山东省济南市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析）

这是一份山东省济南市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟，
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可推出 SKIPIF 1 < 0 ，代入数值即可得出答案.
【详解】因为， SKIPIF 1 < 0 为等差数列，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2. 已知两个平面的法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则这两个平面的夹角为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据两平面夹角与其法向量夹角的关系，利用向量夹角公式即可得到答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，因为向量夹角范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故两向量夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，故两平面夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3. 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是( )
A. 垂直B. 相交且不垂直C. 平行D. 平行或重合
【答案】A
【解析】
【分析】分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 讨论，其中 SKIPIF 1 < 0 时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，此时两直线垂直，
当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则两直线垂直，
综上两直线位置关系是垂直，
故选：A.
4. 一种卫星接收天线(如图1)，其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分(如图2)，已知该卫星接收天线的口径 SKIPIF 1 < 0 米，深度 SKIPIF 1 < 0 米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】设出抛物线的标准方程，代入 SKIPIF 1 < 0 点坐标求出系数既可.
【详解】由题意，抛物线开口向右，设抛物线的标准方程 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程求得，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
5. 在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，其前三项的和 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 或1D. SKIPIF 1 < 0 或1
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程组，解出即可．
【详解】∵在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，其前三项的和 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 的公比等于 SKIPIF 1 < 0 或1．
故选：C．
6. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，P为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 1C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后得出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的坐标，即可得出答案.
【详解】
如图，由已知可得，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7. 若直线 SKIPIF 1 < 0 与焦点在x轴上的椭圆 SKIPIF 1 < 0 总有公共点，则n的取值范围是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由题得直线所过定点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上即可.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线与椭圆总有公共点，
则定点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上或椭圆内， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
8. 双曲线C的两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 SKIPIF 1 < 0 作圆D的切线与C的两支分别交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则C的离心率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，可推出 SKIPIF 1 < 0 .进而在 SKIPIF 1 < 0 中，可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .根据双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 .在 SKIPIF 1 < 0 中，根据余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出离心率.
【详解】
如图，设双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设切线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据双曲线的定义可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以，C的离心率 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是( )
A. 直线l恒过定点 SKIPIF 1 < 0 B. 圆M的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0
C. 存在实数k，使得直线l与圆M相切D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，直线l被圆M截得的弦长为2
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，将直线方程变形后得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出恒过的定点；B选项，将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标；C选项，令圆心到直线l的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式判断出结论；D选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，求出圆心在直线l上，故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，故恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
令圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得，方程无解，
故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ，直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.
故选：AB
10. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，过点F且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线交C于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 )，与C的准线交于点D．下列结论正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. F为线段AD中点D. SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直线 SKIPIF 1 < 0 的方程，与抛物线联立，根据韦达定理得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，可判断A项；解方程得出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，根据抛物线的定义求出 SKIPIF 1 < 0 的值，可判断B项；求出 SKIPIF 1 < 0 点，得出线段AD中点的坐标，即可判断C项；根据B可得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，即可得出面积，判断D项.
【详解】
由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，准线 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
联立直线 SKIPIF 1 < 0 的方程与抛物线的方程 SKIPIF 1 < 0
可得， SKIPIF 1 < 0 .
由韦达定理可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A项错误；
对于B项，结合图象，解 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
根据抛物线的定义可得， SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故B项正确；
对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 .
将 SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以，线段 SKIPIF 1 < 0 中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，恰好为点 SKIPIF 1 < 0 ，故C项正确；
对于D项， SKIPIF 1 < 0 .
点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，故D项错误.
故选：BC.
11. 欧拉函数 SKIPIF 1 < 0 的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数(互素是指两个整数的公约数只有1)，例如， SKIPIF 1 < 0 ．下列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列
C. 数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列D. 数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A列举法即可判断，对B举反例即可，对C得到与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所有互质的数均为正奇数，则 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断，对D用乘公比错位相减法即可.
【详解】对A，与11互质的正整数有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，故 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对B，当 SKIPIF 1 < 0 时，与8互质的正整数有1,3,5,7，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 不是递增数列，故B错误；
对C， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 一定是2的倍数，
则与 SKIPIF 1 < 0 互素的数为：1,3,5,7,9,11 , SKIPIF 1 < 0 ，即正奇数，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确，
对D， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 ②
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD.
