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高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第一章 动量守恒定律2 动量定理精品课时作业
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这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第一章 动量守恒定律2 动量定理精品课时作业，共13页。
一、动量定理的理解
如图，一个质量为 m的物体在光滑的水平面上受到恒力F的作用，做匀变速直线运动。在初始时刻，物体的速度为 v，经过一段时间Δt，它的速度为v′。试推导F、Δt与Δp的关系。
答案 加速度a＝eq \f(v′－v,Δt)
根据牛顿第二定律F＝ma，则有
F＝meq \f(v′－v,Δt)＝eq \f(mv′－mv,Δt)＝eq \f(p′－p,Δt)，即FΔt＝p′－p
1．冲量
(1)定义：力与力的作用时间的乘积。
(2)定义式：I＝FΔt。
(3)物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大。
(4)单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛秒，符号为N·s。
(5)矢量性：冲量是矢(填“矢”或“标”)量。如果力的方向恒定，则冲量的方向与力的方向相同。
2．动量定理
(1)内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。
(2)表达式：I＝p′－p或F(t′－t)＝mv′－mv。
1．对动量定理的理解
(1)动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因。
(2)动量定理的表达式FΔt＝mv′－mv是矢量式，运用动量定理解题时，要注意规定正方向。
(3)公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是变化的力，则F应理解为合外力在作用时间内的平均值。
(4)动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，而且对微观粒子的高速运动同样适用。
2．动量定理、动能定理的区别
(1)动量定理指出力在时间上的积累改变了物体的动量，动能定理指出力在空间上的积累改变了物体的动能。
(2)动量定理是矢量式，动能定理是标量式。
(1)作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定也很大。( × )
(2)只要力的作用时间和力的大小的乘积相同，物体所受的冲量一定相同。( × )
(3)用力推物体，但没有推动，则该力对物体的冲量为零。( × )
(4)若物体在一段时间内动量发生了变化，则物体在这段时间内受到的合外力一定不为零。
( √ )
(5)合力越大，动量变化越快。( √ )
二、动量定理的基本应用
(一)用动量定理解释生活中的现象
鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在泡沫塑料垫上，鸡蛋没被打破；第二次落在玻璃上，鸡蛋被打破，这是为什么？
答案 两次碰撞瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零，也相同，所以两次碰撞过程中鸡蛋的动量变化相同。根据FΔt＝Δp，第一次与泡沫塑料垫作用的时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破；第二次与玻璃作用的时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破。
例1 (多选)利用动量定理对下列现象的解释，其中正确的是( )
A．击钉时，不用橡皮锤仅仅是因为橡皮锤太轻
B．用手接篮球时，手往往向后缩一下，是为了减小冲量
C．易碎品运输时，要用柔软材料包装，船舷常常悬挂旧轮胎，都是为了延长作用时间以减小作用力
D．在车内推车推不动，是因为车(包括人)所受合外力的冲量为零
答案 CD
例2 如图所示，小明在演示惯性现象时，将一杯水放在桌边，杯下压一张纸条。若缓慢拉动纸条，发现杯子会滑落；当他快速拉动纸条时，发现杯子并没有滑落。对于这个实验，下列说法正确的是( )
A．缓慢拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较小
B．快速拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较大
C．为使杯子不滑落，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量大一些
D．为使杯子不滑落，杯子与桌面间的动摩擦因数应尽量大一些
答案 D
解析 在缓慢拉动和快速拉动纸条的过程中，杯子受到的摩擦力均为滑动摩擦力，大小相等，但快速拉动时，纸条与杯子作用时间短，此时摩擦力对杯子的冲量小，由I＝Δp可知，杯子增加的动量较小，因此杯子没有滑落，缓慢拉动时，摩擦力对杯子的冲量大，杯子增加的动量大，杯子会滑落，故A、B错误；为使杯子不滑落，杯子与纸条间的摩擦力对杯子的冲量应尽量小一些，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量小一些，选项C错误；杯子与桌面间的动摩擦因数较大时，杯子在桌面上做减速运动的加速度较大，杯子更容易停下来，不滑落，选项D正确。
根据动量定理FΔt＝p′－p＝Δp可知：
(1)Δp一定，Δt短则F大，Δt长则F小；
(2)F一定，Δt短则Δp小，Δt长则Δp大；
(3)Δt一定，F大则Δp大，F小则Δp小。
(二)动量定理的定量计算
