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高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册5 实验：用单摆测量重力加速度精品练习
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这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册5 实验：用单摆测量重力加速度精品练习，共11页。
一、实验思路
1．实验原理
单摆在摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可推导得g＝eq \f(4π2l,T2)。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。
2．物理量的测量
摆长l ：摆长等于摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。
周期T：用停表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。
二、实验装置
实验装置如图所示
实验器材
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。
三、进行实验
1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。
3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋eq \f(d,2)。
4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
四、数据分析
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝eq \f(4π2l,T2)中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格
2.图像法：由T＝2πeq \r(\f(l,g))得T2＝eq \f(4π2,g)l，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝eq \f(4π2,g)，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
五、误差分析
由周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可推导得g＝eq \f(4π2l,T2)，摆长、周期的测量不准确会导致误差。
1．测量摆长时引起的误差
(1)摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径等；
(2)摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)。悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。
2．测量周期时引起的误差
(1)周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。
(2)周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。
(3)计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。
六、注意事项
1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。
3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。
例1 (2022·盐城市高二期末)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)。
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为10 cm左右的橡皮绳
C．直径为1.5 cm左右的塑料球
D．直径为1.5 cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。
A．把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B．以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T＝eq \f(t,n)
C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝eq \f(t,n)
D．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T＝eq \f(t,n)
答案 (1)AD (2)丙 (3)D
解析 (1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大而体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D；
(2)要保持悬点固定，应采用题图丙固定方式，题图乙的固定方式在摆动过程中摆长会发生变化从而带来系统误差；
(3)摆角应小于5°，在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的周期，可以减小误差，故A、B错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则摆球两次经过最低点的时间间隔是半个周期，所以摆球通过最低点作为第1次开始计时到一直数到摆球第n次通过最低点，摆球经过了n－1个半个周期，所以单摆的周期T＝eq \f(2t,n－1)，故C错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则摆球相邻两次同一方向经过最低点的时间即为一个周期，则有T＝eq \f(t,n)，故D正确。
例2 (2022·江西丰城九中高二期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中。
(1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为_____ cm，则单摆的摆长为________ cm；然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示为________ s，则单摆的周期为________ s；当地的重力加速度为g＝________ m/s2；
(2)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径，具体做法如下：第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________。
答案 (1)2.125 98.49 99.8 2.0 9.71
(2)eq \f(4π2L1－L2,T12－T22)
解析 (1)游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺读数，故摆球直径为
21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm
单摆的摆长为
L＝l＋eq \f(d,2)＝97.43 cm＋eq \f(2.125,2) cm≈98.49 cm
秒表的读数为t＝90 s＋9.8 s＝99.8 s
单摆的周期为T＝eq \f(t,N)＝eq \f(99.8,50) s≈2.0 s
根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))
解得g＝eq \f(4π2L,T2)≈9.71 m/s2
(2)由题可知T1＝2πeq \r(\f(L1＋r,g)),T2＝2πeq \r(\f(L2＋r,g))
联立以上两式可解得
g＝eq \f(4π2L1－L2,T12－T22)。