12. 《瀑布》(图1)是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”(图2).在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中建立如图3所示的空间直角坐标系(原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面)，将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转 SKIPIF 1 < 0 ，得到的三个正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3(图4，5，6)结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”(图7).在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是( )
A. 设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，则 SKIPIF 1 < 0
B. 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
D. 若G为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角最小为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】正方体的顶点到中心 SKIPIF 1 < 0 的距离不变，判断A，写出各点坐标，利用空间向量法求解判断BCD．
【详解】正方体棱长为2，面对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
旋转后 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
旋转过程中，正方体的顶点到中心 SKIPIF 1 < 0 的距离不变，始终为 SKIPIF 1 < 0 ，因此选项A中， SKIPIF 1 < 0 ，2，3， SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，B错；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 夹角的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，从而直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角最小为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：本题正方体绕坐标轴旋转，因此我们可以借助平面直角坐标系得出空间点的坐标，例如绕 SKIPIF 1 < 0 轴旋转时时，各点的横坐标( SKIPIF 1 < 0 )不变，只要考虑各点在坐标平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影绕原点旋转后的坐标即可得各点空间坐标．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，进而得出答案.
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 各项均为正数的等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，化简求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用求和公式即可.
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 为各项为正数的等差数列， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或0(舍)，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 上存在点Р满足 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由已知可得，圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心、半径，且点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 上，进而得出圆心、半径.然后根据两圆有交点，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，代入即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 上.
圆心为 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
由题意可得，圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点P，则应满足 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，若椭圆上存在点P满足 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的外接圆和内切圆半径分别是R，r，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】化标准 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后根据正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 .进而根据余弦定理推出 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .根据等面积法，可知 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
将椭圆化为标准方程可得， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
根据正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 是方程的两个解，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知圆C经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值和最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)设出圆心、半径，根据已知条件列出方程组，求解方程组即可得到圆的标准方程；
(2)求出圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，可知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离.然后即可得出答案.
【小问1详解】
设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由(1)知，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相离.
所以，点P到直线 SKIPIF 1 < 0 距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求C标准方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足 SKIPIF 1 < 0 ，求实数t的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)将 SKIPIF 1 < 0 点坐标代入双曲线的方程，得到方程组，即可求出双曲线的方程；
(2)联立直线与双曲线的方程得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据韦达定理可得出 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .进而由 SKIPIF 1 < 0 ，表示出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，代入双曲线即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 .
则由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
19. 如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别为PB，CD的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求直线PB与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .写出点的坐标，求出向量的坐标，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .即可根据线面垂直的判定定理即可证明；
(2)根据(1)中点的坐标，求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，进而即可根据向量求解出答案.
【小问1详解】
由已知 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形，易知 SKIPIF 1 < 0 两两垂直.
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，如图建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由(1)可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量.
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线PB与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据 SKIPIF 1 < 0 、累乘法求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)结合分组求和法、裂项相消求和法求得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 .
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 也符合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
21. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长是4，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若点P是圆 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 的两条切线分别交圆O于点A，B．
①求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)①证明见解析；② SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据题意，直接计算出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得答案.
(2)根据题意，联立椭圆方程，根据直线与椭圆相切，再设 SKIPIF 1 < 0 ，得到
SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得，
SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 ；再过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，得到三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，进而利用二次函数的性质求出 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【小问1详解】
由已知得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
①设 SKIPIF 1 < 0 ，则过点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，联立椭圆方程得到
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线与椭圆相切，得 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，过点P作 SKIPIF 1 < 0 的两条切线分别交圆O于点A，B，故必有 SKIPIF 1 < 0 ；
②由①得， SKIPIF 1 < 0 必过圆心，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，设三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 对于数列 SKIPIF 1 < 0 ，规定数列 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的一阶差分数列，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 ；
②记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)北宋数学家沈括对于上底有ab个，下底有cd个，共有n层的堆积物(堆积方式如图)，提出可以用公式 SKIPIF 1 < 0 求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”．试证明上述求和公式．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据一阶差分数列的定义，由数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式表示出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项，再用类似于裂项相消的方法求前n项和，由 SKIPIF 1 < 0 的算式，找到与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的关系，解出 SKIPIF 1 < 0 的值.
(2)根据图形的结构特征，构造数列通项，利用(1)中的方法和结论，求前n项和，经验证与结论相同.
【小问1详解】
①由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
②由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，
所 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
证明：设数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由题意知，需证明的公式中，S即为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和， SKIPIF 1 < 0 即为数列 SKIPIF 1 < 0 的第n项， 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由(1)知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 成立.
【点睛】1.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
2.使用求和符号时，要注意展开时化简，会用到等差或等比数列的求和公式.