例3 一个质量为0.18 kg的垒球，以25 m/s的水平速度飞向球棒，被球棒击打后，反向水平飞回，速度的大小为45 m/s。若球棒与垒球的作用时间为0.002 s，求球棒对垒球的平均作用力为多大？
答案 6 300 N
解析 取垒球飞向球棒的方向为正方向。垒球的初动量为p1＝mv1＝4.5 kg·m/s，垒球的末动量为p2＝mv2＝－8.1 kg·m/s，由动量定理可得垒球所受的平均作用力为eq \x\t(F)＝eq \f(p2－p1,Δt)＝－6 300 N．垒球所受的平均作用力的大小为6 300 N，负号表示力的方向与垒球飞向球棒的方向相反。
例4 如图，用0.5 kg的铁锤钉钉子．打击前铁锤的速度为4 m/s，打击后铁锤的速度变为0，设打击时间为0.01 s，g取10 m/s2。
(1)不计铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？
(2)考虑铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？
答案 (1)200 N (2)205 N
解析 (1)打击时，铁锤受到重力和钉子对铁锤竖直向上的弹力，打击后铁锤的速度为0，设竖直向下为正方向．若不计铁锤所受的重力，根据动量定理有－FΔt＝0－mv，解得F＝200 N。
由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的平均作用力为200 N
(2)若考虑铁锤所受的重力，则有(G－F)Δt＝0－mv，解得F＝205 N。
由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的平均作用力为205 N。
拓展延伸 你分析一下，在计算铁锤钉钉子的平均作用力时，在什么情况下可以不计铁锤所受的重力。
答案 当打击时间很短时，可以不计铁锤所受的重力
解析 从前两问的解答可以看出，当打击时间很短时，铁锤所受的重力可以忽略不计。
1．动量定理是矢量式，应用时必须选取正方向。
2．动量定理公式中I(F·Δt)应为合外力的冲量，不要漏掉某个力的冲量。
3．应用动量定理定量计算的一般步骤：
三、冲量的计算
如图所示，一个质量为m的物体在与水平方向成θ角的拉力F的作用下保持静止状态，经过一段时间t，拉力F做的功是多少？拉力F的冲量是多大？方向如何？
答案 拉力F做的功是零，冲量大小是Ft，方向与F方向相同。
1．冲量是过程量
冲量是力作用在物体上的时间累积效应，取决于力和时间这两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。
2．冲量是矢量
在力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。
3．冲量和功的比较
(1)某个力在一段时间内做的功为零时，力的冲量不为零。
(2)一对作用力和反作用力的冲量大小一定相等，方向一定相反；但它们所做的功大小不一定相等，符号也不一定相反。
例5 (多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，如图所示，经时间t，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．重力对物体的冲量大小为mgtsin θ
B．支持力对物体的冲量大小为零
C．摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ
D．合力对物体的冲量大小为零
答案 CD
解析 根据冲量的定义知，重力对物体的冲量大小为mgt，A错误；对物体进行受力分析可知支持力大小FN＝mgcs θ，则支持力对物体的冲量大小为mgcs θ·t，B错误；摩擦力Ff＝mgsin θ，所以摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ，C正确；因物体静止，合力为零，则合力对物体的冲量大小为零，D正确。
某个恒力冲量的大小等于该力与时间的乘积，与是否受到其他力无关，与物体的状态无关。某力冲量的方向与该力的方向相同。
例6 (2022·新余市期末)一物体受到方向不变的力F作用，其中力F的大小随时间变化的规律如图所示，则力F在6 s内的冲量大小为( )
A．9 N·s B．13.5 N·s
C．15.5 N·s D．18 N·s
答案 B
解析 由I＝Ft可知，在F－t图像中，图线与坐标轴所围成的面积表示冲量的大小，所以I＝eq \f(1,2)×3×3 N·s＋3×3 N·s＝13.5 N·s，故B正确，A、C、D错误。
例7 (多选)质量为m的物体以初速度v0开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内物体所受重力的冲量为( )
A．m(v－v0) B．mgt
C．meq \r(v2－v02) D．meq \r(2gh)
答案 BCD
解析 IG＝mgt，B正确；Δp＝p′－p＝mvy，vy＝eq \r(v2－v02)＝eq \r(2gh)，故C、D正确，A错误。
1．利用公式I＝FΔt求冲量：此公式适用于求恒力的冲量。
2．利用F－t图像法。
如图甲、乙所示，该力在时间Δt内的冲量大小在数值上就等于图中阴影部分的“面积”。
3.如图丙所示，若力F是变力，但力与时间成线性关系变化，则可用平均力求变力的冲量。
4．利用动量定理求解：I ＝Δp＝p′－p。
课时对点练
考点一 动量定理的理解
1．关于冲量的概念，以下说法正确的是( )
A．作用在两个物体上的合力大小不同，但两个物体所受的冲量大小可能相同
B．作用在物体上的力的作用时间很短，物体所受的冲量一定很小
C．作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定也很大
D．只要力的作用时间和力的大小的乘积相同，物体所受的冲量一定相同
答案 A
