分）已知函数是定义在R上的奇函数.

（1）求a的值；

（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；

（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.

第四章  指数函数、对数函数与幂函数

                       第Ⅰ部分（选择题，共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．已知集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为或；

所以；

所以.

2．三个数，，的大小顺序是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：∵，，，

∴.

3．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量大约是千克.下列各数中与最接近的是（    ）

（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以.

故.

4．函数的图象大致是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】 ，为偶函数，

图像关于轴对称，当.

5．已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

图象如图：

方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，由图象可知：的取值范围为.

6．某工厂生产一种溶液，按市场要求其杂质含量不得超过，而这种溶液最初的杂质含量为，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为（参考数据：，）（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】C

【解析】设经过n次过滤，产品达到市场要求，则，即，由，即，得，故选C．

7．若函数且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数满足对任意的实数都有，

所以函数是上的增函数，

则由指数函数与一次函数单调性可知应满足，

解得，

所以数的取值范围为，

8．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（    ）

A．10 B．8 C．7 D．6

【答案】D

【解析】由题意，设一次函数，

因为，可得，解得，

所以，故的图象关于对称，

又设，可得函数为单调递增函数，

且，

即，所以是奇函数，则，

则，，

所以

即为的最大值与最小值之和6.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．下列结论中，正确的是（    ）

A．函数是指数函数

B．函数的值域是

C．若，则

D．函数的图像必过定点

【答案】BD

【解析】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确.

选项B. 当时，，故B正确.

选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C不正确.

选项D. 由，可得的图象恒过点，故D正确.

10．下列四个函数中过相同定点的函数有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【解析】对于，当时，，则过定点；

对于，当时，，则过定点；

对于，当时，，则过定点；

对于，当时，，则过定点,

故A，B中的函数过相同的定点.

11．对于函数，说法正确的有（    ）

A．对，都有

B．函数有两个零点，且互为倒数

C．，使得

D．对，，都有

【答案】BD

【解析】，，由对数运算法则知，选项A错误；

选项B中，，即或，互为倒数，故选项B正确；

由的图像特征知，当时，，则，同理可证当时，，当时，，故选项C错误；

如图，由于是上凸函数，故应为点对应纵坐标，应为点对应纵坐标，故，故选项D正确

12．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．为偶函数 B．在上单调递增

C．在[2016，2020]上恰有三个零点 D．的最大值为2

【答案】AD

【解析】函数的定义域为，

且，

所以为偶函数，故A正确．

因为，所以的图象关于直线对称，

又是奇函数，所以是周期为4的函数，其部分图象如下图所示．

所以当时，，，

当时，，单调递减，故B错误．

在上零点的个数等价于在上零点的个数，

而在上有无数个零点．故C错误．

当时，易知的最大值为2，由偶函数的对称性可知，

当时，的最大值也为2，所以在整个定义域上的最大值为2，

                         第Ⅱ部分（选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若，则______.

【答案】1

【解析】由，得，，

则.

14．已知函数，则____________．

【答案】

【解析】，，

因此，.

15．函数，的最小值为________.

【答案】

【解析】解：令，因为，所以，

，令，

由对勾函数的性质易知，在单调递减，即，

所以函数在上的最小值为.

16．已知函数.

（1）的零点是______；

（2）若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.

【答案】1和        

【解析】(1)由,当时,.

当时,令有

(2)画出的图象有

因为过定点(0,−1),

要使的图象与直线有且只有三个公共点,则,

当时,函数的导数,函数在点(0,−1)处的切线斜率

,此时直线和只有一个交点.

当时,因为当时,,此时直线与的图象仍有三个交点.由图象知要使的图象与直线有且只有三个公共点,

则满足,

故答案为：(1). 或 (2). (0,2)

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题10分）

化简求值：

（1） ；

（2）.

【解】（1）

；

（2）

.

18．（本小题12分）

已知函数.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）设，解不等式.

【解】(1).函数的定义域为，

∴是奇函数；

（2）原不等式可化为，

当时， ，

∴， ∴，

当时， ， ∴， ∴， ∴，

故所求不等式的解集为.

19．（本小题12分）

已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.

（1）求实数的值；

（2）解不等式；

（3）有两个不等实根时，求的取值范围.

【解】（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2)

又因为A点在上，则：

（2）由题意知：

而在定义域上单调递增，知

，即

∴不等式的解集为

（3）由知：，方程有两个不等实根

若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示

由图像可知：，故b的取值范围为

20．（本小题12分）

已知是定义在上的奇函数，当时，，且.

（1）若当时，求实数，，的值；

（2）在（1）条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

【解】（1）据题设分析知，.

又当时，，，

所以，

所以，，.

（2）据（1）求解知，当时.

令，则，所以.

又据为定义在上的奇函数，所以，

所以.

又，所以.

又因为关于的方程有两个不同实数根，

所以据函数的图象分析知，，

即所求实数的取值范围是.

21．（本小题12分）

碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为P，死亡年数为t.

（1）试将P表示为t的函数；

（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：）

【解】（1）已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，

由经过5730年衰减为原来的一半，可得，

故碳14的含量P与死亡年数t的函数关系式为；

（2），

,

所以推算该生物死亡的年代距今21010年.

22．（本小题12分）

已知函数是定义在R上的奇函数.

（1）求a的值；

（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；

（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解】（1）是定义在R上的奇函数，

，从而得出，

时，，

；

（2）是R上的增函数，证明如下：

设任意，且，

，

，，，，

，

是在上是单调增函数.

，

又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，

，

，；

（3）假设存在实数k，使之满足题意，

由（2）可得函数在上单调递增，

，

，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，

令，即方程有两个不等的正根，

 于是有且且，

解得：.

存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.