湖北省2024届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省2024届高三上学期10月联考数学试卷(含答案)，共60页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、复数,则其共轭复数( )
A.B.C.D.
2、已知全集,,,则( )
A.B.C.D.
3、命题“,”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
4、如图所示,向量,,,A,B,C在一条直线上,且,则( )
A.B.C.D.
5、已知曲线在处的切线与直线垂直,则k的值为( )
A.4B.2C.-3D.-6
6、设是定义域为R的奇函数,且,当时,,则( )
A.B.C.D.
7、已知,化简的结果是( )
A.B.C.D.
8、已知向量,,若关于x的方程在上的两根为,则的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、在公比q为整数的等比数列中,是数列的前n项和,若,,则下列说法正确的是( )
A.数列,,,···是等比数列B.
C.D.数列是等差数列
10、已知实数x,y,z满足,,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
11、函数（其中,,）的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
B.函数的零点为,
C.若,则,
D.若,则
12、已知数列的前n项和,,数列的前n项和满足对任意恒成立,则下列命题正确的是( )
A.B.当n为奇数时,
C.D.t的取值范围为
三、填空题
13、已知平面向量,,那么在上的投影向量坐标为______.
14、已知函数在上是增函数,则a的最小值是______.
15、购买同一种物品可以用两种不同的策略,不考虑物品价格的升降,甲策略是每次购买这种物品的数量一定,乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定,则________种购物策略比较经济.
16、已知函数若关于的方程,有4个不同的实数根,则a的取值范围为___________.
四、解答题
17、已知函数在处有极值2.
（1）求a,b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
18、设函数.
（1）求函数的值域和单调递增区间；
（2）当,且时,求的值.
19、已知且,函数在R上是单调递减函数,且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③.
（1）从中选择的两个条件的序号为______,依所选择的条件求得______,______.
（2）在（1）的情况下,关于的方程在上有两个不等实根,求的取值范围.
20、在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,,,且.
（1）求的正弦值；
（2）BC,AC边上的两条中线AD,BE相交于点G,求的余弦值.
21、数列满足,,且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设,,数列的前n项和为,求对任意都成立的最小正整数m.
（参考公式：,）
22、设函数,,.
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）若在上恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由题意：,
由共轭复数的定义得.
故选：C.
2、答案：B
解析：解不等式,即,解得,即,
解不等式,得,即,或,
所以.
故选：B.
3、答案：D
解析：因为,即,
且,则,由题意可得,
选项中只有选项D满足是的真子集,
所以命题“,”为真命题的一个必要不充分条件是.
故选：D.
4、答案：B
解析：由题意可得：,
即.
故选：B.
5、答案：B
解析：因为,可得,
即曲线在处的切线斜率为,
且直线的斜率为,
由题意可得：,解得.
故选：B.
6、答案：C
解析：因为,则,
可知4为的周期,
且,可得.
故选：C.
7、答案：A
解析：因为,
且,则,可得,
所以；
又因为,
且,可得,
所以；
综上所述：.
故选：A.
8、答案：B
解析：由题意,
,
可得：,设,
当时,.
且由,得在上的对称轴为.
方程在上的两根为,
,,
且由得,.
,
当时,,,即有.
又,,则,
由得：,
.
故选：B.
9、答案：BCD
解析：因为数列为等比数列,则,
由,解得：或,
则或,又q为整数,所以,且,,所以B选项正确；
又,所以,
则,,,所以C选项正确；
因为,所以,,,···不是等比数列,所以A选项错误；
又有,
所以数列是公差为1的等差数列,所以D选项正确；
故选：BCD.
10、答案：BD
解析：因为,,,
所以,,,
对于A选项：因为,则,即,
所以,故A选项错误；
对于B选项： ,故B选项正确；
对于C选项：,
因,所以,
又,
所以,即,所以,故C选项错误；
对于D选项：因为,,
所以,故D选项正确；
故选：BD.
11、答案：ACD
解析：对A：由函数图象得,且函数的周期T满足：,
则,解得：,即,
代入点得：,,解得：,
又,所以,故A选项正确；
则,
对B：令,得,,解得：,,
所以函数的零点为,,故B选项错误；
对C：因为,
又,即,且,
则,,所以C选项正确；
对D：又,
即,
则,
所以,其中,,故,
所以,,即,,
则,所以D选项正确；
故选：ACD.