解析 由冲量公式I＝FΔt可知，作用在两个物体上的合力大小不同，但两个物体所受的冲量大小可能相同，A正确；由冲量公式I＝FΔt可知，冲量大小由力的大小和作用时间二者共同决定，只知道力或作用时间一个因素，无法确定冲量大小，B、C错误；冲量是矢量，两个大小相等的冲量，方向不一定相同，D错误。
2．(多选)关于动量、冲量以及动量变化的说法正确的是( )
A．一个做曲线运动的物体，其动量的大小和方向变化，而在相等时间内物体受到的合外力的冲量不可能始终相等
B．一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，而在相等时间内合外力的冲量大小可能总相等
C．一个物体所受合外力冲量为零时，虽然其动量不变，但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大
D．一个运动物体，其动量越来越大，而其加速度可能越来越小
答案 BCD
解析 一个做曲线运动的物体，其动量大小和方向变化，在相等时间内物体受到的合外力的冲量可能始终相等，如平抛运动，故A错误；一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，如果受到合外力的大小不变，则相等时间内合外力的冲量大小总相等，如匀速圆周运动，故B正确；一个物体合外力冲量为零时，根据动量定理，其动量不变，但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大，只要保证合力为零即可，故C正确；一个运动物体，其动量越来越大，说明速度越来越大，加速度可能越来越小，如做加速度减小的加速运动的物体，故D正确。
考点二 动量定理的基本应用
3．(2020·全国卷Ⅰ)行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( )
A．增加了司机单位面积的受力大小
B．减少了碰撞前后司机动量的变化量
C．将司机的动能全部转换成汽车的动能
D．延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
答案 D
解析 汽车剧烈碰撞瞬间，安全气囊弹出，立即跟司机身体接触．司机在很短时间内由运动到静止，动量的变化量是一定的，由于安全气囊的存在，作用时间变长，据动量定理Δp＝FΔt知，司机所受作用力减小；又知安全气囊打开后，司机受力面积变大，因此减小了司机单位面积的受力大小；碰撞过程中，动能转化为内能．综上可知，选项D正确。
4．(2022·吉安市期末)图示为某运动员做下蹲起跳训练，开始时运动员处于下蹲状态，竖直向上跳起后双脚离地的最大高度为0.2 m，若运动员蹬地的平均作用力为其体重的3倍，重力加速度大小为10 m/s2，则运动员从蹬地到双脚离地所用的时间为( )
A．0.10 s B．0.15 s
C．0.18 s D．0.20 s
答案 A
解析 设运动员双脚离地时的速度大小为v，则v＝eq \r(2gh)＝2 m/s，根据动量定理有(3mg－mg)t＝mv，解得t＝0.10 s，故选A。
5．两个质量不同而初动量相同的物体，在水平地面上由于摩擦力的作用而停止运动，它们与地面的动摩擦因数相同，比较它们的滑行时间，则( )
A．质量大的物体滑行时间长
B．质量小的物体滑行时间长
C．滑行时间相同
D．条件不足，无法判断
答案 B
解析 选初速度的方向为正，根据动量定理得：－μmgt＝0－mv，则得：t＝eq \f(mv,μmg)，由题意，两个物体的初动量mv相同，μ相同，则t∝eq \f(1,m)，故质量小的物体滑行时间比较长，故选B。
考点三 冲量的理解和计算
6．(2022·长春市实验中学高二期末)如图所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经过时间t1，速度为零并又开始下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为Ff。在整个运动过程中，下列说法正确的是( )
A．重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)sin θ
B．斜面对滑块的支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)cs θ
C．合力的冲量为0
D．摩擦力的总冲量为Ff(t1＋t2)
答案 B
解析 重力对滑块的总冲量为IG＝mg(t1＋t2)，A错误；斜面对滑块的支持力对滑块的总冲量为IN＝mg(t1＋t2)cs θ，B正确；整个过程中滑块的动量发生了改变，故合力的冲量不为0，C错误；上滑过程和下滑过程摩擦力的方向相反，故若以沿斜面向上为正方向，摩擦力的总冲量为If＝Ff(t2－t1)，D错误。
7.如图所示，物体由静止开始做直线运动，0～4 s内其合外力随时间变化的关系为某一正弦函数，下列说法错误的是( )
A．0～2 s内合外力的冲量一直增大
B．0～4 s内合外力的冲量为零
C．2 s末物体的动量方向发生改变
D．0～4 s内物体的动量方向一直不变
答案 C
解析 根据I＝Ft可知，F－t图线与时间轴围成图形的面积表示力的冲量，则0～2 s内合外力的冲量一直增大，0～4 s内合外力的冲量为零，选项A、B正确；0～4 s内合外力的冲量为零，则0～4 s内物体的动量先增大后减小，方向一直为正，即物体的动量方向一直不变，选项C错误，D正确。
8.(多选)如图所示，把重物G压在纸带上，第一次用一水平力拉动纸带，重物恰停在边沿处，第二次迅速拉动纸带，重物几乎不动，对这种现象的解释正确的是( )
A．第二次拉动纸带时，纸带对重物的摩擦力小
B．两次拉动纸带时，纸带对重物的摩擦力相同
C．在第一次拉动纸带时，纸带对重物的冲量大
D．在第二次拉动纸带时，纸带对重物的冲量大
答案 BC
