冀教版九年级数学下册第三十章二次函数（A卷）含解析答案

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第三十章�二次函数（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下的圆环的面积为，则y与x的函数解析式为（    ）
A． B．
C． D．
2．若函数是关于的二次函数，则的值是（ ）
A． B．0 C．或 D．或
3．小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球的成绩（即的长度）是（    ）

A． B． C． D．
4．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点
5．如图，抛物线的顶点为，且过点，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．
6．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…


0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法正确的个数是（    ）
①抛物线与x轴的一个交点为      ②抛物线与y轴的交点为
③抛物线的对称轴是：直线      ④在对称轴左侧y随x的增大而增大
A．1 B．2 C．3 D．4
7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　）

A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
8．如图，反比例函数y1＝与二次函数y1＝ax2+bx+c图象相交于A、B、C三个点，则函数y＝ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图，在菱形ABCD中，其边长为4cm，，垂直于AD的直线EF（直线EF与菱形ABCD的两边分别交于点E，F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿AD方向以每秒1cm的速度向右平移.若的面积为，直线EF的运动时间为，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
10．题目：“，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3和5，为抛物线上点，之间（含点，）的一个动点，求点的纵坐标的取值范围.”小明答：.而小亮说：“小明考虑的不周全，还应有另一个取值范围.”下列判断正确的是（    ）
A．小亮说的不对，的取值范围就是
B．小亮说的对，另一个满足条件的取值范围是
C．小明求的结果不对，的取值范围应是
D．以上都不正确

评卷人
得分



二、填空题
11．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ．

12．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，当时，y的值是 ．
13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为 ．

14．如图，为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P、N分别在边AB，AC上．顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．

15．如图，将抛物线平移得到抛物线m．抛物线m经过点和原点O，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．

16．已知抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则m的取值范围是 ．

评卷人
得分



三、解答题
17．嘉嘉同学用配方法推导二次函数（）的顶点坐标，她是这样做的：由于．解析式变形为
，第一步
，第二步
，第三步
．第四步
(1)嘉嘉的解法从第______步开始出现错误；事实上，抛物线（）的顶点坐标是______．
(2)用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴








18．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象，A（1，0），B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积．









19．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：

(1)当时
①抛物线L的对称轴为直线 .
②若在抛物线L上有两点，，且，则m的取值范围是 .
(2)抛物线L的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线L与线段恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围.








20．图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动．

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．








21．抛物线：与直线：交于、两点，且．

(1)求和的值（用含的代数式表示）；
(2)当时，抛物线与轴的另一个交点为．
求的面积；
当时，则的取值范围是______．
(3)抛物线：的顶点，求出与的函数关系式；当为何值时，点达到最高．
(4)在抛物线和直线所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当时，直接写出“美点”的个数______；若这些美点平均分布在直线的两侧，的取值范围：______．









评卷人
得分



四、作图题
22．已知二次函数．

(1)该二次函数配方成的形式是___________；
(2)在图中画出该二次函数的图象；当时，的取值范围是___________．
(3)若直线与该二次函数的图象没有交点，请直接写出m的取值范围．
23．如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．

