四川省仁寿第一中学南校区2023-2024学年高二上学期月考模拟（一） 数学试卷(含答案)

这是一份四川省仁寿第一中学南校区2023-2024学年高二上学期月考模拟（一） 数学试卷(含答案)试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、点关于平面yOz对称的点的坐标是( )
A.B.C.D.
2、已知,是两个不同的平面,m,n是空间中两条不同的直线,下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
3、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
4、如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点．则满足的是( )
A.B.
C. D.
5、已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次,射中环数频率分布如图所示：

令,分别表示甲、乙射中环数的均值;,分别表示甲、乙射中环数的方差,则( )
A.,B.,
C.,D.,
6、从1,2,3,8,9中任取两个不同的数,记为,则成立的概率为( )
A.B.C.D.
7、在四棱锥中,平面ABCD,四边形ABCD为菱形,,,点E为PD的中点,则异面直线CE与PB所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8、M为所在平面内一点,且,则动点M轨迹必通过的( )
A.垂心B.内心C.外心D.重心
二、多项选择题
9、一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4,连续抛掷这个正四面体木块两次,并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字,记事件A为“第一次向下的数字为2或3”,事件B为“两次向下的数字之和为奇数”,则下列结论正确的是( )
A.B.事件A与事件B互斥
C.事件A与事件B相互独立D.
10、如图,在四面体ABCD中,平面平面BCD,,,,则下列结论正确的是( )
A.四面体ABCD的体积为
B.
C.二面角的余弦值为
D.四面体ABCD外接球的体积为
11、如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：
下列结论中正确的是( )
A.从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
C.2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平
D.1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
12、设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则外接圆的半径为
C.若,,则
D.若,则为锐角三角形
三、填空题
13、用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本,其中高二年级有学生600人,抽取了15人.则该校高中学生总数是________人.
14、设空间向量,,若,则__________．
15、直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大,则P的坐标为_________.
16、一组数据按从小到大的顺序排列如下：11,12,15,x,17,y,22,26,经计算,该组数据中位数是16,若分位数是20,则___________.
四、解答题
17、如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是,M为与的交点.若,,,
（1）用,,表示;
（2）求对角线的长;
（3）求
18、已知空间三点,,.
（1）求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积;
（2）设,若A,B,C,D四点共面,求的值
19、某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛,现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本,并将得分分成以下6组：,,,……,,统计结果如图所示：
（1）试估计这100名学生得分的众数、中位数;（中位数保留小数点后2位）
（2）试估计这100名学生得分平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）;
（3）现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会,求至少有一人在的概率.
20、如图,在四棱锥中,,四边形ABCD是菱形,,E是棱PD上的动点,且．
（1）证明:平面ABCD．
（2）是否存在实数,使得平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值是?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由．
21、2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆,航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务,标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成．并将进入建造阶段某地区为了激发人们对天文学的兴趣,开展了天文知识比赛,满分100分（95分及以上为认知程度高）,结果认知程度高的有m人,这m人按年龄分成5组,其中第一组：,第二组：,第三组：,第四组：,第五组：,得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图,估计这m人的第80百分位数（中位数第50百分位数）;
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人,担任“党章党史”的宣传使者．
①若有甲（年龄36）,乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,再随机抽取2名作为组长,求甲、乙两人至少有一人被选上的概率;
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1,据此估计这m人中岁所有人的年龄的平均数和方差．
22、如图,在三棱柱中,底面是边长为2的等边三角形,在菱形中,,,平面平面ABC,D,E分别是线段AC､的中点.
（1）求证：平面BDE;
（2）若点F为线段上的动点（不包括端点）,求锐二面角的余弦值的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：由空间直角坐标系的性质可知,
点关于平面yOz对称的点的坐标是.
故选：A.
2、答案：C
解析：对于A,若,则或,A错误;
对于B,若,,则m,n可能平行也可能异面或相交,B错误;
对于C,由,可得,又,则,C正确;
对于D,如图长方体中,不妨取前方面为,右侧面为,
如图示,,但,D错误;
故选：C.
3、答案：A
解析：对于A,恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生,可以同时不发生,
因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件,A是;
对于B,至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件,B不是;
对于C,至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生,不互斥,C不是;
对于D,至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生,不互斥,D不是.
故选：A.
4、答案：C
解析：如图建立以A为原点的空间直角坐标系,设正方体边长为.
A选项,,,,
则,则,故A错误;
B选项,,,,
,则,故B错误;
C选项,,,,,
,则,即,故C正确;
D选项,
,则,故D错误.
故选：C.
5、答案：D
解析：由图可知,,,
,
,
所以,.
故选：D.
6、答案：D
解析：从1,2,3,8,9中任取两个不同的数,记为,共有20个基本事件,
分别为,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,
记“成立”为事件A,
若,则且,
所以事件A包含6个基本事件：,,,,,,
故其概率为．
故选：D.
7、答案：B
解析：如图所示：
连接AC,BD交于点O,连接EO,
因为,
所以（补角）是异面直线CE与PB所成角．
因为平面ABCD,平面ABCD,
所以,
又因为四边形ABCD为菱形,
所以,又,
所以平面PBD,
又平面PBD,
所以,则为直角三角形,
设,
在中,,,
所以,
故选：B．
8、答案：C
解析：设边AC的中点为D,
因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以,又点D为边AC的中点,
所以点M在边AC的垂直平分线上,
所以动点M的轨迹必通过的外心,
故选：C.
9、答案：CD
解析：依题意,抛掷正四面体木块,第一次向下的数字有1,2,3,4四个基本事件,
则,A不正确：
事件B含有基本事件有8个：,,,,,,,,
其中事件,,,发生时,事件A也发生,即事件A,B可以同时发生,B不正确;
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个,,,即事件A与事件B相互独立,C正确;
,D正确.
故选：CD.
10、答案：BC
解析：因为平面平面BCD,,平面平面,
所以平面ABC,平面ABC,
所以,
又,则,且,
所以平面BCD,
在中,因为,,,
所以,
所以,
所以,A不正确,B正确;
二面角的平面角是,易得,C正确;
将原几何体补成长方体,如图所示：
则四面体ABCD的外接球即为长方体的其外接球,外接球的直径为AD,且,
所以半径,
故,D错误．
故选：BC．
11、答案：ABC
解析：对于A,从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加,故A正确;
对于B,从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故B正确;
对于C,从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平,故C正确;
对于D,由题中三幅统计图可看得出北美洲人口数量最少,
并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故D错误.
故选：ABC.
12、答案：AC
解析：对于A,因为,由正弦定理得,故A正确;
对于B,由正弦定理,得,
即外接圆的半径为,故B错误;
对于C,由余弦定理,
则,故C正确;
对于D,因为,
由正弦定理得,则,故,
所以角C锐角,但不一定为锐角三角形,故D错误．
故选：AC．
13、答案：1800
解析：,故该校高中学生总数是1800人.
故答案为：1800.
14、答案：3
解析：,则显然,,解得,
则,,,
故答案为：3.
15、答案：
解析：设点B关于l的对称点的坐标为,连接,
则,即,所以①．
因为的中点在直线l上,
所以,即②．
由①②得,所以点的坐标为．
于是所在直线的方程为,即．
又,
当且仅当P,,A三点共线时,最大．
所以联立直线l与的方程即,解得,
即l与的交点坐标为,
故点P的坐标为．
故答案为：.
16、答案：33
解析：因为,故中位数是,解得;
因为,故75%分位数是,则;
所以
故答案为：33.
17、答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）连接,AC,如图：
因为,,
在,根据向量减法法则可得：
因为底面ABCD是平行四边形
故
因为且
又M为线段中点