解析 两次拉动纸带时，纸带与重物间的摩擦力均为滑动摩擦力，大小相等，A错误，B正确．由题可知，第一次拉动纸带时，纸带与重物的作用时间长，两次拉纸带，纸带对重物的作用力相同，根据I＝Ft，所以第一次纸带对重物的冲量大，C正确，D错误。
9．(2022·苏州市期末)2021年某学校举行的元旦晚会上进行了“托球选表演者”的游戏。在互动环节，表演者将球抛向观众，假设质量约为3 kg的超大气球以2 m/s的速度竖直下落到手面，某观众双手上推，使气球以原速度大小竖直向上反弹，作用时间为0.2 s，作用过程中忽略气球所受浮力及空气阻力，g取10 m/s2。则观众双手受到的压力为( )
A．30 N B．60 N C．90 N D．120 N
答案 C
解析 取竖直向下为正方向，对气球由动量定理有(mg－F)Δt＝mv′－mv，代入数据解得F＝90 N，由牛顿第三定律可知，观众双手受到的压力为90 N，故C正确。
10．(2022·苏州市期中)质量为1 kg的物体做直线运动，其v－t图像如图所示。则物体在前10 s内和后10 s内所受合外力的冲量分别是( )
A．10 N·s,10 N·s B．10 N·s，－10 N·s
C．0,10 N·s D．0，－10 N·s
答案 D
解析 在前10 s内，物体的初速度为5 m/s，末速度为5 m/s，根据动量定理得I合＝Δp，知外力的冲量为0；在后10 s内，物体的初速度为5 m/s，末速度为－5 m/s，根据动量定理得I合′＝Δp′＝mv2－mv1＝－1×5 kg·m/s－1×5 kg·m/s＝－10 kg·m/s＝－10 N·s，故D正确。
11．(2021·北京卷)如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是( )
A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B．圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为2mωr
C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为mωr
答案 D
解析 圆盘停止转动前，小物体随圆盘一起转动，小物体所受摩擦力提供向心力，方向沿半径方向，圆盘停止转动后瞬间，小物体沿运动轨迹切线方向运动，之后也不会沿圆半径方向运动，故A、C错误；
圆盘停止转动前，转动一圈Δp＝0，由动量定理知I＝Δp＝0，故B错误；
圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为I′＝Δp＝mv＝mrω，故D正确。
12．(多选)从0时刻开始用水平拉力F拉静止在光滑水平桌面上的小物块，力F的方向恒定，力F的大小与时间t的关系如图所示，小物块质量为2 kg，下列说法正确的是( )
A．在0～2 s时间内，水平拉力F的冲量为8 N·s
B．2 s末物体的速度为8 m/s
C．在0～4 s时间内，合力的冲量为20 N·s
D．在0～4 s时间内，拉力F做的功为100 J
答案 ACD
解析 由F－t图像与t轴围成的面积等于冲量的大小，则可得，在0～2 s时间内，水平拉力F的冲量为I＝Ft＝2×4 N·s＝8 N·s，A正确；根据动量定理可得Ft＝mv，代入数据，解得
2 s末物体的速度大小v＝4 m/s，B错误；在0～4 s时间内，合力的冲量为I4＝F1t2＋F2t4＝8 N·s＋12 N·s＝20 N·s，C正确；由于在0～4 s时间内，合力的冲量为20 N·s，根据动量定理可得I4＝mv4，代入数据，解得v4＝10 m/s，由动能定理可得WF＝eq \f(1,2)mv42＝eq \f(1,2)×2×102 J＝100 J，D正确。
13．下雨是常见的自然现象，如果雨滴下落为自由落体运动，则雨滴落到地面时，对地表动植物危害极大，实际上，动植物都没有被雨滴砸伤，因为雨滴下落时不仅受重力，还受空气的浮力和阻力，使得雨滴落地时不会因速度太大而将动植物砸伤。某次下暴雨，质量为m＝2.5×10－5 kg的雨滴，从高h＝2 000 m 的云层下落。(g取10 m/s2)
(1)如果不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，落到地面经Δt1＝1.0×10－5 s速度变为零，因为雨滴和地面作用时间极短，可认为在Δt1内地面对雨滴的作用力不变且不考虑雨滴的重力，求雨滴对地面的作用力大小；
(2)考虑到雨滴同时还受到空气浮力和阻力的作用，设雨滴落到地面的实际速度为8 m/s，落到地面上经时间Δt2＝3.0×10－4 s速度变为零，在Δt2内地面对雨滴的作用力不变且不考虑这段时间雨滴受到的重力、空气的浮力和阻力，求雨滴对地面的作用力大小。
答案 (1)500 N (2)eq \f(2,3) N
解析 (1)不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，落到地面的速度为
v＝eq \r(2gh)＝200 m/s
取竖直向上为正方向，设地面对雨滴的作用力大小为F，对雨滴和地面的作用过程，由动量定理得FΔt1＝0－(－mv)
代入数据解得F＝500 N
根据牛顿第三定律可知，雨滴对地面的作用力大小为500 N。
(2)对雨滴和地面作用的过程，由动量定理得
F′Δt2＝0－(－mv′)
其中v′＝8 m/s
代入数据解得F′＝eq \f(2,3) N
根据牛顿第三定律可知，雨滴对地面的作用力大小为eq \f(2,3) N。
14．(2022·合肥市高二期末)质量m＝0.5 kg的质点由静止开始做匀加速直线运动，动量p随位移x变化的关系式为p＝2eq \r(x)(各量均取国际单位制单位)，则此质点( )
A．加速度为2 m/s2
B．前2 s内动量增加8 kg·m/s
C．在连续相等时间内，动量增量越来越大
D．在通过连续相等的位移时，合外力的冲量可能相等
答案 B
