2023-2024学年湘教版（2019）必修一 第四章 幂函数 指数函数和对数函数 单元测试卷(含答案)

2023-2024学年湘教版（2019）必修一 第四章 幂函数 指数函数和对数函数 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的关系是，，若每台产品的售价为9万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是(   )

A.3台 B.5台 C.6台 D.10台

2、把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(   )

A. B. C. D.

3、某市家庭煤气的使用量和煤气费（元）满足关系已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：

若五月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为(   )

A.12.5元 B.12元 C.11.5元 D.11元

4、已知，，，则a，b，c的大小关系为(   )

A. B. C. D.

5、若函数与的图像关于直线对称，且，则的图像必过定点(   )

A. B. C. D.

6、已知幂函数在上是减函数，则的值为(   )

A.3 B.-3 C.1 D.-1

7、幂函数在区间上单调递增，且，则的值(   )

A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断

8、已知是R上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是(   )

A.12 B.10 C.6 D.5

二、多项选择题

9、若幂函数的图像不过原点，则实数m的取值为(   )

A.0 B.2 C.1 D.无解

10、已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的值可能为(   )

A. B. C.e D.2

三、填空题

11、已知函数的定义域为R,则实数a的取值范围为___________.

12、某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积为60平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过__________平方米.

13、如图，在等腰梯形ABCD中，，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为__________.

14、已知幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为__________.

四、解答题

15、某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，对市场进行调研分析发现养鱼的收益M（单位：万元）、养鸡的收益N（单位：万元）与各自投入a（单位：万元）满足，.设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.

（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益.

（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？

16、已知函数，

（1）写出函数的解析式；

（2）若直线与曲线有三个不同的交点，求a的取值范围；

（3）若直线与曲线在内有交点，求的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：依题意，得，即，解得或（舍去）.因为，所以，所以生产者不亏本时的最低产量是3台.故选A.

2、答案：D

解析：设两段长分别为，，其中，则这两个正三角形的边长分别为，，故其面积之和.由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为.故选D.

3、答案：A

解析：根据题表，得.由三月份和四月份的数据，得解得，.所以所以（元）.故选A.

4、答案：C

解析：.因为函数是实数集上的增函数，又，所以，即.故选C.

5、答案：D

解析：，，，函数的图像过定点.函数与的图像关于直线对称，函数必过定点.故选D.

6、答案：C

解析：由函数为幂函数，得，解得或.因为在上是减函数，当时，，在上是增函数，不符合题意；当时，，符合题意，所以，所以，所以.故选C.

7、答案：A

解析：由函数是幂函数，得，解得或.当时，；当时，.因为函数在上单调递增，所以.又，所以，所以，所以.故选A.

8、答案：B

解析：

由得函数周期是，又偶函数，

且在时，，因此可得，

是偶函数，作出函数与时，的图象，

由图象可知，当时，两函数图象有5个交点.

又函数与均为偶函数，

所以函数的零点个数是10.，

即函数的零点个数是10．

故选：B．

9、答案：BC

解析：由题意，得，解得或.故选BC.

10、答案：CD

解析：依题意，，令，故问题转化为有解．

设，则，

故当时，，当时，，而，所以存在唯一零点，

即在有解，即，

令，则，故当时，，

当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

故，解得，故实数的取值范围为，

故选CD．

11、答案：

解析：因为 的定义域为R,所以 恒成立,

所以, 所以 .故实数a的取值范围是 .

故答案为:.

12、答案：80

解析：设李明家的建筑面积为x平方米，按照方案（1），李明家需缴纳供暖费（元）；按照方案（2），李明家需缴纳供暖费3x元.因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，所以，解得.所以他家的建筑面积最多不超过80平方米.

13、答案：

解析：如图，过点C作AD的垂线，交AD于点E.易知.

在中，，，

所以.

因为，所以，所以，

所以.

14、答案：-2

解析：由题意，幂函数，可得，解得或，当时，函数在区间上单调递增，不符合题意；当时，函数在区间上单调递减，符合题意，所以实数m的值为-2.

15、

（1）答案：88.5万元

解析：当甲合作社的投入为25万元时，乙合作社的投入为47万元，

此时两个合作社的总收益为（万元）.

（2）答案：在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元

解析：甲合作社的投入为x万元，则乙合作社的投入为万元.

①当时，，

.

令，则，

则总收益为.

显然当，即时，，

即甲合作社的投入为16万元，乙合作社的投入为56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.

②当时，，.

显然在上单调递减，所以，

即此时甲、乙合作社的总收益小于87万元.

因为，

所以在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元.

16、答案：（1）

（2）

(3)

解析：（1）当，得或，此时；

当，得，此时

所以

（2）当时，直线与曲线只有2个交点，不符题意.

当时，由题意得，直线与曲线在或内必有一个交点，且在的范围内有两个交点.

由，消去y得.

令，则a应同时满足以下条件：

，

解得或，所以a的取值范围为

（3）由方程组，消去y得.

由题意知方程在内至少有一个实根，设两根为，，

不妨设，，由根与系数关系得，

所以

当且仅当，时取等.

所以的取值范围为.