苏教版（2019）选择性必修二 第六章 空间向量与立体几何 单元测试卷(含答案)

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苏教版（2019）选择性必修二 第六章 空间向量与立体几何 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与所成角的余弦值为(   )A. B. C. D.2、已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为(   )A.10 B.3 C. D.3、在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高h为(   )A.2 B.3 C.4 D.54、如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为(   )A. B. C. D.5、如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为(   )A. B. C. D.6、已知三棱锥的底面是以AC为斜边的直角三角形，顶点P在底面的射影恰好是的外心，，，则PB与底面ABC所成角的大小为(   )A. B. C. D.7、已知平面内有两点，，若平面的一个法向量为，则(   )A. B. C.-24 D.248、如图所示，在三棱柱中，底面，，，点E，F分别是棱，的中点，则直线EF和所成的角是(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则(   )A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为10、如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则(   )A. B.C.  D.三、填空题11、在空间直角坐标系中，已知平面过点，及z轴上一点，如果平面与平面xOy所成的角为，则_________.12、在二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB，若，，，，则此二面角的大小为__________.13、如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为_________.14、如图，矩形ABCD中，，，平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足，则实数a的值等于___________.四、解答题15、如图,在正方体中,,E,F分别是BD,的中点．（1）求异面直线与BF所成角的余弦值；（2）求点到平面BDF的距离．16、如图，在长方体中，E，M分别是BC，AE的中点，，，N为上一点，且平面.(1)试确定点N的位置；(2)试确定直线与平面DMN的交点F的位置，并求BF的长.
参考答案1、答案：A解析：设，则，，，所以，，，因为，所以，解得，所以，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.2、答案：D解析：由，得点P到平面的距离.3、答案：D解析：设平面ABCD的一个法向量为，则得取，则，所以这个四棱锥的高.4、答案：A解析：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面BED的一个法向量为，则令，得，，且，平面，到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.，点P到平面BED的距离，到平面BED的距离为.5、答案：B解析：依题意，，，两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，(，，且m，n不同时为0)，则，，，所以，.设平面AEF的一个法向量为，则即令，则，显然为平面ABC的一个法向量.因为平面AEF与平面ABC所成角的大小为，所以，得，所以，所以当时，m取得最大值，为.6、答案：B解析：设的外心为O，PB与底面ABC所成的角为.因为是以AC为斜边的直角三角形，所以O为AC的中点.由，，知，则.又，，所以，因为，所以，所以.7、答案：C解析：，由题知，所以，解得.8、答案：C解析：如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.不妨取，则，，，，所以，，所以，所以直线EF和所成的角为.9、答案：AC解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；，且，不是平面的法向量，故B不正确；，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；，且，不是平面的法向量，故D不正确.10、答案：BD解析：，A错误.，，，，，B正确.由题意知，，则，C错误，D正确.11、答案：解析：由题意得，，平面xOy的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则即取，则.，且，.12、答案：解析：由题知，，，，，即，，即此二面角的大小为.13、答案：解析：连接AG，BG，因为，的值不变，所以当EF垂直CD时，三棱锥的体积最大.设下底面中心为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面BEF的一个法向量为，则可得令，则.设直线AC与平面BEF所成角为，则.14、答案：2解析：连接AQ，因为平面ABCD，所以AQ为PQ在平面ABCD内的射影.又BC上只有一个点Q满足，所以只有一个点Q满足.设，则，，在中，，即关于x的方程只有一个根，所以，又，所以.15、答案：（1）（2）解析：（1）以D为原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以直线与BF所成角的余弦值为；（2）设平面BDF的法向量为,则得取,则,得平面BDF的一个法向量为,所以点到平面BDF的距离为．16、答案：(1)N为的中点(2)交点F是线段上靠近点B的三等分点，且解析：(1)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，.因为M是AE的中点，所以，所以，，.方法一：设，，则，所以.由题意知是平面的一个法向量，所以，即，解得，所以N为的中点.方法二：由平面yDz，可设点.在中，有，所以.①因为是平面的一个法向量，，平面，所以，即.②由①②得，，所以N为的中点.(2)方法一：设，.又点F在平面DMN内，所以存在实数，，使得，由(1)知，，所以，即解得所以，故交点F是线段上靠近点B的三等分点，且.方法二：设，，平面DMN的一个法向量为.由(1)知，，则取，得.在平面DMN内任取一点，不妨取点D，则，因为平面DMN，所以，即，解得，所以，故交点F是线段上靠近点B的三等分点，且.