解析 根据v2＝2ax得v＝eq \r(2ax)，则动量p＝mv＝meq \r(2ax)，可知p＝0.5×eq \r(2ax)＝2eq \r(x)，解得质点的加速度大小为8 m/s2，故A错误；前2 s内质点速度的变化量为Δv＝at＝16 m/s，则前
2 s内动量的增量Δp＝mΔv＝8 kg·m/s，故B正确；因为相同时间内速度的变化量相同，则连续相等时间内，动量的增量一定相等，故C错误；因为相等位移内速度变化量不同，则动量的增加量不等，由I＝Δp可知，在通过连续相等的位移时，合外力的冲量不相等，故D错误。
一、动量定理的理解
如图，一个质量为 m的物体在光滑的水平面上受到恒力F的作用，做匀变速直线运动。在初始时刻，物体的速度为 v，经过一段时间Δt，它的速度为v′。试推导F、Δt与Δp的关系。
答案 加速度a＝eq \f(v′－v,Δt)
根据牛顿第二定律F＝ma，则有
F＝meq \f(v′－v,Δt)＝eq \f(mv′－mv,Δt)＝eq \f(p′－p,Δt)，即FΔt＝p′－p
1．冲量
(1)定义：力与力的作用时间的乘积。
(2)定义式：I＝FΔt。
(3)物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大。
(4)单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛秒，符号为N·s。
(5)矢量性：冲量是矢(填“矢”或“标”)量。如果力的方向恒定，则冲量的方向与力的方向相同。
2．动量定理
(1)内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。
(2)表达式：I＝p′－p或F(t′－t)＝mv′－mv。
1．对动量定理的理解
(1)动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因。
(2)动量定理的表达式FΔt＝mv′－mv是矢量式，运用动量定理解题时，要注意规定正方向。
(3)公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是变化的力，则F应理解为合外力在作用时间内的平均值。
(4)动量定理不仅适用于宏观物体的低速运动，而且对微观粒子的高速运动同样适用。
2．动量定理、动能定理的区别
(1)动量定理指出力在时间上的积累改变了物体的动量，动能定理指出力在空间上的积累改变了物体的动能。
(2)动量定理是矢量式，动能定理是标量式。
(1)作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定也很大。( × )
(2)只要力的作用时间和力的大小的乘积相同，物体所受的冲量一定相同。( × )
(3)用力推物体，但没有推动，则该力对物体的冲量为零。( × )
(4)若物体在一段时间内动量发生了变化，则物体在这段时间内受到的合外力一定不为零。
( √ )
(5)合力越大，动量变化越快。( √ )
二、动量定理的基本应用
(一)用动量定理解释生活中的现象
鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在泡沫塑料垫上，鸡蛋没被打破；第二次落在玻璃上，鸡蛋被打破，这是为什么？
答案 两次碰撞瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零，也相同，所以两次碰撞过程中鸡蛋的动量变化相同。根据FΔt＝Δp，第一次与泡沫塑料垫作用的时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破；第二次与玻璃作用的时间短，作用力大，所以鸡蛋被打破。
例1 (多选)利用动量定理对下列现象的解释，其中正确的是( )
A．击钉时，不用橡皮锤仅仅是因为橡皮锤太轻
B．用手接篮球时，手往往向后缩一下，是为了减小冲量
C．易碎品运输时，要用柔软材料包装，船舷常常悬挂旧轮胎，都是为了延长作用时间以减小作用力
D．在车内推车推不动，是因为车(包括人)所受合外力的冲量为零
答案 CD
例2 如图所示，小明在演示惯性现象时，将一杯水放在桌边，杯下压一张纸条。若缓慢拉动纸条，发现杯子会滑落；当他快速拉动纸条时，发现杯子并没有滑落。对于这个实验，下列说法正确的是( )
A．缓慢拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较小
B．快速拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较大
C．为使杯子不滑落，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量大一些
D．为使杯子不滑落，杯子与桌面间的动摩擦因数应尽量大一些
答案 D
解析 在缓慢拉动和快速拉动纸条的过程中，杯子受到的摩擦力均为滑动摩擦力，大小相等，但快速拉动时，纸条与杯子作用时间短，此时摩擦力对杯子的冲量小，由I＝Δp可知，杯子增加的动量较小，因此杯子没有滑落，缓慢拉动时，摩擦力对杯子的冲量大，杯子增加的动量大，杯子会滑落，故A、B错误；为使杯子不滑落，杯子与纸条间的摩擦力对杯子的冲量应尽量小一些，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量小一些，选项C错误；杯子与桌面间的动摩擦因数较大时，杯子在桌面上做减速运动的加速度较大，杯子更容易停下来，不滑落，选项D正确。
根据动量定理FΔt＝p′－p＝Δp可知：
(1)Δp一定，Δt短则F大，Δt长则F小；
(2)F一定，Δt短则Δp小，Δt长则Δp大；
(3)Δt一定，F大则Δp大，F小则Δp小。
(二)动量定理的定量计算
例3 一个质量为0.18 kg的垒球，以25 m/s的水平速度飞向球棒，被球棒击打后，反向水平飞回，速度的大小为45 m/s。若球棒与垒球的作用时间为0.002 s，求球棒对垒球的平均作用力为多大？
答案 6 300 N