例3 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝eq \f(4π2l,T2)，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2－l图线是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示：
(1)造成图线不过坐标原点的原因可能是___________________________________________
_____________________________________________________________________________。
(2)由图像求出的重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87)。
(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是______。
A．测摆长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验时误将49次全振动记为50次
答案 (1)测量摆长时漏掉了摆球的半径
(2)9.87 (3)B
解析 (1)T2－l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。
(2)由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得T2＝eq \f(4π2,g)·l，则T2－l图像的斜率为k＝eq \f(4π2,g)；由图像得k＝
eq \f(4.0,1) s2·m－1，解得g＝9.87 m/s2。
(3)测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。
针对训练 某实验小组在利用摆长约为1 m的单摆测量当地重力加速度的实验中：
(1)周期测量环节中进行了下列振动图像所描述的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C、D均为30次全振动图像，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.259，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________。
(2)改变摆长，利用测出的多组周期T、摆长L数据，作出T2－L图像，可以更准确地求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2－L图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值______(填“偏大”或“偏小”)，出现图线c的原因可能是周期T的测量值______(填“偏大”或“偏小”)。
答案 (1)B (2)偏小 偏小
解析 (1)当摆角小于等于5°时，我们认为单摆做简谐运动，所以振幅A≤Lsin 5°＝1×0.087 m＝8.7 cm。当小球摆到最低点时开始计时，计时误差较小，测量周期时要让小球做30或50次全振动，求平均值，所以B合乎实验要求且误差最小。
(2)根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))得：T2＝eq \f(4π2L,g)。已知图线b满足T2＝eq \f(4π2,g)L，图线a与图线b比较可知，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值偏小，测量摆长时漏掉了摆球的半径r，图线a的函数关系式T2＝eq \f(4π2,g)L＋eq \f(4π2,g)r，其中eq \f(4π2,g)r是截距。由题图可知图线c的斜率k＝eq \f(4π2,g)偏小，可能是对于同一L值，T的测量值偏小。
课时对点练
1．(多选)(2022·济南市期中)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是 ( )
A．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算
B．单摆所用摆球质量太大
C．把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间
D．开始计时时，停表过早按下
答案 AC
解析 根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)。以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则l偏大，测得的g偏大，故A正确；单摆所用摆球质量大小与测得的重力加速度的大小无关，故B错误；把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，停表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误。
2．(2022·郑州七中期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中，(如图所示)
(1)下列操作正确的是________。
A．甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B．乙图：细线上端用铁夹子固定
C．丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D．丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测量单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下停表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止停表，读出这段时间t，算出周期T＝eq \f(t,30)。其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2－L图像，则他绘制的图像可能是________。
(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将______。(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
答案 (1)BD (2)D (3)偏大
解析 (1)摆线与竖直方向的夹角小于5°时，才可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。
(2)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得，T2＝eq \f(4π2L,g)，可知T2与L成正比，故D正确，A、B、C错误。
(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g＝eq \f(4π2L,T2)知，测得的重力加速度偏大。
3．某同学利用单摆测量当地的重力加速度。
(1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的________。
A．最高点
B．最低点
C．任意位置
(2)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝_______ s(计算结果保留三位有效数字)。
(3)若用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为________ m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为________ cm；单摆的摆长为________ m(计算结果保留三位有效数字)。
(4)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。
答案 (1)B (2)2.28 (3)0.991 5(0.991 3、0.991 4、0.991 6、0.991 7均可) 2.075 1.00 (4)eq \f(4π2l,T2)
解析 (1)为了减小测量周期时由操作者引起的偶然误差，实验时需要在摆球速度最大的点做标记，即最低点。
(2)用停表测量单摆的周期，为减小实验误差需测量多个周期的总时间。根据题意可知从n＝1到n＝60共有59个时间间隔，每一个时间间隔为eq \f(1,2)个周期，故为29eq \f(1,2)T，根据停表读出此时间间隔为Δt＝67.4 s。代入数据解得，单摆的周期约为2.28 s。
