湖北省武汉市蔡甸区2023届九年级下学期2月月考数学试卷(含解析)

这是一份湖北省武汉市蔡甸区2023届九年级下学期2月月考数学试卷(含解析)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别是( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个幸幸从中任意摸一个球，下面说法正确的是( )
A. 一定是红球B. 摸出红球的可能性最大
C. 不可能是黑球D. 摸出黄球的可能性最小
4. 已知的半径是，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是( )
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法判断
5. 将一元二次方程化成的形式，下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
6. 抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
7. 某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，则现年岁的这种动物活到岁的概率为( )
A. B. C. D.
8. 点，都在上，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 如图，放置在直线上的扇形由图滚动无滑动到图，再由图滚动到图若半径，，则点所经过的最短路径的长是( )
A. B. C. D.
10. 无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. 或D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______。
12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是______ ．
13. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则 ______ ．
14. 有一直径为的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径 ．
15. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；；其中正确结论有 填写所有正确结论的序号．
16. 如图，已知四边形中，，，对角线，则的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知关于的一元二次方程的其中一个根为，求的值及方程的另一个根．
18. 本小题分
如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，且于点，求的度数．
19. 本小题分
卡塔尔世界杯正在激烈进行中，吉祥物“拉伊卜”凭借可爱的造型受到网友喜爱．如图分别是年和年世界杯的吉祥物和会徽图案，军军制作了张正面分别印有这四个图案的卡片卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同，这张卡片分别用字母，，，表示，并将这张卡片正面朝下洗匀．
军军从中随机抽取张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是______；
军军从这张卡片中任意抽取张卡片，再从剩下的卡片中任意抽取张卡片，请利用画树状图或列表法，求抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的概率．
20. 本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．
21. 本小题分
如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点经过、、三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图保留连线痕迹

在图中的上画一点，使；
在图中过、、的圆上找一点，使平分．
22. 本小题分
如图，抛物线，是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，，且点，，，，均在坐标轴上．
求抛物线表达式．
求点的坐标．
要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为米，直接写出的取值范围．
23. 本小题分
如图，点为等腰直角内一点，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
变式：
如图，点为等腰直角外一点，，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
拓展：
如图，，，以为边作等腰，，直接写出的最大值．
24. 本小题分
已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是抛物线顶点．

直接写出抛物线的函数解析式；
如图，点在抛物线上，若直线经过外接圆的圆心，判断的形状并求点的横坐标；
以点为圆心的与轴相切且与抛物线只有两个公共点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：一元二次方程可得，
一次项系数和常数项分别为，；
故选：．
先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．
本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2.【答案】
解析：解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3.【答案】
解析：解：从中任意摸出一个球，有可能是红球，有可能是黄球，有可能是黑球，由红球有个，黄球有个，黑球有个，所以摸出红球的概率最大，摸出黑球的概率最小；
故A、、选项说法错误；
故选：．
根据概率的相关概念可进行排除选项．
本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键．
4.【答案】
解析：解：的半径为，圆心到直线的距离为，
，即：，
直线与的位置关系是相交．
故选：．
根据圆的半径和圆心到直线的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案．
本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
5.【答案】
解析：解：，
，
配方得：，
即，
故选：．
移项后配方，变形后即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6.【答案】
解析：解：抛物线的顶点坐标是．
则该抛物线向右平移个单位长度后的顶点坐标是，
所以所得新抛物线的解析式．
故选：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
7.【答案】
解析：解：现年岁到这种动物活到岁的概率为，
故选：．
直接根据概率公式进行求解即可．
本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8.【答案】
解析：解：对于函数，，可知其图象开口向上，对称轴为，
则当，即当时，如图，
此时点，关于直线对称，故；
当时，如图，
此时点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，随着的增大而减小，随着的增大而增大，故；
当时，如图，
此时函数值随着的增大而增大，点在点左侧，故．
综上所述，若，则的取值范围是．
故选：．
由函数解析式可知，其图象开口向上，对称轴为当时，点，关于直线对称，故；当及时，结合图象确定点，的位置，然后比较即可获得答案．
本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标，理解并掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
9.【答案】
解析：解：如图，
点的运动路径的长的长的长
，
故选：．
利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
解析：解：当时，若，直线与直线没有交点，不合题意．
当时，二次函数为：．
由得：．
．
无论为何值，，
．
直线与抛物线总有公共点，
符合题意．
故排除，．
当时，二次函数为：．
由得：，
．
直线与抛物线总有公共点．
符合题意．
故排除．
故选：．
将交点问题转化为方程解的问题求解．
本题考查二次函数与一次函数的交点问题，取特殊的值，将交点问题转化为方程解的问题是求解本题的关键．
11.【答案】
解析：解：点关于原点对称的点的坐标为。
故答案是：。
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答。
本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数。
12.【答案】
解析：解：由图形可得该小球停留在白色区域的概率是，
故答案为：．
用白色区域的面积整个图形的面积即可得出答案．
本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13.【答案】
解析：解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
列方程得：，
，
解得：舍去，．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．
故答案为：．
设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有台电脑被感染，然后可列方程进行求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，题目比较典型，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．
14.【答案】
解析：解：连接，作于点．
则，，
则，
．
则扇形的弧长是：，
根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
连接，作于点，利用三角函数以及垂径定理即可求得的长，然后利用扇形的弧长公式即可求得弧长，然后利用圆的周长公式即可求得半径．
本题考查了扇形的弧长公式，垂径定理，正确求得的长是关键．
15.【答案】
解析：解：函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故错误；
二次函数的图象与轴的交点在的下方，对称轴在轴右侧，
最小值：，
，
，故正确；
图象与轴的交点在和之间，
，
，
，
，故正确；
综上所述，正确的有，
故答案为：．
根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断；根据对称轴得到函数图象经过，则得的判断；利用，可判断；从图象与轴的交点在和之间可以判断的大小得出的正误．
此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
16.【答案】
解析：解：如图所示，作的外接圆，连接并延长至圆上于点，连接，
点恒在优弧上，
当经过圆心时取得最大值，
，经过圆心，即为的直径，有，
点、、在同一直线上，
，
是等边三角形，
，，
为的中点，
且为的角平分线，
故为直角三角形，且，
，
；
故答案为．
如图所示，作的外接圆，连接并延长至圆上于点，连接，由题意易得当经过圆心时取得最大值，然后可得点、、在同一直线上，则有是等边三角形，进而可得，最后问题可求解．
本题主要考查圆的基本性质、含度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质、含度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
17.【答案】解：关于的一元二次方程的一个根是．
满足关于的一元二次方程，
，
解得，；
方程为，
，
解得，，．
方程的另一根是．
解析：根据一元二次方程的解的定义，将代入于的一元二次方程，求得的值；然后利用因式分解法求得方程的解，即可求得另一个根．
本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
18.【答案】解：由旋转的性质可得，
，
，
，
，
．
解析：根据旋转的性质可得，由题意可得，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
本题主要考查旋转的性质，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19.【答案】
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的结果有种，即、，
抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的概率为．
解析：解：军军从中随机抽取张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是，
故答案为：；
见答案
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率、概率公式等知识；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】证明：如图，连接，则，