解析 取垒球飞向球棒的方向为正方向。垒球的初动量为p1＝mv1＝4.5 kg·m/s，垒球的末动量为p2＝mv2＝－8.1 kg·m/s，由动量定理可得垒球所受的平均作用力为eq \x\t(F)＝eq \f(p2－p1,Δt)＝－6 300 N．垒球所受的平均作用力的大小为6 300 N，负号表示力的方向与垒球飞向球棒的方向相反。
例4 如图，用0.5 kg的铁锤钉钉子．打击前铁锤的速度为4 m/s，打击后铁锤的速度变为0，设打击时间为0.01 s，g取10 m/s2。
(1)不计铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？
(2)考虑铁锤所受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？
答案 (1)200 N (2)205 N
解析 (1)打击时，铁锤受到重力和钉子对铁锤竖直向上的弹力，打击后铁锤的速度为0，设竖直向下为正方向．若不计铁锤所受的重力，根据动量定理有－FΔt＝0－mv，解得F＝200 N。
由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的平均作用力为200 N
(2)若考虑铁锤所受的重力，则有(G－F)Δt＝0－mv，解得F＝205 N。
由牛顿第三定律知铁锤钉钉子的平均作用力为205 N。
拓展延伸 你分析一下，在计算铁锤钉钉子的平均作用力时，在什么情况下可以不计铁锤所受的重力。
答案 当打击时间很短时，可以不计铁锤所受的重力
解析 从前两问的解答可以看出，当打击时间很短时，铁锤所受的重力可以忽略不计。
1．动量定理是矢量式，应用时必须选取正方向。
2．动量定理公式中I(F·Δt)应为合外力的冲量，不要漏掉某个力的冲量。
3．应用动量定理定量计算的一般步骤：
三、冲量的计算
如图所示，一个质量为m的物体在与水平方向成θ角的拉力F的作用下保持静止状态，经过一段时间t，拉力F做的功是多少？拉力F的冲量是多大？方向如何？
答案 拉力F做的功是零，冲量大小是Ft，方向与F方向相同。
1．冲量是过程量
冲量是力作用在物体上的时间累积效应，取决于力和时间这两个因素，所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。
2．冲量是矢量
在力的方向不变时，冲量的方向与力的方向相同，如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。
3．冲量和功的比较
(1)某个力在一段时间内做的功为零时，力的冲量不为零。
(2)一对作用力和反作用力的冲量大小一定相等，方向一定相反；但它们所做的功大小不一定相等，符号也不一定相反。
例5 (多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，如图所示，经时间t，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．重力对物体的冲量大小为mgtsin θ
B．支持力对物体的冲量大小为零
C．摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ
D．合力对物体的冲量大小为零
答案 CD
解析 根据冲量的定义知，重力对物体的冲量大小为mgt，A错误；对物体进行受力分析可知支持力大小FN＝mgcs θ，则支持力对物体的冲量大小为mgcs θ·t，B错误；摩擦力Ff＝mgsin θ，所以摩擦力对物体的冲量大小为mgtsin θ，C正确；因物体静止，合力为零，则合力对物体的冲量大小为零，D正确。
某个恒力冲量的大小等于该力与时间的乘积，与是否受到其他力无关，与物体的状态无关。某力冲量的方向与该力的方向相同。
例6 (2022·新余市期末)一物体受到方向不变的力F作用，其中力F的大小随时间变化的规律如图所示，则力F在6 s内的冲量大小为( )
A．9 N·s B．13.5 N·s
C．15.5 N·s D．18 N·s
答案 B
解析 由I＝Ft可知，在F－t图像中，图线与坐标轴所围成的面积表示冲量的大小，所以I＝eq \f(1,2)×3×3 N·s＋3×3 N·s＝13.5 N·s，故B正确，A、C、D错误。
例7 (多选)质量为m的物体以初速度v0开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内物体所受重力的冲量为( )
A．m(v－v0) B．mgt
C．meq \r(v2－v02) D．meq \r(2gh)
答案 BCD
解析 IG＝mgt，B正确；Δp＝p′－p＝mvy，vy＝eq \r(v2－v02)＝eq \r(2gh)，故C、D正确，A错误。
1．利用公式I＝FΔt求冲量：此公式适用于求恒力的冲量。
2．利用F－t图像法。
如图甲、乙所示，该力在时间Δt内的冲量大小在数值上就等于图中阴影部分的“面积”。
3.如图丙所示，若力F是变力，但力与时间成线性关系变化，则可用平均力求变力的冲量。
4．利用动量定理求解：I ＝Δp＝p′－p。
课时对点练
考点一 动量定理的理解
1．关于冲量的概念，以下说法正确的是( )
A．作用在两个物体上的合力大小不同，但两个物体所受的冲量大小可能相同
B．作用在物体上的力的作用时间很短，物体所受的冲量一定很小
C．作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定也很大
D．只要力的作用时间和力的大小的乘积相同，物体所受的冲量一定相同
答案 A
解析 由冲量公式I＝FΔt可知，作用在两个物体上的合力大小不同，但两个物体所受的冲量大小可能相同，A正确；由冲量公式I＝FΔt可知，冲量大小由力的大小和作用时间二者共同决定，只知道力或作用时间一个因素，无法确定冲量大小，B、C错误；冲量是矢量，两个大小相等的冲量，方向不一定相同，D错误。
2．(多选)关于动量、冲量以及动量变化的说法正确的是( )