(3)用最小刻度为1 mm的刻度尺测得单摆的摆线长为99.15 cm＝0.991 5 m，用游标卡尺测量摆球的直径，此游标尺为20分度，读数为20 mm＋eq \f(1,20)×15 mm＝20.75 mm＝2.075 cm，单摆的摆长为l＝(0.991 5＋eq \f(0.020 75,2)) m＝1.001 875 m，计算结果保留三位有效数字，故摆长为1.00 m。
(4)根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知g＝eq \f(4π2l,T2)。
4．(2022·山东高二期中)在探究单摆运动的实验中：
(1)图(a)是用力传感器对单摆振动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，根据图(b)的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻为________，摆长为________(取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2)。
(2)单摆振动的回复力是________。
A．摆球所受的重力
B．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
C．摆线对摆球的拉力
D．摆球重力在垂直摆线方向上的分力
(3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________。
A．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B．用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径
C．在摆线偏离竖直方向15°位置释放小球
D．让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度
答案 (1)1.3 s 0.64 m (2)D (3)AB
解析 (1)摆球在最低点时摆线拉力最大，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻对应图像的第二个峰值，该时刻为1.3 s；
根据图像，单摆的周期为
T＝2×(0.9－0.1) s＝1.6 s
根据T＝2πeq \r(\f(l,g))
解得l＝0.64 m
(2)单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，故选D。
(3)取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，A正确；用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径，B正确；在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球，C错误；让小球在竖直面内摆动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度，D错误。
5．(2022·抚顺市高二期末)在用单摆测量重力加速度大小的实验中。
(1)为了比较准确地测量出当地重力加速度的数值，在下列所给的器材中，应选用________(填序号)；
A．长约1 m的细线
B．长约20 m的细线
C．直径为1 cm的铁球
D．直径为1 cm的木球
E．停表
F．时钟
G．最小刻度为1 dm的直尺
H．最小刻度 为1 mm的直尺
(2)进行实验时，同学们在悬挂小球时，采用了两种不同的方式，分别如图甲中的1、2所示，应该选用________(填“1”或“2”)；
(3)某同学测出不同摆长时对应的周期T，作出T2－L的图像如图乙所示，再利用图线上的两点A、B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，可求得重力加速度大小g＝________。若该同学计算摆长时直接用摆线长度加上小球的直径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值________(填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
答案 (1)ACEH (2)2 (3)4π2·eq \f(x2－x1,y2－y1) 等于
解析 (1)为了减小误差，比较准确地测量出当地重力加速度的数值，应选用长约1 m的细线和直径为1 cm的铁球组成单摆，A、C正确，B、D错误；为了提高测量精度，应选用停表和最小刻度为1 mm的直尺，E、H正确，F、G错误。
(2)为避免摆线晃动导致摆长发生变化，应采用题图甲中的第2种方案。
(3)单摆的周期公式为T＝2πeq \r(\f(L,g))，整理可得T2＝eq \f(4π2,g)L，故图像的斜率为k＝eq \f(4π2,g)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，解得重力加速度大小为g＝4π2eq \f(x2－x1,y2－y1)；若该同学计算摆长时直接用摆线长度加上小球的直径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，T2－L关系变为T2＝eq \f(4π2,g)(L＋r)，其中L为准确摆长(即摆线长加上小球半径)，可知图像斜率不变，用上述方法算得的g值等于真实值。
6．(2022·上海交大附中期中)(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g＝__________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是________ s，单摆的摆动周期是________ s。
(2)为了提高测量准确度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：
①单摆做简谐运动应满足的条件是_________________________________________。
②试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝______m/s2(结果保留二位有效数字)。
答案 (1)eq \f(4π2l,T2) 0.875 0 75.2 1.88
(2)①偏角小于5° ②见解析图 9.9
解析 (1)由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，
可得g＝eq \f(4π2l,T2)
由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm
＝87.50 cm＝0.875 0 m
停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s
所以T＝eq \f(t,40)＝1.88 s。
(2)①单摆做简谐运动的条件是偏角小于5°。
②连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率
k＝eq \f(ΔT2,Δl)＝4 s2/m
由g＝eq \f(4π2l,T2)可知T2－l图线的斜率表示eq \f(4π2,g)，故eq \f(4π2,g)＝4 s2/m
可得g≈9.9 m/s2。
实验次数
摆长l/m
周期T/s
重力加速度g/(m·s－2)
重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1
g＝eq \f(g1＋g2＋g3,3)
2
3
一、实验思路
1．实验原理
单摆在摆角较小时，单摆做简谐运动，根据其周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可推导得g＝eq \f(4π2l,T2)。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。
2．物理量的测量
摆长l ：摆长等于摆线长度和小球半径之和。可用刻度尺直接测量小球球心与悬点之间的距离作为摆长的测量值，也可用游标卡尺测量小球的直径，算出它的半径，再测量悬点与小球上端之间的距离，以两者之和作为摆长的测量值。