在中

（2）因为顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是.
故
由（1）可知
故平行四边形中
故：
故
（3）因为,
又
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知,得：
,,
,
以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为.
（2）由,得：
A,B,C,D四点共面
存在实数,,使得
,
即得：
解得：,,.
19、答案：（1）众数75;中位数71.67
（2）70.5
（3）
解析：（1）由频率分布直方图可知,第4组频率最大,估计众数为：75;
在内频率之和为,
设中位数为m,由图可知中位数在,
由,得中位数
（2）由频率分布直方图的数据,可得这100名学生得分的平均数：
（3）在和两组中的人数分别为：
人和人,
所以在分组中抽取的人数为人,记为a,b,c,
在分组中抽取的人数为2人,记为1,2,
所以这5人中随机抽取2人的情况有：
,
共10种取法,至少有一人得分在的情况有7种,
所以所求概率为.
20、答案：（1）证明见解析;
（2）存在实数,使得面PAB与面ACE所成锐二面角的余弦值是.
（1）因为四边形ABCD是菱形,所以.
因为,AC,平面PAC,且,所以平面PAC.
因为平面PAC,所以.
因为,所以,即.
因为AB,平面ABCD,且,所以平面ABCD.
（2）取棱CD的中点F,连接AF,易证AB,AF,AP两两垂直,
故以A为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系．
设,则,,,
故,,
所以,
设平面ACE的法向量为,则,
令,得．
平面PAB的一个法向量为,设面PAB与面ACE所成的锐二面角为,
则,
整理得,解得或(舍去)．
故存在实数,使得面PAB与面ACE所成锐二面角的余弦值是．
21、答案：（1）37.5
（2）①;②年龄的平均数为38,方差约为10
解析：（1）设第80百分位数为a,
,,
a位于第四组：内;
方法一：由得：．
方法二：由得：．
（2）①由题意得,第四组应抽取人,记为A,B,C,甲;第五组抽取人,记为D,乙,
对应的样本空间为：AB,AC,A甲,AD,A乙,BC,B甲,BD,B乙,C甲,CD,C乙,甲D,甲乙,D乙,共15个样本点．
设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”,
则有A甲,A乙,B甲,B乙,C甲,C乙,甲D,甲乙,D乙,共有9个样本点．
;
②设第四组的宣传使者的年龄分别为,,,平均数分别为,方差分别为,
设第五组的宣传使者的年龄分别为,,平均数分别为,方差分别为,
则,,,,
可得,,,,
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为,方差为．
则,
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38,
则
.
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10;
据此估计这m人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为38,方差约为10．
22、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由平面平面ABC,且两平面交线为AC,D为AC中点,,
平面ABC,所以平面,由于平面,故,
在菱形中,,,所以为等边三角形,
又D为AC中点,所以,
则以D为坐标原点,,,所在直线为x,y,z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,
,
,
又,BD,平面BDE,平面BDE．
（2）,
设,则,
,,;
由（1）知平面BDE,
平面BDE的一个法向量,
设平面FBD的法向量,又
则,,即,
令,则,,,
,
令,则,
,
,
所以,
,
即锐二面角的余弦值的取值范围为．