(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．

参考答案：
1．D
【分析】用半径为的圆的面积减去半径为的圆的面积即可求解．
【详解】解：依题意，，
故选D．
【点睛】本题考查了列函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键．
2．B
【分析】根据二次函数的定义进行计算即可；
【详解】解：由题意得：，解得：或，
又∵，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的定义．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，注意二次项系数不能为0．
3．C
【分析】令y=0，则求解即可得点A坐标，从而得出答案．
【详解】解：令y=0，则，
解得：x=2(舍去）或x=8，
∴A(8，0)，
∴OA=8m，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出抛物线与x轴的交点坐标．
4．A
【分析】根据函数解析式确定函数的顶点坐标，由此得到答案．
【详解】由可得，函数图象的顶点坐标为，
∴函数图象的顶点在第四象限，
∴原点在函数图象的顶点的左上方，
由图可知，坐标原点只有可能是点M，
故选：A．
【点睛】此题考查二次函数的性质及二次函数的图象，熟练确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数的图像与性质，从开口方向．与坐标轴的交点．顶点．对称轴．图像上的已知点等方面进行分析判断即可得出答案．
【详解】解：A．抛物线开口向下，，抛物线与y轴交点在x轴上方，，，故A选项错误，不符合题意；
B．图像与x轴有两个不同的交点，，故B选项错误，不符合题意；
C．将点代入抛物线的解析式得，，故C选项正确，符合题意；
D．对称轴是直线，，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像特征与性质是解决此题的关键．
6．C
【分析】根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到①②正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故③错误；根据 ，得到抛物线开口向下，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：根据表格中信息，得：
当 时， ，当时 ， ，
∴点，在抛物线上，故①②正确；
根据表格中信息，得：
当 时， ，
当 时，，
∴抛物线的对称轴为 ，故③错误；
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；
所以正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．C
【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意知，函数经过点，
则，
解得：，
∴，
∴当时，可食用率最高，
∴最佳加工时间为3.75分钟，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．
8．D
【分析】当时，得到方程，方程的解即反比例函数与二次函数图象交点的横坐标，于是得到函数的图象与x轴交点即是的解，即可得到结论．
【详解】当时，得，即，
方程的解即反比例函数与二次函数图象交点的横坐标，
反比例函数与二次函数图象相交于A、B、C三个点，
函数的图象与x轴交点即是的解，
函数的图象与x轴交点的个数是3个，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，函数图形与方程的关系，正确的理解题意是解题的关键．
9．D
【分析】根据，分别求出EF的长度代入即可判断函数图象．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，边长为4，∠A=60°，
∴当E、B重合时，AF=2，
当，,，
∴，
即，
∴y与x的函数是开口向上的二次函数，图象为抛物线的一部分；
当，EF为常数=，
∴，
即，
∴y与x是正比例函数，图象为直线的一部分，
故选：D．
【点睛】本题考查对动点问题的函数图象，三角形面积，二次函数图象、正比例函数图象，含30°角的直角三角形的性质、菱形的性质等知识点，能根据这些性质进行计算并运用分类讨论是解题的关键．
10．B
【分析】根据二次函数解析式得出其对称轴以及开口方向，可知当时，取得最小值，当是，取得最大值．
【详解】解：抛物线，
，对称轴为，
，
时，取得最小值，时，取得最大值，
当时，，
当时，，
的取值范围是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知：，函数图像开口向上；，函数图像开口向下；对称轴为；是解本题的关键．
11．
【分析】根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），对称轴为，根据抛物性的对称性即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根．
【详解】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），
对称轴为，
由抛物线的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为：
抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根，即：；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的关系．利用数形结合和函数的思想可以快速的解题．
12．
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x=-4，进而可得a的值，从而可得函数解析式，再把x=0代入函数解析式可得y的值．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
∴二次函数的对称轴为x=-4，
∴a=4，
把a=4代入二次函数可得，
当x=0时，，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式的对称轴为x=h．
13．（或）
【分析】根据题意以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，即可求出解析式．
【详解】解：以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，
由题意得A（-4，0），顶点（-2，2），
设抛物线的解析式为：
把A（-4，0）代入，得
4a＝﹣2，解得a，
所以抛物线解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意建立平面直角坐标系．
14．25
【分析】设DE=x，根据矩形的性质得到，PQ=MN=DE，证明△APN∽△ABC，得到，求出PN=10-x得到矩形的面积，根据二次函数的性质求解．
【详解】解：设DE=x，
∵四边形PQMN是矩形，AD⊥BC，
∴，PQ=MN=DE，
∴△APN∽△ABC，
∴，
∴，
∴PN=10-x，
∴矩形PQMN面积=，
∴当x=5时，矩形PQMN面积有最大值，最大值为25cm2，
故答案为：25．
．  
【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的最值，正确掌握相似三角形的判定及性质定理是解题的关键．
15．
【分析】连接，先利用交点式写出平移后的抛物线m的解析式，再用配方出顶点式，得出，所以点P，Q关于x轴对称，于是得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】连接，如图

∵平移后的抛物线m的函数解析式为，
∴，抛物线m的对称轴为直线，
当时，，则点，
由于抛物线向右平移3个单位，在向上平移个单位得到抛物线
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．
【分析】设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），根据一元二次方程的判别式和根与系数的关系解答即可．
【详解】解：由于抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，
故设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），
则x1、x2是一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴x1+x2=－m，   x1·x2=m－2，
由题意，得：即，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的根与系数关系、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握抛物线与x轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解得的关键．
17．(1)四，
(2)顶点坐标为，对称轴为直线x＝1

【分析】（1）根据计算可得出第四步中括号外符号错误，改正后即可直接得出顶点坐标；
（2）用配方法求解即可．
【详解】（1）嘉嘉的解法从第四步开始出现错误，应为，
故顶点坐标为．
故答案为：四，；
（2）




