辽宁省葫芦岛市连山区2022-2023学年八年级下学期段考(四)数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省葫芦岛市连山区2022-2023学年八年级下学期段考(四)数学试卷(含解析)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2. 一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是( )
A. B. C. D.
3. 某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、举止形态这三项的得分分别为分、分、分．若依次按照，，的百分比确定成绩，则该选手的最终成绩是( )
A. 分B. 分C. 分D. 分
4. 下列命题中正确的是( )
A. 在中，若：：：：，则是直角三角形
B. ，，是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数
C. 如果直角三角形的两边分别是，，那么第三边一定是
D. 任何一个定理都有逆定理
5. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
6. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图所示的四边形若，，，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中如图，设筏子露在杯子外面的长度为则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9. 如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为( )
A.
B.
C.
D.
10. 龟、兔进行米赛跑，赛跑的路程米与时间分钟的关系如图所示兔子睡觉前后速度保持不变，根据图象信息，下列说法错误的是( )
A. 龟、兔是进行的米赛跑B. 兔子刚醒来时，乌龟已领先了米
C. 兔子醒来后的赛跑速度是米分钟D. 乌龟比兔子早分钟到达终点
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：______．
12. 甲、乙两地月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这天中日平均气温方差的大小关系是 ______填“”、“”或“”．
13. 某班名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中个捐款额的中位数是______元．
14. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为______ ．
15. 如图，四边形为正方形，，，则的长为______ ．
16. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的动点，连接，，，则的最小值是______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
17. 计算
；
．
18. 先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题．
求本次调查获取的样本数据的平均数；
如果对该小区的名居民全面开展这项有奖问卷活动，得分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？
20. 本小题分
如图，矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，与交于点，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
21. 本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点．
求，的值和点坐标；
求两直线与轴围成的三角形面积；
直接写出不等式的解集．
22. 本小题分
如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为秒．
求斜边的长；
当点在的角平分线上，求的值；
在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时的值．
23. 本小题分
某人需要经常去复印资料甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费两复印社每月的收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题；

乙复印社要求客户每月支付的会员费是______ 元；
求出乙复印社收费元关于复印量页的函数解析式；
当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
如果每月复印页，应选择哪家复印社？
24. 本小题分
如图，点在正方形的边上，连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作交于点．
求证：；
猜想线段与的数量关系并说明理由；
25. 本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限，直线交轴于点．
求直线的解析式；
若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标；
在的条件下，点在直线上，点在轴上，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
解析：解：是最简二次根式，A正确；
，不正确；
，不正确；
，不正确，
故选：．
根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】
解析：解：由平均数的公式得，，
解得，，
方差．
故选：．
根据方差的计算公式可得方差，计算即可得到答案．
本题考查平均数，方差等知识，解题的关键是记住方差公式．
3.【答案】
解析：解：根据题意得：
分，
故选：．
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题主要考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的定义及计算方法．
4.【答案】
解析：解：在中，若：：：：，则不是直角三角形，故原命题错误，不符合题意；
B、，，是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数，正确，符合题意；
C、如果直角三角形的两边分别是，，那么第三边是或，故原命题错误，不符合题意；
D、一个定理不一定有逆定理，故原命题错误，不符合题意．
故选：．
利用直角三角形的性质及判定方法、勾股数的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度较小．
5.【答案】
解析：解：众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
鞋店最喜欢的是众数．
故选：．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6.【答案】
解析：解：在中，令时，则，
，
，
由图可得：不等式的解集为．
故选：．
先求出点坐标，再观察图象，利用一次函数与一元一次不等式的关系得出结论．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7.【答案】
解析：解：，，，
，
，，
，
，
故选：．
根据勾股定理和含角的直角三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角函数等知识．
8.【答案】
解析：解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

；
如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在中，，，
，
此时，
的取值范围是，
故选：．
当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出的最大值和最小值即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
9.【答案】
解析：解：如图，，
故选：．
解答此题要将楼梯展开，然后根据两点之间线段最短解答．
本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
10.【答案】
解析：解：乌龟的速度为：米分，
故赛跑的总路程为：米，故选项A不合题意；
兔子刚醒来时，乌龟已领先了：米，故选项B不合题意；
兔子在前十分钟的速度为：米分钟，所以兔子醒来后的赛跑速度是米分钟，故选项C不合题意；
兔子到达终点的时间为：分钟，分钟，
故乌龟比兔子早分钟到达终点，故选项D符合题意．
故答案为：．
根据乌龟分钟走米可得乌龟的速度，根据乌龟用时分钟可得总路程；根据兔子分钟跑米可得兔子的速度，再结合题意逐一选项解答即可．
本题是对函数图象的考查，理解两个函数图象的交点表示的意义，从函数图象准确获取信息是解题的关键．
11.【答案】
解析：解：原式
．
故答案为．
利用二次根式的性质计算．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
12.【答案】
解析：解：由折线统计图知，乙地这天中日平均气温的波动幅度明显小于甲地，
，
故答案为：．
由折线统计图知，乙地这天中日平均气温的波动幅度明显小于甲地，结合方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13.【答案】
解析：解：捐款的总人数为，第个与第个数据都是元，
中位数是元．
故答案为：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
此题考查了中位数的求法：给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．
14.【答案】
解析：解：为的中位线，
，
，是的中点，
，
，
故答案为：
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15.【答案】
解析：解：如图所示，连接交于，

