2023-2024学年人教版（2012）九年级下册第二十八章锐角三角形单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年 人教版（2012）九年级下册 第二十八章 锐角三角形 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．在中，，那么的值是（    ）A．2 B． C． D．2．如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 （    ）  A． B． C． D．3．已知，则的值是（　）A．1 B． C． D．24．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（    ）A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小5．如下图，的半径为，以A为圆心，为半径的弧交于B，C两点，则弦的长度为（　　）  A． B． C．8 D．6．如图，在中，，平分，，那么的值为（    ）  A． B． C． D．7．如图，内接于，，，则的半径为（    ）    A．4 B．8 C． D．8．如图，已知梯形中，，，点P从点B出发，沿、边到D停止运动，设点P 运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如右图，则梯形的面积是（    ）  A．20 B． C． D． 二、多选题9．在中，，是外一动点，满足，设，则下列结论正确的有（　　）  A． B．设四边形的面积为，则C．若，则的最大值为D．若，则的长度为10．如图，在中，，，在边取一点D，使，连接，过点C作的垂线l，交于点M，交 于点N，连接，过点B作，交直线l于点E．给出以下四个结论，其中正确的是(   )A． B．C． D． 三、填空题11．将一对直角三角板如图放置，点在同一直线上，，点B在上，，若，则的长度是      ．12．在中，，点D、E分别在上，且，若沿翻折，点C恰好落在边上，则的长为         ．  13．在中，，，，那么           ．14．如图，在中，，在边上取一点，使，连接，点为线段上一点，点为中点，若，，则      .   四、计算题15．先化简，再求代数式的值，其中，16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，抛物线的顶点为点．  (1)求抛物线的解析式；(2)连接，求证：；(3)连接交轴于点，点是轴上一动点，若与点组成的三角形相似，求点的坐标．
参考答案：1．D【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．2．A【分析】如图，由正方形的性质可得，，，则，由，，可得，由题意知，，，，，，，即，整理求解即可．【详解】解：如图，  由正方形的性质可得，，，∴，∵，，∴，由题意知，，，，，∴，，∴，整理得，，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．3．B【分析】分子分母同时除以化简求值即可得到答案；【详解】解：分子分母同时除以得，，∴，解得：，故选：B；【点睛】本题考查三角函数运算问题，解题的关键是熟练掌握：．4．C【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．5．A【分析】如图：连接，根据题意可知，继而即可推出，再根据特殊角的三角函数值解直角三角形以及垂径定理即可解答．【详解】解：如图：连接，∵的半径为，以A为圆心，为半径的弧交于，两点，∴，∴，∵，∴．故选A．  【点睛】本题主要考查了垂径定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，推出并掌握解直角三角形是解答本题的关键．6．B【分析】作于E，根据等腰直角三角形的性质证明，设,表示出的长，根据角平分线的性质证明，得到答案．【详解】解：作于E，  ∵平分，，，∴，∵，，∴，∴，设，则，，则，∴，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质和等腰直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．C【分析】连接并延长交于点D，连接，根据是的直径得到，进而求出，根据勾股定理求出，即可得到的半径．【详解】解：连接并延长交于点D，连接，∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的半径为，故选：C．  【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，根据角的正切值求线段，正确连出辅助线解决问题是解题的关键．8．D【分析】过点D作交于E，利用矩形的判定可得四边形为矩形，在中，利用解直角三角形可得，则利用即可求解．【详解】解：过点D作交于E，如图所示：  由右图可知梯形中，，，，四边形为矩形，,在中，，，，故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象；认真观察图形，由右图可知梯形中，是正确解答本题的关键．9．ABCD【分析】根据，可判定点四点共圆，根据圆周角定理可判定选项；根据几何图形面积的计算方法即可判断选项；当时直径时可判定选项；如图所示，过点作延长线于点，过点作于点，过点作于点，根据即可求解的长，判定选项．【详解】解：、，∵，∴点四点共圆，∴，，∵，∴，则，故原选项正确，符合题意；、设四边形的面积为，则∵，当时，即，，取得最大值，∴，故原选项正确，符合题意、若，则的最大值为，当时，，∵，当为直径时，的值最大，此时，∴的最大值为，故原选项正确，符合题意；、若，则的长度为，如图所示，过点作延长线于点，过点作于点，过点作于点，  当时，，∴，且，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故原选项正确，符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握等腰三角形的性质，三角形面积的计算方法，圆的基础知识，最值的计算方法等知识的灵活运用是解题的关键．10．ABD【分析】先证明，然后利用证明即可判断A；证明，得到， 推出，即可判断B；由，得到，设，则，，由相似三角形的性质得到，进而推出，则，即可得到，即可判断C；如图所示，过点D作于Q，由勾股定理得，，解直角三角形求出，则，即可判断D．【详解】解：∵，，∴，，∵，即，∴，∴，又∵，∴，故A符合题意；∴，∵，∴，∴，即，∴，故B符合题意；∵，∴，设，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故C不符合题意；如图所示，过点D作于Q，在中，由勾股定理得，同理可得，∵，∴，∴，∴，故D符合题意；故选ABD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定， 解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．11．/【分析】过点B作于点M，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案．【详解】解：过点B作于点M，在中，，，，，，在中，，，在中，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的性质及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意利用所学的三角函数的关系进行解答．12．【分析】如图点为点在上的对应点，过点作交点为N，过点作交点为M，设，根据三角函数得出，再由相似三角形的判定和性质代入求解即可．【详解】解：如图点为点在上的对应点，过点作交点为N，过点作交点为M，设，  在中，，∵∴，，∴∴，∴，∴，在中∵，，∴∵∴∴∴解得：故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，锐角三角函数，三角形相似，勾股定理等知识．解题的关键在于利用相似比找出线段的数量关系．13．【分析】设，则，求出，然后解出的值即可解题．【详解】解：∵，设，则，∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．14．【分析】过E作交于点G， 根据，得出，再根据，设，表示出，再根据即可解答；【详解】过E作交于点G，，，，，，又点为中点，设，，，，；故答案为：；  【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识点，解答该题的关键是做辅助线，得出相似比．15．，【分析】先将分式化简，再利用特殊角的三角函数值计算a,b之后代入计算即可．【详解】解：，当，，∴原式．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.16．(1)(2)见解析(3)或 【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出B和C的坐标，运用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）求出顶点D的坐标，然后求出，即可证明结论；（3）求出直线的解析式，然后计算出点的坐标，然后分两种情况：和计算解题．【详解】（1）解：当时，，∴点C的坐标为，令，则，解得，∴点B的坐标为，把，代入得，解得：，∴；（2）解：，∴点D的坐标为，过点D作垂直于点F，连接，则点F的坐标为，∴，，∴，又∵，∴，∴；  （3）设直线的解析式为，代入得：，解得，∴，令，则，∴点E的坐标为，∴，，，，∵，∴当时，，即，解得，∴，∴点P的坐标为，当时，，即，解得，∴，∴点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的图像和解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键．