湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题(B卷)（含解析）

这是一份湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题(B卷)（含解析），共6页。
1. 若数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 的值是( )
A. 12B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 得到答案.
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2. 已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，即得.
【详解】因为方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3. 等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质与等差数列的前n项和的公式计算即可.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 2022B. －2022C. SKIPIF 1 < 0 D. 1011
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，可以推出 SKIPIF 1 < 0 .然后，根据等差数列的性质，可得结果；也可以直接根据前n项和公式求和.
【详解】解法1：由已知，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
根据等差数列的性质有， SKIPIF 1 < 0
所以，有 SKIPIF 1 < 0
解法2：由已知，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
根据等差数列的性质有， SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5. 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，动点A在椭圆上，B为椭圆的上顶点，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为( )
A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】转化 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
结合 SKIPIF 1 < 0 ，即得解.
【详解】
由题意，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于点B为椭圆的上顶点，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 延长线上时取得等号，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 周长最大值为12.
故选：C
6. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的性质可确定 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，由此可构造不等式解得 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【详解】由圆的方程知：圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值，即 SKIPIF 1 < 0 为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
SKIPIF 1 < 0 存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则此时 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
7. 已知 SKIPIF 1 < 0 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题通过基底法，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再通过立体图得到 SKIPIF 1 < 0 的值，以及 SKIPIF 1 < 0 的最小值，最终代入数据得到最小值.
【详解】如图 SKIPIF 1 < 0 为棱长为8的正方体外接球的一条直径, SKIPIF 1 < 0 为球心， SKIPIF 1 < 0 为正方体表面上的任一点
则球心 SKIPIF 1 < 0 也就是正方体的中心，
所以正方体的中心 SKIPIF 1 < 0 到正方体表面任一点 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为正方体的内切球的半径,
它等于棱长的一半，即长度为4，, SKIPIF 1 < 0 的长为正方体的对角线长，为 SKIPIF 1 < 0 ，
我们将三角形 SKIPIF 1 < 0 单独抽取出来如下图所示：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以及向量基底法的熟练运用，平时要多加训练.
8. 设 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，变形后得到 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，首项为6，公差为4，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ，故代入 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，利用作差法得到 SKIPIF 1 < 0 单调递减，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，列出不等式求出答案.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
方程两边同除以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，首项为6，公差为4，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，经验证，满足要求，
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是( )
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为常数)
D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.
【详解】对于选项A，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，取绝对值后 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列，故选项A不符合题意；
对于选项B，若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列，故 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，故选项B符合题意；
对于选项C，若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为常数列，
故 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，故选项C符合题意；
对于选项D，若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为常数，故 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，故选项D符合题意，
故选：BCD.
10. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 分别为它的左､右焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆的左､右顶点，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上异于 SKIPIF 1 < 0 的一个动点，则下列结论中正确的有( )
A. SKIPIF 1 < 0 的周长为15B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为9
C. SKIPIF 1 < 0 为定值D. 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的乘积为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，结合椭圆定义和性质，即可求解，对于B，结合椭圆的定义和条件可求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得面积，对于C，利用向量的坐标运算可化简 SKIPIF 1 < 0 ，根据其结果即可判断；对于D，结合直线的斜率公式，以及点在椭圆上进行化简，即可判断．
【详解】对于A，∵椭圆C SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ,故A错误，
对于B，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C,由题意知 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为定值，故C正确；
对于D，设 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴。联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
11. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 的面积为定值B. SKIPIF 1 < 0
C. 圆 SKIPIF 1 < 0 上总存在3个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为2D. 线段 SKIPIF 1 < 0 中点的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆的几何性质，求出圆心到直线的距离为定值1，可判断AD，再由圆的几何性质知 SKIPIF 1 < 0 ，由二倍角公式可判断B，根据点到直线的距离及 SKIPIF 1 < 0 与2的大小比较可判断D.
【详解】对A，点O到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，为定值，
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，故正确；
对B，由A知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对C，因为圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故圆上到直线的距离为2的点只有2个，故错误；
对D，设线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，由圆的几何性质知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故正确.
故选：ABD
12. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 SKIPIF 1 < 0 ，正方形数构成数列 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是( )
A. SKIPIF 1 < 0
B. 1225既是三角形数，又是正方形数
C. SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 ，总存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用累加法，分别求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】三角形数构成数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，3，6，10，…，则有
SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法，
得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；n=1成立
正方形数构成数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，4，9，16，…，则有
SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法，
得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ,n=1成立
对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 利用裂项求和法： SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，取 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，总存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，故D正确；
故选：BCD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 设等差数列{an}的前n项之和为Sn满足S10﹣S5＝20，那么a8＝
【答案】4
【解析】
【分析】根据数列前n项和的定义S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即可求．
详解】根据数列前n项和的定义得出：S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10，再根据等差数列的性质即为5a8＝20，a8＝4
故答案为4．
【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题．
14. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 _____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用累乘法即可求解.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 为圆C上一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________．
【答案】20
【解析】
【分析】由圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称列方程求 SKIPIF 1 < 0 ，由此确定圆的圆心坐标和半径，设 SKIPIF 1 < 0 ，由直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 有公共点，列不等式求 SKIPIF 1 < 0 的范围及最大值.
