2021-2022学年湖北省武汉实验外国语学校九年级（上）期中数学模拟练习试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年湖北省武汉实验外国语学校九年级（上）期中数学模拟练习试卷(含答案)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1）D．图象都在x轴下方
3．（3分）已知⊙O的直径为6，与圆同一平面内一点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．无法确定
4．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2﹣1
C．y＝﹣2（x﹣4）2﹣5D．y＝﹣2（x+2）2﹣5
5．（3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（ ）
A．300（1+x）＝507
B．300（1+x）2＝507
C．300（1+x）+300（1+x）2＝507
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507
6．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
7．（3分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）
A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1
8．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2B．x1+x2＞0
C．x1•x2＞0D．1x1+1x2＞0
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，给出下列结论：①a：b：c＝﹣1：2：3；②若0＜x＜4，则5a＜y＜﹣3a；③对于任意实数m，一定有am2+bm+a≤0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根为﹣1和13，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③C．①③④D．②③④
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程2x2＝x的根是 ．
12．（3分）平面直角坐标系中，将点A（1，3）绕坐标原点顺时针旋转90°得点B，则点B的坐标为 ．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
14．（3分）如图，直径为10cm的⊙O中，两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且CD=2AC，若AB＝8cm，则CD的长为 cm．
15．（3分）已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣k）2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为 ．
16．（3分）如图，点C是半圆AB上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使BC在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为 cm．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
18．（8分）如图，⊙O的半径OA＝5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OC⊥OA，OC＝BC
（1）求∠A的度数．
（2）求AB的长．
19．（8分）如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米．
（1）设BC＝x米，则CD为 米，四边形ABCD的面积为 米2；
（2）若长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC为多少米？
20．（8分）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．
（1）将△DEF绕点P逆时针旋转90°得到△D1E1F1，请画出△D1E1F1；
（2）将△ABC绕点O旋转180°得到△BAD2，请画出点O和△BAD2；
（3）将格点线段EF平移至格点线段MN（点E，F的对应点分别为M，N），使得MN平分四边形ACBD2的面积，请画出线段MN；
（4）在线段AD2上找一点M，使得∠AOM＝∠BOD2，请画出点M．
21．（8分）如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）请猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝4，∠BAC＝45°时，求DE的长．
22．（10分）某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．
（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？
（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润＝（销售价格一成本）×日销售量）
（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．
23．（10分）已知△ABC为等边三角形，P是直线AC上一点，AD⊥BP于D，以AD为边作等边△ADE（D，E在直线AC异侧）．
（1）如图1，若点P在边AC上，连CD，且∠BDC＝150°，则ADBD= ；（直接写结果）
（2）如图2，若点P在AC延长线上，DE交BC于F求证：BF＝CF；
（3）在图2中，若∠PBC＝15°，AB=6+2，请直接写出CP的长 ．
24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴为x=12，图象交x轴于A、B两点，交y轴于C（0，3），且AB＝5，直线y＝kx+m（k＜0）与二次函数图象交于M、N（M在N的右边），交y轴于P．
（1）求二次函数图象的解析式；
（2）若m＝5，若M、N均在第一象限，且△CMN的面积为3，求k的值；
（3）若m＝﹣3k，且M在第四象限，若直线AN交y轴于Q，求CPCQ取值范围．