A．一个做曲线运动的物体，其动量的大小和方向变化，而在相等时间内物体受到的合外力的冲量不可能始终相等
B．一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，而在相等时间内合外力的冲量大小可能总相等
C．一个物体所受合外力冲量为零时，虽然其动量不变，但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大
D．一个运动物体，其动量越来越大，而其加速度可能越来越小
答案 BCD
解析 一个做曲线运动的物体，其动量大小和方向变化，在相等时间内物体受到的合外力的冲量可能始终相等，如平抛运动，故A错误；一个做曲线运动的物体，其动量的大小始终不变，如果受到合外力的大小不变，则相等时间内合外力的冲量大小总相等，如匀速圆周运动，故B正确；一个物体合外力冲量为零时，根据动量定理，其动量不变，但是物体所受到的每个力的冲量可能一直增大，只要保证合力为零即可，故C正确；一个运动物体，其动量越来越大，说明速度越来越大，加速度可能越来越小，如做加速度减小的加速运动的物体，故D正确。
考点二 动量定理的基本应用
3．(2020·全国卷Ⅰ)行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体。若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是( )
A．增加了司机单位面积的受力大小
B．减少了碰撞前后司机动量的变化量
C．将司机的动能全部转换成汽车的动能
D．延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积
答案 D
解析 汽车剧烈碰撞瞬间，安全气囊弹出，立即跟司机身体接触．司机在很短时间内由运动到静止，动量的变化量是一定的，由于安全气囊的存在，作用时间变长，据动量定理Δp＝FΔt知，司机所受作用力减小；又知安全气囊打开后，司机受力面积变大，因此减小了司机单位面积的受力大小；碰撞过程中，动能转化为内能．综上可知，选项D正确。
4．(2022·吉安市期末)图示为某运动员做下蹲起跳训练，开始时运动员处于下蹲状态，竖直向上跳起后双脚离地的最大高度为0.2 m，若运动员蹬地的平均作用力为其体重的3倍，重力加速度大小为10 m/s2，则运动员从蹬地到双脚离地所用的时间为( )
A．0.10 s B．0.15 s
C．0.18 s D．0.20 s
答案 A
解析 设运动员双脚离地时的速度大小为v，则v＝eq \r(2gh)＝2 m/s，根据动量定理有(3mg－mg)t＝mv，解得t＝0.10 s，故选A。
5．两个质量不同而初动量相同的物体，在水平地面上由于摩擦力的作用而停止运动，它们与地面的动摩擦因数相同，比较它们的滑行时间，则( )
A．质量大的物体滑行时间长
B．质量小的物体滑行时间长
C．滑行时间相同
D．条件不足，无法判断
答案 B
解析 选初速度的方向为正，根据动量定理得：－μmgt＝0－mv，则得：t＝eq \f(mv,μmg)，由题意，两个物体的初动量mv相同，μ相同，则t∝eq \f(1,m)，故质量小的物体滑行时间比较长，故选B。
考点三 冲量的理解和计算
6．(2022·长春市实验中学高二期末)如图所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经过时间t1，速度为零并又开始下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为Ff。在整个运动过程中，下列说法正确的是( )
A．重力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)sin θ
B．斜面对滑块的支持力对滑块的总冲量为mg(t1＋t2)cs θ
C．合力的冲量为0
D．摩擦力的总冲量为Ff(t1＋t2)
答案 B
解析 重力对滑块的总冲量为IG＝mg(t1＋t2)，A错误；斜面对滑块的支持力对滑块的总冲量为IN＝mg(t1＋t2)cs θ，B正确；整个过程中滑块的动量发生了改变，故合力的冲量不为0，C错误；上滑过程和下滑过程摩擦力的方向相反，故若以沿斜面向上为正方向，摩擦力的总冲量为If＝Ff(t2－t1)，D错误。
7.如图所示，物体由静止开始做直线运动，0～4 s内其合外力随时间变化的关系为某一正弦函数，下列说法错误的是( )
A．0～2 s内合外力的冲量一直增大
B．0～4 s内合外力的冲量为零
C．2 s末物体的动量方向发生改变
D．0～4 s内物体的动量方向一直不变
答案 C
解析 根据I＝Ft可知，F－t图线与时间轴围成图形的面积表示力的冲量，则0～2 s内合外力的冲量一直增大，0～4 s内合外力的冲量为零，选项A、B正确；0～4 s内合外力的冲量为零，则0～4 s内物体的动量先增大后减小，方向一直为正，即物体的动量方向一直不变，选项C错误，D正确。
8.(多选)如图所示，把重物G压在纸带上，第一次用一水平力拉动纸带，重物恰停在边沿处，第二次迅速拉动纸带，重物几乎不动，对这种现象的解释正确的是( )
A．第二次拉动纸带时，纸带对重物的摩擦力小
B．两次拉动纸带时，纸带对重物的摩擦力相同
C．在第一次拉动纸带时，纸带对重物的冲量大
D．在第二次拉动纸带时，纸带对重物的冲量大
答案 BC
解析 两次拉动纸带时，纸带与重物间的摩擦力均为滑动摩擦力，大小相等，A错误，B正确．由题可知，第一次拉动纸带时，纸带与重物的作用时间长，两次拉纸带，纸带对重物的作用力相同，根据I＝Ft，所以第一次纸带对重物的冲量大，C正确，D错误。
9．(2022·苏州市期末)2021年某学校举行的元旦晚会上进行了“托球选表演者”的游戏。在互动环节，表演者将球抛向观众，假设质量约为3 kg的超大气球以2 m/s的速度竖直下落到手面，某观众双手上推，使气球以原速度大小竖直向上反弹，作用时间为0.2 s，作用过程中忽略气球所受浮力及空气阻力，g取10 m/s2。则观众双手受到的压力为( )