，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：如图，过点作，

则，，
，，


四边形是矩形，
，，
，设，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，，舍去，
，
．
解析：连接，根据，，推出，得到，根据，推出，得到是的切线；
过点作，得到，根据，，推出四边形是矩形，得到，，设，，得到，，根据勾股定理得到，解得，，得到，推出．
本题主要考查了等腰三角形，圆的切线，垂径定理，矩形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，圆的切线判定和性质定理，垂径定理，矩形判定和性质，勾股定理解直角三角形．
21.【答案】解：找到格点，使得，连接并延长，交于点，如图：

则点即为所求；
连接，找到格点、，使得、，连接，交圆于点连接，则即为所求，如图：

解析：根据垂径定理，即可求得点；
作线段的垂直平分线，交圆于点，连接即可．
此题考查作图设计与应用作图、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图是解题的关键．
22.【答案】解：把代入，
得：，
，
把代入，
解得，
抛物线表达式：，
当时，即，
解得：，
，
抛物线表达式：；
，
、的纵坐标为，
，
解得：，，
点的纵坐标是，
抛物线是由抛物线向左平移米得到的，
抛物线表达式为：，
把代入，
得：，
解得，舍去，
，
由可得点坐标为，
，
由得把代入，
得，舍去，
，，
，
．
解析：分别把、点坐标代入解析式即可解答；
由题意易得抛物线是由抛物线向左平移米得到的，则有抛物线表达式为：，然后把代入求解即可；
由可得，又因为，即可解答．
本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
23.【答案】解：，理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转得，与重合，点的对应点为点，则，，，，
，
，，
在和中，，，
；

，理由如下：
如图，在的延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
在和中，，，
；

将绕点顺时针旋转得，连接、，则，，，
，
，
当点、、三点在同一直线上时，最长，此时
的最大值为．

解析：将绕点顺时针旋转得，与重合，点的对应点为点，则，，，，进而得，，在和中，由勾股定理即可求得；
在的延长线上取一点，使得，连接，证≌，得，，从而，在和中，利用勾股定理即可求得；
将绕点顺时针旋转得，连接、，则，，，由勾股定理得，当点、、三点在同一直线上时，最长，即可求得的最大值．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握勾股定理及旋转的性质是解题的关键．
24.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的函数解析式为．

，
，
把代入，得，
，
，
，，，
，
是直角三角形，且，
是外接圆的直径，
设的中点为，
，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
解得：，，
点的横坐标为．
抛物线的关系式为：，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
点，
点在对称轴上；
设圆与轴的切点为，
当圆与抛物线相切时，如图所示：

此时与抛物线有两个交点，设切点的坐标为，
点在抛物线上，
，
，
，
，
，
，
抛物线与圆相切，
方程只有一个解，
，
解得：或；
当圆与抛物线相交，且抛物线与圆有两个交点时，如图所示：

此时，
即，
；
综上分析可知，的取值范围为，或．
解析：利用待定系数法即可得出答案；
把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得的坐标，令即可求得的坐标，利用勾股定理的逆定理可得，可知是直径，设的中点为，求的解析式，联立二次函数的解析式可得点的坐标；
求出圆的顶点坐标和对称轴，得出点在对称轴上，分圆与抛物线相切，圆与抛物线相交有两个交点两种情况，画出图形，求出的取值范围即可．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，勾股定理的应用，三角形的外接圆，切线的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．