2021-2022学年湖北省武汉实验外国语学校九年级（上）期中数学模拟练习试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
2．（3分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1）D．图象都在x轴下方
【解答】解：由二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1可知：a＝﹣1＜0，
所以开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣1），
所以抛物线图象都在x轴下方；
令x＝0，则y＝﹣5，所以与y轴交点为（0，﹣5），
故选：D．
3．（3分）已知⊙O的直径为6，与圆同一平面内一点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．无法确定
【解答】解：∵圆O的直径为6，
∴圆O的半径为3，
∵P到圆心的距离为5，3＜5，
∴点P在圆O的外部，
故选：B．
4．（3分）将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2﹣1
C．y＝﹣2（x﹣4）2﹣5D．y＝﹣2（x+2）2﹣5
【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到y＝﹣2（x﹣1+3）2﹣3+2．故得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x+2）2﹣1．
故选：B．
5．（3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（ ）
A．300（1+x）＝507
B．300（1+x）2＝507
C．300（1+x）+300（1+x）2＝507
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507
【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2＝507．
故选：B．
6．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
7．（3分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）
A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在
﹣1＜x1＜0，
故选：C．
8．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣1＝0的两个实数根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2B．x1+x2＞0
C．x1•x2＞0D．1x1+1x2＞0
【解答】解：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4＞0，
∴方程x2﹣ax﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴x1≠x2．
故选：A．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：连接AC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝110°﹣90°＝20°，
∴∠AED＝∠ACD＝20°．
故选：B．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，给出下列结论：①a：b：c＝﹣1：2：3；②若0＜x＜4，则5a＜y＜﹣3a；③对于任意实数m，一定有am2+bm+a≤0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根为﹣1和13，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③C．①③④D．②③④
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴a：b：c＝﹣1：2：3，故①正确；
当x＝4时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝a•5•1＝5a，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a[（x﹣1）2﹣4]＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴当0＜x＜4时，则5a＜y≤﹣4a，所以②错误；
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a[（x﹣1）2﹣4]＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点坐标为（1，﹣4a），
∵抛物线开口向下，c＝﹣3a，
∴抛物线向下平移﹣4a个单位，则抛物线顶点为（1，0），
∴平移后的解析式为：y′＝ax2+bx+c+4a＝ax2+bx﹣3a+4a＝ax2+bx+a≤0，故③正确；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2=13，所以④正确．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程2x2＝x的根是 x1＝0，x2=12 ．
【解答】解：2x2＝x，
2x2﹣x＝0，
x（2x﹣1）＝0，
x＝0，2x﹣1＝0，
x1＝0，x2=12，
故答案为：x1＝0，x2=12．
12．（3分）平面直角坐标系中，将点A（1，3）绕坐标原点顺时针旋转90°得点B，则点B的坐标为 （3，﹣1） ．
【解答】解：如图所示，由图中可以看出点P′的坐标为（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣1）．
13．（3分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤0且k≠﹣1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴k+1≠0△=(-2)2-4×1×(k+1)≥0，
解得：k≤0且k≠﹣1．
故答案为：k≤0且k≠﹣1．
14．（3分）如图，直径为10cm的⊙O中，两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且CD=2AC，若AB＝8cm，则CD的长为 45 cm．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交⊙O于M，反向延长OE交CD于G，交⊙O于N，
