福建省仙游县第二中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省仙游县第二中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、圆和圆的位置关系为( )
A.内切B.外切C.相离D.相交
3、已知等比数列中，，，则公比( )
A.-2B.2C.3D.3或-3
4、若方程表示圆，则实数k的取值范围是( )
A.RB.C.D.
5、若两直线与互相垂直，则实数a的值为( )
A.-3B.3C.D.
6、已知两定点，，如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A.πB.C.D.
7、在等差数列中，其前n项和为，若，是方程的两个根，那么的值为( )
A.88B.－88C.110D.－55
8、唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.4B.5C.D.
二、多项选择题
9、直线的方向向量可以是( )
A.B.C.D.
10、下列说法正确的是( )
A.经过点且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条；
B.经过点且与原点距离等于1的直线有两条；
C.过点且与圆相切的直线只有一条；
D.过点且与圆相切的圆只有一个.
11、已知是数列的前n项和，若，，，，，则下列结论正确的是( )
A.B.数列为等差数列
C.D.
12、甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( )
A.
B.
C.事件B与事件相互独立
D.，互斥
三、填空题
13、从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为________.
14、圆与圆的公共弦所在的直线与圆相切，则实数m的值为________.
15、为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路上的另一点C，现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路的专用线，则的最短距离为________km.
四、双空题
16、已知两点，和直线，则直线l恒过定点________.若直线l与线段有公共点，则实数m的取值范围是________.
五、解答题
17、面对新冠病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是、、.求：
（1）他们都研制出疫苗的概率；
（2）恰有一个机构研制出疫苗的概率；
（3）至少有一个机构研制出疫苗的概率.
18、已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且，，是等比数列的前3项.
（1）求，；
（2）设，求的前n项和.
19、已知直线l经过直线与的交点.
（1）若直线l与直线平行，求直线l的方程;
（2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.
20、在①圆经过，②圆心在直线上，③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解.
已知圆E经过点，且______；
（1）求圆E的方程；
（2）已知直线l经过点，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程.
21、已知直线l过点，且分别与直线和交于B，A两点，线段恰被点P平分.
（1）求直线l的方程；
（2）设点，且，求的面积.
22、在平面直坐标系中有曲线，.
（1）如图1，点B为曲线上的动点，点，求线段的中点的轨迹方程；
（2）如图1，点B为曲线上的动点，点，求三角形的面积最大值，并求出对应B点的坐标；
（3）如图2，点B为曲线上的动点，点，将绕点A顺时针旋转得到，求线段长度的最大值.
参考答案
1、答案：C
解析：由直线，可得斜率为，
设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.
故选：C.
2、答案：D
解析：圆圆心坐标为，半径，
圆圆心坐标为，半径，
两圆心距，
因为，即，
所以圆与圆相交.
故选：D.
3、答案：C
解析：设的公比为q，因为为等比数列，所以，
所以，所以，解得.
故选：C.
4、答案：B
解析：依题意，，解得.
故实数k的取值范围是.
故选：B.
5、答案：A
解析：由题意可知，两直线垂直，则，得.
故选：A.
6、答案：B
解析：设，则，化简得，
所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则其面积为.
故选：B.
7、答案：D
解析：由题设，而.
故选：D.
8、答案：C
解析：根据题意，作图如下，
因为点，设其关于直线的对称点为，
故可得，
解得，，即，
故“将军饮马”的最短总路程为.
故选：C.
9、答案：BD
解析：直线的，
由题意可知，直线的斜率，
所以直线的一个方向向量为，
并且和向量平行的向量为，
当时，向量为.
故选：BD.
10、答案：BC
解析：对于A中，当直线过点和原点时，此时直线方程为，
满足题意；
当直线过点，且斜率时，可得直线方程为，满足题意；
所以经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条，A不正确；
对于B中，当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，不满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
即，可得，整理得，
因为，
所以经过点且与原点距离等于1的直线有两条，B正确；
对于C中，因为点满足方程，即点在圆上，
所以过点且与圆相切的直线只有一条，C正确；
对于D中，因为点在圆上，
根据圆与圆的位置关系，
可得过点且与圆相切的圆有无数个，所以D错误.