A．30 N B．60 N C．90 N D．120 N
答案 C
解析 取竖直向下为正方向，对气球由动量定理有(mg－F)Δt＝mv′－mv，代入数据解得F＝90 N，由牛顿第三定律可知，观众双手受到的压力为90 N，故C正确。
10．(2022·苏州市期中)质量为1 kg的物体做直线运动，其v－t图像如图所示。则物体在前10 s内和后10 s内所受合外力的冲量分别是( )
A．10 N·s,10 N·s B．10 N·s，－10 N·s
C．0,10 N·s D．0，－10 N·s
答案 D
解析 在前10 s内，物体的初速度为5 m/s，末速度为5 m/s，根据动量定理得I合＝Δp，知外力的冲量为0；在后10 s内，物体的初速度为5 m/s，末速度为－5 m/s，根据动量定理得I合′＝Δp′＝mv2－mv1＝－1×5 kg·m/s－1×5 kg·m/s＝－10 kg·m/s＝－10 N·s，故D正确。
11．(2021·北京卷)如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是( )
A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B．圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为2mωr
C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为mωr
答案 D
解析 圆盘停止转动前，小物体随圆盘一起转动，小物体所受摩擦力提供向心力，方向沿半径方向，圆盘停止转动后瞬间，小物体沿运动轨迹切线方向运动，之后也不会沿圆半径方向运动，故A、C错误；
圆盘停止转动前，转动一圈Δp＝0，由动量定理知I＝Δp＝0，故B错误；
圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为I′＝Δp＝mv＝mrω，故D正确。
12．(多选)从0时刻开始用水平拉力F拉静止在光滑水平桌面上的小物块，力F的方向恒定，力F的大小与时间t的关系如图所示，小物块质量为2 kg，下列说法正确的是( )
A．在0～2 s时间内，水平拉力F的冲量为8 N·s
B．2 s末物体的速度为8 m/s
C．在0～4 s时间内，合力的冲量为20 N·s
D．在0～4 s时间内，拉力F做的功为100 J
答案 ACD
解析 由F－t图像与t轴围成的面积等于冲量的大小，则可得，在0～2 s时间内，水平拉力F的冲量为I＝Ft＝2×4 N·s＝8 N·s，A正确；根据动量定理可得Ft＝mv，代入数据，解得
2 s末物体的速度大小v＝4 m/s，B错误；在0～4 s时间内，合力的冲量为I4＝F1t2＋F2t4＝8 N·s＋12 N·s＝20 N·s，C正确；由于在0～4 s时间内，合力的冲量为20 N·s，根据动量定理可得I4＝mv4，代入数据，解得v4＝10 m/s，由动能定理可得WF＝eq \f(1,2)mv42＝eq \f(1,2)×2×102 J＝100 J，D正确。
13．下雨是常见的自然现象，如果雨滴下落为自由落体运动，则雨滴落到地面时，对地表动植物危害极大，实际上，动植物都没有被雨滴砸伤，因为雨滴下落时不仅受重力，还受空气的浮力和阻力，使得雨滴落地时不会因速度太大而将动植物砸伤。某次下暴雨，质量为m＝2.5×10－5 kg的雨滴，从高h＝2 000 m 的云层下落。(g取10 m/s2)
(1)如果不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，落到地面经Δt1＝1.0×10－5 s速度变为零，因为雨滴和地面作用时间极短，可认为在Δt1内地面对雨滴的作用力不变且不考虑雨滴的重力，求雨滴对地面的作用力大小；
(2)考虑到雨滴同时还受到空气浮力和阻力的作用，设雨滴落到地面的实际速度为8 m/s，落到地面上经时间Δt2＝3.0×10－4 s速度变为零，在Δt2内地面对雨滴的作用力不变且不考虑这段时间雨滴受到的重力、空气的浮力和阻力，求雨滴对地面的作用力大小。
答案 (1)500 N (2)eq \f(2,3) N
解析 (1)不考虑空气浮力和阻力，雨滴做自由落体运动，落到地面的速度为
v＝eq \r(2gh)＝200 m/s
取竖直向上为正方向，设地面对雨滴的作用力大小为F，对雨滴和地面的作用过程，由动量定理得FΔt1＝0－(－mv)
代入数据解得F＝500 N
根据牛顿第三定律可知，雨滴对地面的作用力大小为500 N。
(2)对雨滴和地面作用的过程，由动量定理得
F′Δt2＝0－(－mv′)
其中v′＝8 m/s
代入数据解得F′＝eq \f(2,3) N
根据牛顿第三定律可知，雨滴对地面的作用力大小为eq \f(2,3) N。
14．(2022·合肥市高二期末)质量m＝0.5 kg的质点由静止开始做匀加速直线运动，动量p随位移x变化的关系式为p＝2eq \r(x)(各量均取国际单位制单位)，则此质点( )
A．加速度为2 m/s2
B．前2 s内动量增加8 kg·m/s
C．在连续相等时间内，动量增量越来越大
D．在通过连续相等的位移时，合外力的冲量可能相等
答案 B
解析 根据v2＝2ax得v＝eq \r(2ax)，则动量p＝mv＝meq \r(2ax)，可知p＝0.5×eq \r(2ax)＝2eq \r(x)，解得质点的加速度大小为8 m/s2，故A错误；前2 s内质点速度的变化量为Δv＝at＝16 m/s，则前
2 s内动量的增量Δp＝mΔv＝8 kg·m/s，故B正确；因为相同时间内速度的变化量相同，则连续相等时间内，动量的增量一定相等，故C错误；因为相等位移内速度变化量不同，则动量的增加量不等，由I＝Δp可知，在通过连续相等的位移时，合外力的冲量不相等，故D错误。
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