，，，
≌，
，，
在中，由勾股定理得，
，
四边形为正方形，
．
故答案为：．
如图所示，连接交于，证明≌，得到，，利用勾股定理求出，则，再由正方形的性质即可求出答案．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，
16.【答案】
解析：解：找到点关于直线的对称点，找到点关于直线的对称点，当点、、、四点共线时，值最小．作，垂足为．
，，，
，
．
故答案为：．
分别作、两点关于直线、的对称点，四点、、、共线时有最小值，代入数据计算即可．
本题考查了轴对称的性质，利用轴对称求最值是中考填空压轴题．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
解析：直接化简二次根式进而合并得出答案；
直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：原式

，
当时，原式．
解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：分，
答：本次调查获取的样本数据的平均数为分；
份，
答：估计需准备份一等奖奖品．
解析：将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可；
求出分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可．
考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键．
20.【答案】证明：是对角线的垂直平分线，
，，
四边形是矩形，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
四边形是菱形，
，，
在中，设，则，
，
，
，
，
．
解析：已知垂直平分，因此只要证出四边形是平行四边形即可得出四边形是菱形的结论．
根据勾股定理得出，进而利用勾股定理解答即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
21.【答案】解：把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为：，
解方程组，得，
所以点坐标为；
，
两直线与轴围成的三角形面积为：
由图可得：

不等式的解集为．
解析：先利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值，然后解两函数解析式所组成的方程组得到点坐标；
直接利用三角形面积公式计算；
利用函数图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及数形结合思想，利用图象法求不等式的解集是解题的关键．
22.【答案】解：在中，，，，
，
；
当点在的角平分线上，过点作，如图：

平分，，，
，
点的运动长度为，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
．
在中，由勾股定理得：，
即．
解得：．
由图可知，当是等腰三角形时，点必在线段或线段上，
当点在线段上时，此时是等腰直角三角形，

则，
，
，即，
；
当点在线段上时，若，

则，
点运动的长度为，
；
若，如图，过点作于点，则，

在中，
，
，
在中，由勾股定理得：
．
，
点运动的长度为：：
；
若，如图所示，

则，
，
，，
，
，
，
．
点运动的长度为，
；
综上，的值为或或或．
解析：根据勾股定理直接求出的值；
过点作证明≌，用含的代数式分别表示各线段，利用勾股定理解即可求得的值；
由图可知，当是等腰三角形时，点必在线段或线段上，当点在线段上时，分三种情况：，，，分别求得点运动的路程，再除以速度即可得出答案．
本题主要考查了三角形中的动点问题，涉及角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是掌握上述性质、定理，并熟练运用分类讨论思想，
23.【答案】
解析：解：由图可知，
乙复印社要求客户每月支付的承包费是元；
故答案为：；
设乙复印社收费情况关于复印页数的函数解析式为，
把和代入解析式，
得：，
解得：，
乙复印社收费情况关于复印页数的函数解析式为；
由知，甲复印社收费情况关于复印页数的函数解析式为，
令，
解得，，
答：当每月复印页时，两复印社实际收费相同；
当时，
甲复印社的费用为：元，
乙复印社的费用为：元，
，
当时，选择乙复印社．
根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元；
先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得，再说明一次项系数的实际意义；
先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，两复印社实际收费相同；
将代入中的函数解析式，然后比较它们的大小，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
．
，
理由：≌，
．
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
解析：根据正方形的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
据全等三角形的性质可得，根据垂直的性质可得，，根据对顶角相等推得，根据等角对等边可得，等连代换可得，根据等角对等边可得，即可推得．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，解题的关键是灵活运用以上知识解决问题．
25.【答案】解：直线中，当时，，
，，
当时，，
，
，，
如图，过点作轴于，

由题意得：，，
，
，
，
≌，
，，
，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
直线的解析式为：；
如图，过点作轴于，

点为线段上一点，
设点的坐标为，
四边形的面积，
，
解得：，
；
由的表达式知，点，
设点的坐标为：，点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，解得：，
即点的坐标得：；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：
，解得，
即点的坐标得：；
当为对角线时，
同理可得，点的坐标为：，
综上，点的坐标为：或或．
解析：由≌，求出，即可求解；
由四边形的面积，即可求解；
当为对角线时，由中点坐标公式，列出方程组即可求解；当、为对角线时，同理可解．
此题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定等知识，掌握平移的性质和分类讨论的思想是解本题的关键．
尺码
销售量双