则AE=12AB＝4，
连接AN，AO，AM，
则MN为⊙O的直径，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴CN=12CD，
∵CD=2AC，
∴CD=AN，
∴AN＝CD，
在Rt△AOE中，OE=OA2-AE2=52-42=3，
∴ME＝5﹣3＝2，
在Rt△AEM中，AM=AE2+EM2=42+22=25，
∵MN为⊙O的直径，
∴∠MAN＝90°，
∴AN=MN2-AM2=45，
∴CD＝AN＝45，
故答案为：45．
15．（3分）已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣k）2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k，则k的值为 1或10 ．
【解答】解：函数对称轴为直线x＝k，
∴①k≤1时，x＝4函数取得最小值，﹣k2+8k﹣16+11＝2k，
解得k1＝1，k2＝5（舍去），
②k≥4时，x＝1函数取得最小值，﹣（1﹣k）2+11＝2k，
解得k＝±10（舍去），
③1＜k＜4，x＝4或x＝1函数取得最小值，则k=10，
综上所述，k的值为1或10．
故答案为：1或10．
16．（3分）如图，点C是半圆AB上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使BC在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为 （22+2） cm．
【解答】解：如图，连接OD，OE，OC，CE，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，
∵四边形BCDE是正方形，
∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，
∴△OCD≌△OBE（SAS），
∴OE＝OD，
过点O作OM⊥AB，交⊙O于点M，连接CM，BM，
则∠BCM=12∠BOM＝45°，
∵四边形BCDE是正方形，
∴∠BCE＝45°，
∴C、M、E三点共线，即点M在正方形BCDE的对角线CE上，
∴DM＝BM为定值，
∴点D在以M为圆心BM为半径的圆上，当OD过圆心M时最长，即OE最长，
∵∠MCB=12∠MOB=12×90°＝45°，
∴∠DCM＝∠BCM＝45°，
∵四边形BCDE是正方形，
∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，
在△EMD和△EMB中，
DE=BC∠MED=∠MEBME=ME，
∴△MED≌△MEB（SAS），
∴DM＝BM=OM2+OB2=22+22=22（cm），
∴OD的最大值＝22+2，即OE的最大值＝22+2；
故答案为：（22+2）cm．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0
x2﹣4x+4＝3
（x﹣2）2＝3
x﹣2=±3
∴x1＝2+3，x2＝2-3；
18．（8分）如图，⊙O的半径OA＝5cm，AB是弦，C是AB上一点，且OC⊥OA，OC＝BC
（1）求∠A的度数．
（2）求AB的长．
【解答】解：（1）连接OB，
∵AO＝OB，OC＝BC，
∴∠A＝∠B＝∠BOC．
∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°．
∵∠A+∠B+∠BOC+∠AOC＝180°，
∴3∠A+90°＝180°，
∴∠A＝30°；
（2）∵∠A＝30°，OA＝5cm，
∴AC=OAcs30°=532=1033cm，
BC＝OC=12AC=533cm，
∴AB＝AC+BC=1033+533=53（cm）．
19．（8分）如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米．
（1）设BC＝x米，则CD为 （180﹣2x） 米，四边形ABCD的面积为 x（180﹣2x） 米2；
（2）若长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC为多少米？
【解答】解：（1）设BC＝x米，则CD＝（180﹣2x）米．四边形ABCD的面积为x（180﹣2x）米2，
故答案为：（180﹣2x），x（180﹣2x）；
（2）由题意，得：x（180﹣2x）＝4000，
整理，得：x2﹣90x+2000＝0，
解得：x＝40或x＝50，
当x＝40时，180﹣2x＝100＞90，不符合题意，舍去；
当x＝50时，180﹣2x＝80＜90，符合题意；
答：BC＝50米，长方形的面积为4000平方米．
20．（8分）如图，在9×9网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F，P均为格点，请按要求仅用一把无刻度的直尺作图．
（1）将△DEF绕点P逆时针旋转90°得到△D1E1F1，请画出△D1E1F1；
（2）将△ABC绕点O旋转180°得到△BAD2，请画出点O和△BAD2；
（3）将格点线段EF平移至格点线段MN（点E，F的对应点分别为M，N），使得MN平分四边形ACBD2的面积，请画出线段MN；
（4）在线段AD2上找一点M，使得∠AOM＝∠BOD2，请画出点M．
【解答】解：（1）如图，△D1E1F1即为所求；
（2）点O和△BAD2如图所示：
（3）如图，MN∥EF且经过点O；
（4）如下图，点M即为所求；
因为D2、D3关于直线AB的对称，
所以∠D2OB＝∠D3OB，
因为∠AOM＝∠D3OB，
所以∠AOM＝∠BOD2．
21．（8分）如图，半圆O的直径为AB，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接BD并延长至点C，使CD＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）请猜想DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝4，∠BAC＝45°时，求DE的长．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切．
理由如下：∵CD＝BD，OA＝OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）作OF⊥AC于F，如图，
易得四边形ODEF为矩形，
∴OF＝DE，
∵∠BAC＝45°，
∴△OAF为等腰直角三角形，
