2023-2024学年湘教版（2019）选择性必修二 第二章 空间向量与立体几何 单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年湘教版（2019）选择性必修二 第二章 空间向量与立体几何 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、在直三棱柱中，，，，M是的中点，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与所成角的余弦值为(   )A. B. C. D.2、已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为(   )A.10 B.3 C. D.3、已知正三棱柱的各棱长都是2，E，F分别是，的中点，则EF的长是(   )A.2 B. C. D.4、如图所示，在直二面角中，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，其中，则点D到平面ACE的距离为(   )A. B. C. D.5、如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为(   )A. B. C. D.6、已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是(   )A. B. C. D.7、如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，E为PD的中点，，，建立恰当的空间直角坐标系，则下列向量是平面ACE的一个法向量的是(   )A. B. C. D.8、若，分别为直线，的方向向量，则与的位置关系是(   )A.  B.C.，相交不垂直  D.不能确定二、多项选择题9、在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则(   )A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为10、如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，则下列结论正确的是(   )A.平面 B. C.平面 D.三、填空题11、一个正方体的平面展开图如图所示，，则在原来的正方体中，线段CF的中点到直线AM的距离为__________.12、已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为___________.13、在二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内且都垂直于AB，若，，，，则此二面角的大小为__________.14、在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点.若平面平面，，则__________.四、解答题15、如图,在正方体中,,E,F分别是BD,的中点．（1）求异面直线与BF所成角的余弦值；（2）求点到平面BDF的距离．16、如图，正方形ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，，且平面ABCD.(1)求证：平面BCF；(2)求证：平面AEF.
参考答案1、答案：A解析：设，则，，，所以，，，因为，所以，解得，所以，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.2、答案：D解析：由，得点P到平面的距离.3、答案：C解析：方法一：由题意知，，，又，所以，所以.方法二：取AC的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，.方法三：设AC的中点为G，连接GE，GF.在中，.4、答案：B解析：取AB的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面ACE的一个法向量为，则即令，则，故点D到平面ACE的距离.5、答案：B解析：依题意，，，两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，(，，且m，n不同时为0)，则，，，所以，.设平面AEF的一个法向量为，则即令，则，显然为平面ABC的一个法向量.因为平面AEF与平面ABC所成角的大小为，所以，得，所以，所以当时，m取得最大值，为.6、答案：D解析：因为，所以的法向量与的法向量平行，又，所以选D.7、答案：C解析：因为底面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则，，，所以，.设为平面ACE的一个法向量，则即令，得，故A，B均不正确；令，得，故C正确，D不正确.8、答案：A解析：，.9、答案：AC解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；，且，不是平面的法向量，故B不正确；，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；，且，不是平面的法向量，故D不正确.10、答案：ABC解析：以D为原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则取，得，，所以.对于A，因为，所以.又平面，所以平面，故A正确.对于B，D，因为，所以，故B正确，D错误.对于C，因为，所以，所以平面，故C正确.选ABC.11、答案：解析：将展开图还原成正方体，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.易知，，，设CF的中点为G，连接MG，则，，，故G到AM的距离.12、答案：解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面DAC，如图，建立空间直角坐标系，则，，，所以，.设平面BCD的一个法向量为，则令，则，又平面CDA的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.13、答案：解析：由题知，，，，，即，，即此二面角的大小为.14、答案：解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设，由，得.设平面ACH的一个法向量为，，，则取，得.设平面EFG的一个法向量为，，，则取，得.因为平面平面ACH，所以，所以，解得.15、答案：（1）（2）解析：（1）以D为原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以直线与BF所成角的余弦值为；（2）设平面BDF的法向量为,则得取,则,得平面BDF的一个法向量为,所以点到平面BDF的距离为．16、答案：(1)证明见解析(2)证明见解析解析：(1)取BC的中点H，连接OH，则，又四边形ABCD为正方形，，.又平面ABCD，，，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面BCF的一个法向量为，则即取，得.四边形BDEF为平行四边形，，，，.又平面，平面BCF.(2)，，，，，，又，平面AEF.