故选：BC.
11、答案：ACD
解析：由题意，当时，可得且，
解得，所以A正确；
因为，当时，可得，
两式相减，可得，
因为，所以，所以数列的前4项为1，2，4，5，
则，所以数列不是得出数列，所以B不正确；
因为，可得，所以C正确；
由且，所以数列的奇数项是以1为首项，
3为公差的等差数列，又由且，
所以数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以，，
则，
，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
12、答案：ABD
解析：由题可得：，，，
，，故A正确；
则，故B正确；
事件B与事件，不相互独立，故C错误；
，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确.
故选：ABD.
13、答案：0.3
解析：将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c，
设“选中的2人都是女同学”为事件A，
则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有：，，
，，，，，，，，共10种，
其中事件A包含的可能情况有(，，共3种，
故.
14、答案：
解析：由圆与圆，
两个圆的方程相减，可得，即公共弦的方程为，
因为直线与圆相切，
可得圆心到直线的距离等于半径，即，解得.
故答案为：.
15、答案：
解析：以O为坐标原点，，所在的直线分别为x轴和y轴，
建立平面直角坐标系，则圆O的方程为，
因为点，，
所以直线的方程为，即，
当点D选在与直线平行的直线（距较近的一条），
与圆相切所成切点处时，为最短距离，
此时的最小值为.
16、答案：，
解析：空一：，
该直线的斜率为m，
所以直线恒过；
空二：因为，，
所以当直线l与线段有公共点时，则有或，
则实数m的取值范围是.
17、答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）设甲机构在一定时期研制出疫苗为事件A，
乙机构在一定时期研制出疫苗为事件B，
丙机构在一定时期研制出疫苗为事件C，
他们都研制出疫苗的概率为：
.
（2）设恰有一个机构研制出疫苗为事件M，
则
.
（3）设至少有一个机构研制出疫苗为事件N：
.
18、答案：（1），
（2）
解析：（1）设数列的公差为，
由题意，①，
又，，成等比数列，，
即，得②，
联立①②可得，，，.
（2），
＝.
数列的前n项和为.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）由，解得，
所以与的交点坐标为，设l的方程为，
将点代入得，所以l的方程为.
（2）解一：，，
依题意得：解得，
l的方程为即，
解二：设，，
可得直线的横纵截距分别为，，
，，解得，l的方程为.
20、答案：（1）
（2）或
解析：1）选条件①，设圆的方程为，
依题意有，
解得，，，
所以圆的方程为，
即圆E的标准方程为：，
选条件②，设圆的方程为，
因为圆E经过点，，且圆心在直线上，
依题意有，
解得，，，
所以圆E的方程为，
选条件③，设圆E的方程为，
由圆E经过点，，故，
又因为圆截y轴所得弦长为8，
故方程的两个实数根，的差的绝对值为8，
所以，即，
解方程组，
得，，或，，，
由于圆心E的坐标为整数，
故圆E的方程为.
（2）设圆心到直线的距离为d，
则弦长，
当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，
设其方程为，即，
，解得，，
所以所求直线的方程为或.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）点B在直线l1上，可设，
又是的中点，，
点A在直线上，，
解得，即，
故直线l的方程是.
（2）由（1），知，
又，，，
点A到直线的距离，
，
.
22、答案：（1）
（2）三角形的面积为，面积的最大值为1，且
（3）
解析：（1）设点B的坐标为，则，设线段的中点为点，由于点B在曲线上，则①，
因为点M为线段的中点，则，，得，，
代入①式得，化简得，其中.
（2）设，，三角形的面积为，
可得面积的最大值为1，且.
（3）如图所示，易知点，
结合图形可知，点C在右半圆上运动，
问题转化为，原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值，
连接并延长交右半圆D于点，
当点C与点重合时，取最大值，且.