周期T：用停表测量单摆做多次全振动(例如几十次)的时间，然后通过计算求出它的周期的测量值。
二、实验装置
实验装置如图所示
实验器材
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺。
三、进行实验
1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个比孔径稍大一些的线结，制成一个单摆。
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂。在单摆平衡位置处做上标记。
3．用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l＝l′＋eq \f(d,2)。
4．把单摆拉开一个角度，角度小于5°，释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
5．改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
四、数据分析
1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝eq \f(4π2l,T2)中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格
2.图像法：由T＝2πeq \r(\f(l,g))得T2＝eq \f(4π2,g)l，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝eq \f(4π2,g)，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
五、误差分析
由周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可推导得g＝eq \f(4π2l,T2)，摆长、周期的测量不准确会导致误差。
1．测量摆长时引起的误差
(1)摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长漏加摆球半径等；
(2)摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长(多加了半径)。悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动，使实际的摆长变长等。
2．测量周期时引起的误差
(1)周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把(n＋1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。
(2)周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把(n－1)次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时，停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。
(3)计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。
六、注意事项
1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
2．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小。
3．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。
例1 (2022·盐城市高二期末)用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示：
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)。
A．长度为1 m左右的细线
B．长度为10 cm左右的橡皮绳
C．直径为1.5 cm左右的塑料球
D．直径为1.5 cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图________(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是________。
A．把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B．以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T＝eq \f(t,n)
C．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T＝eq \f(t,n)
D．以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则T＝eq \f(t,n)
答案 (1)AD (2)丙 (3)D
解析 (1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线；为减小空气阻力影响，摆球应选密度大而体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D；
(2)要保持悬点固定，应采用题图丙固定方式，题图乙的固定方式在摆动过程中摆长会发生变化从而带来系统误差；
(3)摆角应小于5°，在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的周期，可以减小误差，故A、B错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，记数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则摆球两次经过最低点的时间间隔是半个周期，所以摆球通过最低点作为第1次开始计时到一直数到摆球第n次通过最低点，摆球经过了n－1个半个周期，所以单摆的周期T＝eq \f(2t,n－1)，故C错误；以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置记数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过摆球的最低位置时的时间t，则摆球相邻两次同一方向经过最低点的时间即为一个周期，则有T＝eq \f(t,n)，故D正确。
例2 (2022·江西丰城九中高二期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中。
(1)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示为_____ cm，则单摆的摆长为________ cm；然后用停表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示为________ s，则单摆的周期为________ s；当地的重力加速度为g＝________ m/s2；
(2)实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径，具体做法如下：第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；第二次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________。
答案 (1)2.125 98.49 99.8 2.0 9.71
(2)eq \f(4π2L1－L2,T12－T22)
解析 (1)游标卡尺的读数为主尺读数＋游标尺读数，故摆球直径为
21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm
单摆的摆长为
L＝l＋eq \f(d,2)＝97.43 cm＋eq \f(2.125,2) cm≈98.49 cm
秒表的读数为t＝90 s＋9.8 s＝99.8 s
单摆的周期为T＝eq \f(t,N)＝eq \f(99.8,50) s≈2.0 s
根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))