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为20，
故答案为：20.
16. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 和上顶点B，若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先由 SKIPIF 1 < 0 得到F为 SKIPIF 1 < 0 的重心，再利用点差法求得 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，进而求得椭圆的离心率
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，线段PQ的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知F为 SKIPIF 1 < 0 的重心，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又M为线段PQ的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又P、Q为椭圆C上两点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 故舍去)
则 SKIPIF 1 < 0 ，则离心率 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知直线 SKIPIF 1 < 0
(1)求证：直线l过定点，并求出此定点;
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离的最大值.
【答案】(1)证明见解析，定点 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)整理方程，分离出参数，建立方程组，解得答案；
(2)由(1)可知直线过定点，两点距离公式，可得答案.
【小问1详解】
由直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线l过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由(1)可知直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
18. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=4，a13=14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值及相应的n的值；
(3)在公比为q的等比数列{bn}中，b2=a8，b1+b2+b3=a13，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)an=2n﹣12；(2)最小值为﹣30，此时相应的n=5或6；(3)答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用等差数列的通项公式，通过解方程组进行求解即可；
(2)利用等差数列的前n项和公式，结合配方法进行求解即可；
(3)利用等比数列的通项公式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可.
【详解】解：(1)∵a8=4，a13=14.
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则数列{an}的通项公式an=﹣10+2(n﹣1)=2n﹣12.
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
∴当n=5或6时，Sn取得最小值，
最小值为﹣30，此时相应的n=5或6；
(3)∵b2=a8=4，b1+b2+b3=a13=14，
∴b1+b3=14﹣4=10，
设公比为q，
则 SKIPIF 1 < 0 2q2﹣5q+2=0，
解得q=2或q= SKIPIF 1 < 0 .
若q=2，则 SKIPIF 1 < 0 ，
若q= SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.
19. 已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)令 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)将 SKIPIF 1 < 0 化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得答案；
(2)由(1)可得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，采用分组求和的方法，结合等差等比数列的前n项和公式求得答案.
【小问1详解】
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为常数，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
由(1)得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
20. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
.
(1)若点M在线段 SKIPIF 1 < 0 上，试确定点M的位置使得直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．并证明；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)利用中位线定理及矩形的性质证得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，由此证得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用线面平行的判定定理即可证得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)根据题意建立空间直角坐标系，先求得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，再利用空间向量的数量积的坐标表示求得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，证明如下：
记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
.
【小问2详解】
在平面 SKIPIF 1 < 0 内过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴垂直于 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 轴，
故以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
.
21. 记数列{an}的前n项和为Sn，bn＝an＋1－Sn，且{bn}是以－1为公差的等差数列，a1＝2，a2＝3．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an SKIPIF 1 < 0 }的前n项和．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 特征，求出通项；
(2)由 SKIPIF 1 < 0 ，采用分组求和，分别求数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前n项和.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，－1为公差的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是1为首项2为公比的等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】1.等差等比数列关键要寻找首项和公差公比，就可计算数列通项及前n项和；
2. SKIPIF 1 < 0 的类型，要使用公式 SKIPIF 1 < 0 ；
3. 数列求和，要使用错位相减、裂项相消、分组求和等求和方法；
4.由递推公式求通项公式，构造新数列是常用方法.
22. 如图，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A､B两点，P为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)求点P的轨迹H的方程；
(2)在Q的方程中，令 SKIPIF 1 < 0 ，确定 SKIPIF 1 < 0 的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积最大？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当直线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 转动到垂直 SKIPIF 1 < 0 轴的位置时， SKIPIF 1 < 0 面积最大．
【解析】
【分析】(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点坐标代入椭圆方程相减，利用 SKIPIF 1 < 0 可得轨迹方程，说明直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时也适用即可；
(2)右准线方程 SKIPIF 1 < 0 ，原点到右准线的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，代入已知式，由三角函图象变换化为 SKIPIF 1 < 0 函数，由正弦函数性质得最大值，求出 SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程应用韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，代入面积表达式，利用基本不等式求得最大值．
【小问1详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，
①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 (*)．
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直时，点 SKIPIF 1 < 0 即为点 SKIPIF 1 < 0 ，满足方程(*),
故所求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右准线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，原点距右准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，上式达到最大值，
所以 SKIPIF 1 < 0 时，原点距离右准线 SKIPIF 1 < 0 最远，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 得: SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
因此当直线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 转动到垂直 SKIPIF 1 < 0 轴的位置时， SKIPIF 1 < 0 面积最大．
【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线中有关最佳问题，关键是构建与参数有关的不等关系，主要方法有：
(1)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围，得最值；
(2)建立已知参数与未知参数之间的等量关，利用已知参数的范围，求新参数的范围，从而得所求最值；
(3)利用隐含的不等关系构造不等式，从而求出参数的最值；
(4)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式，从而确定参数的最值；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的最值．