12、答案：AC
解析：当时,,
当时,,适合上式,所以,故A正确；
所以,
当n为奇数时,
,故B错误；
当n为偶数时,
,
所以,故C正确；
当n为奇数时,,
若,则,即,
所以,而,即；
当n为偶数时,则得,
即,而,即,
综上所述,,故D错误.
故选：AC.
13、答案：
解析：,所以,
同理可得：,
且,
,
在上的投影向量为：,
故答案为：.
14、答案：
解析：因为函数在上是增函数,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,
令,,则,
所以当时,,函数递增；当时,,函数递减,
则,故,
所以a的最小值是.
故答案为：.
15、答案：乙
解析：设第一次和第二次购物时价格分别为,
按甲策略,每次购,按这种策略购物时,两次的平均价格,
按乙策略,第一次花m元钱,能购物物品,第二次仍花m元钱,能购物物品,
两次购物的平均价格,
比较两次购物的平均价格 ,
因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格,所以用第二种购物方式比较经济,
故答案为：乙.
16、答案：
解析：作出的图象,
因为的图象是过定点,并且是绕着该点旋转的两条关于对称的射线.
当时,为轴,两函数图象只有3个交点,不符合题意.
当时,的是两条向下的射线,两图象只有1个交点,不符合题意.
故,先考虑时两图象的交点情形,
当时,,与刚好只交于点.
证明如下：当时,在点处,由,故,令,则,所以切线方程为：；
当时,在点处,由,故,令,则,所以切线方程为：；
所以当时在,两图象只有一个交点,此时考虑,
当,两函数图象必有一个交点,
当时,,所以两函数图象在有一个交点,
当时,联立得,无解,所以没有交点；
所以当时,只有3个交点,不合题意.
当时,,两射线更加陡峭,
两函数图象在时,没有交点,在有一个交点,则在有两个交点,另外两个交点要在取得,
当,即时,在和各一个交点；
故在时,两图象有4个交点.
当时,,两射线趋于平缓,
则两函数图象在有一个交点,在没有交点,则在有2个交点,另两个必须在取得,
若与相切,
则联立得,,
,,,；此时两函数图象在有三个公共点.
所以在时,两函数图象在有2个交点,在也有2个公共点,符合题意；
当,两函数图象在有2个交点,在也有3个公共点,不符合题意；
综上所述,a的取值范围为.
故答案为：.
17、答案：（1）,
（2）最小值是-18,最大值是2.
解析：（1）,.
函数在处取得极值2,
,,
解得,,
,
经验证在处取得极大值2,
故,.
（2）,
令,解得,
令,解得或,
因此在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,
,
故函数的最小值是-18,
,故函数的最大值是2.
18、答案：（1）,.
（2）
解析：（1）,
因为,所以函数的值域是.
令,,解得,,
所以函数的单调递增区间为,.
（2）由,得.
因为,所以,所以,
所以,
所以,
所以
19、答案：（1）选择①②,,
（2）
解析：（1）因为在上是单调递减函数,
故②,③不会同时成立,故函数一定满足①函数为奇函数.
因为函数的定义域为,所以,则,,故一定满足②.
选择①②,,即,
而,解得.
（2）由（1）可得,
由,则,
即,
令,因为,所以,
则问题转化为在上有两个解,
显然,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
又,,
要使在上有两个解,则,
所以m的取值范围是.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理可得,,
即,
整理得.
因为,所以,
所以,即.
又因为,所以.
由正弦定理,得.
（2）由余弦定理得,
即,所以.
在中,由余弦定理得,
则.
在中,,
所以,
解得.
由AD,BE分别为边BC,AC上的中线可知G为的重心,
可得,.
在中,由余弦定理得,
又因为,所以.
21、答案：（1）
（2）1012
解析：（1）,
当时,,
作差,得,即.
因为,,所以,满足,
即为常数列,即,.
（2）由题意,,
即.
设,,
则
,
,
.
因为对任意都成立,
所以,即,m的最小值为1012.
22、答案：（1）在上单调递减,在上单调递增
（2）.
解析：（1）由题意得：,.
由,得,由,得,
即在上单调递减,在上单调递增.
（2）由时,,得,即.
设,,
则,
设,则
当时,,,所以,
所以即在上单调递增,则.
①当时,则,
所以上单调递增,所以恒成立,符合题意.
②当时,则,且时,,
则必存在正实数满足当时,,在上单调递减,
此时,不符合题意.
综上,a的取值范围是.