∴顶点坐标为，对称轴为直线x＝1．
【点睛】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质．熟练掌握配方法是解题关键．
18．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）6.
【分析】（1）把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c即可求出b,c的值 ，即可得出抛物线的解析式；（2）令y=0，求出C点，再利用三角形的面积公式进行求解.
【详解】解：（1）把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c
得，解得，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，
∴C点坐标为（﹣3，0），
∴△ABC的面积＝（1+3）×3＝6．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的求解与性质.
19．(1) 1 或
(2)或

【分析】（1）把代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；
②先画二次函数的简易图象，根据二次函数的图象和性质，抛物线上有两点，，且，进而可得的取值范围；
（2）根据题意先求出点、、的坐标，再结合图象，即可求的取值范围．
【详解】（1）①∵当时，抛物线为，
∴抛物线的对称轴为，
故答案为：1；
②当时，抛物线为，
如图，当或时，，

∵抛物线上有两点，，且，
∴在点左边抛物线上或点右边的抛物线上，
∴的取值范围是或；
故答案为：或；
（2）∵抛物线：的对称轴为，且对称轴于轴交于点，
∴点的坐标为（1，0），
∵点与点关于轴对称，
∴点的坐标为（，0），
∵点向右移3个单位长度得到点，
∴点的坐标为（4，0），
依题意，抛物线与线段恰有一个公共点，
把点（，0）代入可得；
把点（4，0）代入可得；
把点（1，0）代入可得；
根据图象可知抛物线与线段恰有一个公共点时可得或．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，结合图象作答是解题的关键．
20．(1)
(2)当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米
(3)

【分析】（1）点，点代入抛物线，待定系数法求解析式即可；
（2）运动员与小山坡的竖直距离为1米，结合图形根据，解方程即可求解；
（3）将化为顶点式，求得坡顶坐标为，根据当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）根据题意可知：点，点代入抛物线：得，
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式；
（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为1米，
∴，
解得：（不合题意，舍去），，
故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）∵点，
∴抛物线：，
∵抛物线：，
∴坡顶坐标为，
∴当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，，
解得：.
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，根据题意求得解析式是解题的关键．
21．(1)，
(2)①10；②
(3)，当时，此时点达到最高
(4)；

【分析】将点分别代入抛物线和直线解析可得出结论；
由可得出，令，可得出的值，进而可得出点的坐标，联立抛物线和直线的解析式，可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论；
根据二次函数的性质可得出当时，抛物线的增减性，进而可得出的取值范围；
将抛物线的解析式化为顶点式，可得出的值，进而可得出与的函数关系式，根据二次函数的性质可得出结论；
求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“美点”的个数；根据题意若这些美点平均分布在直线的两侧，则直线在点和之间，由此求出的值，进而得出结论．
【详解】（1）解：将点代入直线：，
，
；
将点代入抛物线：，
，
；
综上，，；
（2）当时，，
抛物线的解析式为：．
令，则或，
，
令，解得或，
．
．
当时，函数随的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为：．
故答案为：．
（3）抛物线：，
抛物线的顶点为，
，
，
当时，的最大值为，此时点达到最高．
综上，，当时，此时点达到最高．
（4）当时，
抛物线：，
直线：，
由得，，，
抛物线与直线的交点是和，
当时，
在和上的边界上，当横坐标是整数时，纵坐标也是整数，
“美点”共有：个；
当过点时，直线下方有个，直线上方有个，
此时，解得；
当过点时，直线下方有个，上方有个，
此时，解得；
若这些美点平均分布在直线的两侧，的取值范围：．
故答案为：；．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，新定义“美点”，二次函数的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
22．(1)
(2)画图见解析，
(3)

【分析】（1）用配方法化成顶点式．
（2）解方程得到抛物线与x轴的交点坐标，然后描点画出二次函数的图象．
（3）结合函数图象和二次函数的性质写出y的取值范围．
【详解】（1）二次函数配方成的形式是：
（2）当时，
解得
∴抛物线与x轴交点坐标为：
顶点坐标为：
如图：

∴当时，x的取值范围为：
（3）要使直线与二次函数图象没有交点，则直线在顶点的上方，
的取值范围是：
【点睛】本题主要考查了抛物线一般式转化成顶点式，抛物线与x轴的交点问题，也考查了二次函数的性质，解题的关键是把抛物线与x轴的交点问题转化为解关于x的一元二次方程．
23．(1)对称轴为直线，的最大值为4，
(2)5

【分析】（1）由的性质得开口方向，对称轴和最值，把代入中即可得出a的值；
（2）由，得出抛物线是由抛物线C：向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，即可求出点移动的最短路程．
【详解】（1），
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴；
（2）∵，
∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质以及平移的方法是解题的关键．