∴OF=22OA=2，
∴DE=2．
22．（10分）某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格＝150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．
（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？
（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润＝（销售价格一成本）×日销售量）
（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，
依题意得：150（1﹣12%）＝（1+10%）z，
解得：z＝120，
答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；
（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]＝660，
整理得：x2+8x﹣20＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣10，
此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；
（3）设利润为W元，由题意
W＝[150（1+x%）﹣120﹣a]•（﹣2x+24）＝﹣3x2+（2a﹣24）x+720﹣24a，
对称轴x=-2a-24-6=a3-4，
由题意，a3-4≤-2a≥1，
解得：1≤a≤6．
23．（10分）已知△ABC为等边三角形，P是直线AC上一点，AD⊥BP于D，以AD为边作等边△ADE（D，E在直线AC异侧）．
（1）如图1，若点P在边AC上，连CD，且∠BDC＝150°，则ADBD= 233 ；（直接写结果）
（2）如图2，若点P在AC延长线上，DE交BC于F求证：BF＝CF；
（3）在图2中，若∠PBC＝15°，AB=6+2，请直接写出CP的长 2 ．
【解答】解：（1）如图：连接CE
∵△ABC，△ADE是等边三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE
∵∠ADB＝90°，∠BDC＝150°，∠ADE＝60°
∴∠EDC＝60°
∵∠BDC＝∠BPC+∠ACD＝∠BAC+∠ABD+∠ACD＝60°+∠ACE+∠ACD＝60°+∠ECD＝150°
∴∠ECD＝90°
∴sin∠EDC=ECDE=32=BDAD
∴ADBD=233
故答案为：233
（2）如图：过点CM∥BD交DE于点M，连接CE
∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ADE＝∠AED
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝90°
∵∠BDE＝∠ADB+∠ADE，∠DEC＝∠AEC﹣∠AED
∴∠BDE＝150°，∠DEC＝30°
∵MC∥BD
∴∠DMC＝∠BDE＝150°
∴∠EMC＝30°
∴∠DEC＝∠EMC
∴MC＝CE
∴BD＝CM，且∠BDE＝∠CMD，∠BFD＝∠CFM
∴△BDF≌△CMF（AAS）
∴CF＝BF
（3）如图：作∠ABG＝∠BAD，交AD于点G
∵∠ABC＝60°，∠PBC＝15°，AD⊥BD
∴∠DAB＝15°
∵∠ABG＝∠BAD
∴∠ABG＝∠BAG＝15°
∴∠BGD＝30°，BG＝AG
∴BG＝2BD，GD=3BD
∴AD=3BD+2BD
在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2．
∴（6+2）2＝（3+2）2BD2+BD2．
∴BD＝1
∴AD＝2+3，
∵∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，
∴∠DAP＝45°，且AD⊥BD，
∴AP=2AD＝22+6，
∵CP＝AP﹣AC＝AP﹣AB＝22+6-（2+6），
∴CP=2，
方法二、如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，
∴∠ABH＝∠CBH＝30°，AH＝CH=12AC=6+22，
∴BH=3AH=32-62，
∵∠PBC＝15°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝BH=32-62，
∴PC＝PH﹣CH=2，
故答案为2
24．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴为x=12，图象交x轴于A、B两点，交y轴于C（0，3），且AB＝5，直线y＝kx+m（k＜0）与二次函数图象交于M、N（M在N的右边），交y轴于P．
（1）求二次函数图象的解析式；
（2）若m＝5，若M、N均在第一象限，且△CMN的面积为3，求k的值；
（3）若m＝﹣3k，且M在第四象限，若直线AN交y轴于Q，求CPCQ取值范围．
【解答】解：（1）设点A（x，0），AB＝5，则点B（x+5，0），
则图象对称轴为x=12=12（x+x+5），解得x＝﹣2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0），点B（3，0），
则抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）（x+2）＝a（x2﹣x﹣6），
则﹣6a＝3，解得a=-12，
故抛物线的表达式为y=-12x2+12x+3 ①；
（2）∵m＝5，
∴直线 y＝kx+5②，设它交 y 轴于点 P，则 P（0，5），
∴PC＝2，
则△CMN的面积＝S△PCM﹣S△PCN=12×CP•（xM﹣xN）=12×2•（xM﹣xN）＝3，
即xM﹣xN＝3③，
联立①②，整理得：x2+（2k﹣1）x+4＝0，
则xM+xN＝1﹣2k④，
xM•xN＝4⑤，
联立③④⑤并解得k＝﹣2或3（舍去3），
即k＝﹣2；
（3）当m＝﹣3k时，
则y＝kx+m＝kx﹣3k＝k（x﹣3）⑥，则直线过定点（3，0），
而B（3，0），
∴直线必过点B，
又∵M在第四象限，
∴点N与B重合，Q与原点O重合，
∵点P（0，﹣3k），点C（0，3），
则CP＝﹣3k﹣3，
而CQ＝CO＝3，
故CPCQ=-3k-33=-k﹣1，
联立①⑥并整理得：x2+（2k﹣1）x﹣6k﹣6＝0，
而xM•xN＝xM•3＝﹣6k﹣6，
解得xM＝﹣2k﹣2，
∵M在B点右侧，
∴﹣2k﹣2＞3，
即﹣k﹣1＞32，
即CPCQ＞32． x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…