解得g＝eq \f(4π2L,T2)≈9.71 m/s2
(2)由题可知T1＝2πeq \r(\f(L1＋r,g)),T2＝2πeq \r(\f(L2＋r,g))
联立以上两式可解得
g＝eq \f(4π2L1－L2,T12－T22)。
例3 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝eq \f(4π2l,T2)，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2－l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T2－l图线是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示：
(1)造成图线不过坐标原点的原因可能是___________________________________________
_____________________________________________________________________________。
(2)由图像求出的重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.87)。
(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是______。
A．测摆长时摆线拉得过紧
B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，停表过迟按下
D．实验时误将49次全振动记为50次
答案 (1)测量摆长时漏掉了摆球的半径
(2)9.87 (3)B
解析 (1)T2－l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。
(2)由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可得T2＝eq \f(4π2,g)·l，则T2－l图像的斜率为k＝eq \f(4π2,g)；由图像得k＝
eq \f(4.0,1) s2·m－1，解得g＝9.87 m/s2。
(3)测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。
针对训练 某实验小组在利用摆长约为1 m的单摆测量当地重力加速度的实验中：
(1)周期测量环节中进行了下列振动图像所描述的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C、D均为30次全振动图像，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.259，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________。
(2)改变摆长，利用测出的多组周期T、摆长L数据，作出T2－L图像，可以更准确地求出重力加速度g。已知三位同学作出的T2－L图线如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线b，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值______(填“偏大”或“偏小”)，出现图线c的原因可能是周期T的测量值______(填“偏大”或“偏小”)。
答案 (1)B (2)偏小 偏小
解析 (1)当摆角小于等于5°时，我们认为单摆做简谐运动，所以振幅A≤Lsin 5°＝1×0.087 m＝8.7 cm。当小球摆到最低点时开始计时，计时误差较小，测量周期时要让小球做30或50次全振动，求平均值，所以B合乎实验要求且误差最小。
(2)根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))得：T2＝eq \f(4π2L,g)。已知图线b满足T2＝eq \f(4π2,g)L，图线a与图线b比较可知，出现图线a的原因可能是摆长L的测量值偏小，测量摆长时漏掉了摆球的半径r，图线a的函数关系式T2＝eq \f(4π2,g)L＋eq \f(4π2,g)r，其中eq \f(4π2,g)r是截距。由题图可知图线c的斜率k＝eq \f(4π2,g)偏小，可能是对于同一L值，T的测量值偏小。
课时对点练
1．(多选)(2022·济南市期中)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是 ( )
A．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算
B．单摆所用摆球质量太大
C．把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间
D．开始计时时，停表过早按下
答案 AC
解析 根据T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)。以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则l偏大，测得的g偏大，故A正确；单摆所用摆球质量大小与测得的重力加速度的大小无关，故B错误；把(n－1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，停表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误。
2．(2022·郑州七中期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中，(如图所示)
(1)下列操作正确的是________。
A．甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B．乙图：细线上端用铁夹子固定
C．丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D．丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测量单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下停表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止停表，读出这段时间t，算出周期T＝eq \f(t,30)。其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2－L图像，则他绘制的图像可能是________。
(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将______。(选填“偏大”“偏小”或“不变”)
答案 (1)BD (2)D (3)偏大
解析 (1)摆线与竖直方向的夹角小于5°时，才可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。
(2)根据T＝2πeq \r(\f(L,g))得，T2＝eq \f(4π2L,g)，可知T2与L成正比，故D正确，A、B、C错误。
(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g＝eq \f(4π2L,T2)知，测得的重力加速度偏大。
3．某同学利用单摆测量当地的重力加速度。
(1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的________。
A．最高点
B．最低点
C．任意位置
(2)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝_______ s(计算结果保留三位有效数字)。
(3)若用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为________ m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为________ cm；单摆的摆长为________ m(计算结果保留三位有效数字)。
(4)若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。
答案 (1)B (2)2.28 (3)0.991 5(0.991 3、0.991 4、0.991 6、0.991 7均可) 2.075 1.00 (4)eq \f(4π2l,T2)
解析 (1)为了减小测量周期时由操作者引起的偶然误差，实验时需要在摆球速度最大的点做标记，即最低点。
(2)用停表测量单摆的周期，为减小实验误差需测量多个周期的总时间。根据题意可知从n＝1到n＝60共有59个时间间隔，每一个时间间隔为eq \f(1,2)个周期，故为29eq \f(1,2)T，根据停表读出此时间间隔为Δt＝67.4 s。代入数据解得，单摆的周期约为2.28 s。
(3)用最小刻度为1 mm的刻度尺测得单摆的摆线长为99.15 cm＝0.991 5 m，用游标卡尺测量摆球的直径，此游标尺为20分度，读数为20 mm＋eq \f(1,20)×15 mm＝20.75 mm＝2.075 cm，单摆的摆长为l＝(0.991 5＋eq \f(0.020 75,2)) m＝1.001 875 m，计算结果保留三位有效数字，故摆长为1.00 m。
(4)根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知g＝eq \f(4π2l,T2)。
4．(2022·山东高二期中)在探究单摆运动的实验中：
(1)图(a)是用力传感器对单摆振动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，根据图(b)的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻为________，摆长为________(取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2)。
(2)单摆振动的回复力是________。
A．摆球所受的重力
B．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
C．摆线对摆球的拉力
D．摆球重力在垂直摆线方向上的分力
(3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________。
A．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B．用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径
C．在摆线偏离竖直方向15°位置释放小球
D．让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度
答案 (1)1.3 s 0.64 m (2)D (3)AB
解析 (1)摆球在最低点时摆线拉力最大，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻对应图像的第二个峰值，该时刻为1.3 s；
根据图像，单摆的周期为
T＝2×(0.9－0.1) s＝1.6 s
根据T＝2πeq \r(\f(l,g))
解得l＝0.64 m
(2)单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，故选D。
(3)取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，A正确；用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径，B正确；在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球，C错误；让小球在竖直面内摆动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度，D错误。
5．(2022·抚顺市高二期末)在用单摆测量重力加速度大小的实验中。
(1)为了比较准确地测量出当地重力加速度的数值，在下列所给的器材中，应选用________(填序号)；
A．长约1 m的细线
B．长约20 m的细线
C．直径为1 cm的铁球
D．直径为1 cm的木球
E．停表
F．时钟
G．最小刻度为1 dm的直尺
H．最小刻度 为1 mm的直尺
(2)进行实验时，同学们在悬挂小球时，采用了两种不同的方式，分别如图甲中的1、2所示，应该选用________(填“1”或“2”)；
(3)某同学测出不同摆长时对应的周期T，作出T2－L的图像如图乙所示，再利用图线上的两点A、B的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，可求得重力加速度大小g＝________。若该同学计算摆长时直接用摆线长度加上小球的直径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值________(填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
答案 (1)ACEH (2)2 (3)4π2·eq \f(x2－x1,y2－y1) 等于
解析 (1)为了减小误差，比较准确地测量出当地重力加速度的数值，应选用长约1 m的细线和直径为1 cm的铁球组成单摆，A、C正确，B、D错误；为了提高测量精度，应选用停表和最小刻度为1 mm的直尺，E、H正确，F、G错误。
(2)为避免摆线晃动导致摆长发生变化，应采用题图甲中的第2种方案。
(3)单摆的周期公式为T＝2πeq \r(\f(L,g))，整理可得T2＝eq \f(4π2,g)L，故图像的斜率为k＝eq \f(4π2,g)＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，解得重力加速度大小为g＝4π2eq \f(x2－x1,y2－y1)；若该同学计算摆长时直接用摆线长度加上小球的直径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，T2－L关系变为T2＝eq \f(4π2,g)(L＋r)，其中L为准确摆长(即摆线长加上小球半径)，可知图像斜率不变，用上述方法算得的g值等于真实值。
6．(2022·上海交大附中期中)(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g＝__________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是________ s，单摆的摆动周期是________ s。
(2)为了提高测量准确度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：
①单摆做简谐运动应满足的条件是_________________________________________。
②试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝______m/s2(结果保留二位有效数字)。
答案 (1)eq \f(4π2l,T2) 0.875 0 75.2 1.88
(2)①偏角小于5° ②见解析图 9.9
解析 (1)由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，
可得g＝eq \f(4π2l,T2)
由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm
＝87.50 cm＝0.875 0 m
停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s
所以T＝eq \f(t,40)＝1.88 s。
(2)①单摆做简谐运动的条件是偏角小于5°。
②连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率
k＝eq \f(ΔT2,Δl)＝4 s2/m
由g＝eq \f(4π2l,T2)可知T2－l图线的斜率表示eq \f(4π2,g)，故eq \f(4π2,g)＝4 s2/m
可得g≈9.9 m/s2。
实验次数
摆长l/m
周期T/s
重力加速度g/(m·s－2)
重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1
g＝eq \f(g1＋g2＋g3,3)
2
3
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