河南省开封市兰考县2023届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份河南省开封市兰考县2023届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共13页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内.
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和B．和C．和D．
3．要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≤3C．x≥3D．x＞3
4．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．32x﹣1＝0B．x2+x＝C．2x2﹣3y﹣5＝0D．y2﹣y﹣3＝0
5．下列表示的是四位同学的运算过程，其中正确的是（ ）
A．＝＝5+12＝17
B．＝
C．4÷＝
D．＝＝
6．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（ ）
A．x2﹣3x+4＝0B．x2+2x﹣4＝0C．x2+4x+4＝0D．x2+4x+5＝0
7．南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》一书中，给出了“秦九韶公式”，也叫“三斜求积术”，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．设△ABC的三边长分别为1，2，，该△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（ ）
A．﹣9B．9C．﹣9或9D．﹣5或5
9．2022年4月，张文宏在“科学为盾，战胜疫情”分论坛上发言表示，只有做到更高的疫苗接种率和医疗资源供应保障，才能最终安心走出这一波的疫情．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了（ ）
A．11人B．12人C．13人D．14人
10．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A．a（1﹣x）2＝70%aB．a（1+x）2＝70%a
C．a（1﹣x）2＝30%aD．30%（1+x）2a＝a
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 ．
12．实数a，b，c在数轴上的位置如图2所示，则化简的结果是 ．
13．下列是小明同学用配方法解方程：2x2﹣12x﹣1＝0的过程：
最开始出现错误的是第 步．
14．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1，x2，若x2＝2x1，则4b﹣3ac的最大值是 ．
15．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．计算：
（1）××＝ ；
（2）（﹣）（+）﹣（﹣）2＝ ．
17．（1）用公式法解方程：4x2﹣8x+3＝0；
（2）用配方法解方程：x2﹣30x+200＝0．
18．已知x＝3+2，y＝3﹣2，则
（1）x+y＝ ；x﹣y＝ ；xy＝ ．
（2）根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值：x2﹣3xy+y2﹣x﹣y．
19．如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为48cm2，求该有盖纸盒的高．（单位：cm）
20．【阅读材料】像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：的有理化因式为 ；
（2）化简：；
（3）已知正整数a，b满足，求a，b的值．
21．2022年4月24日，第七个“中国航天日”，主题是“航天点亮梦想”．某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十三号”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型每降低1元，平均每天可多售出2个．
（1）若每个模型降价4元时，平均每天可售出多少个模型？此时每天销售获利多少元？
（2）在每个盈利不少于25元的前提下，要使该模型每天销售获利为1200元，同每个模型应降价多少元？
（3）该模型每天的销售获利能达到1300元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能，请说明理由．
22．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求此三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ．
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如果△ABC三边的长分别为a、a、a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法画出示意图并求出这三角形的面积．
23．读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2﹣x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2﹣x﹣2＝0，可得方程x3﹣x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3﹣x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解．
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝6m，宽AB＝4m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内.
1．
解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意
D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．
解：A．∵＝，
∴和是同类二次根式，故本选项符合题意；
B．∵＝，
∴和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D．∵＝|a|，＝|b|，
∴和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．
解：由题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故选：C．
4．
解：A．32x﹣1＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+x＝不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程2x2﹣3y﹣5＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程y2﹣y﹣3＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
5．
解：＝＝＝13，故选项A错误，不符合题意；
＝＝，＝3+2＝5，故选项B错误，不符合题意；
＝2，故选项C错误，不符合题意；
＝＝，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
6．
A、Δ＝（﹣3）2﹣4×4＝﹣7＜0；
B、a+b＝﹣2；
C、a+b＝﹣4；
D、Δ＝42﹣4×5＝﹣4＜0．
故选：C．
7．
解：∵△ABC的三边长分别为1，2，，
将a＝1，b＝2，c＝代入S＝中得，
S＝＝＝1，
故选：A．
8．
解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，
∴α+β＝5，α•β＝﹣14，
∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β＝52﹣4×（﹣14）＝81，
∴α﹣β＝±9．
故选：C．
9．
解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染，
依题意得：1+x+x（1+x）＝169，
即（1+x）2＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去），
∴每轮传染中平均每个人传染了12人．
故选：B．
10．
解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，可列方程为a（1﹣x）2＝30%a，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．
解：由题意可知：＝2，
3a﹣7＝2，
a＝3．
故答案为：3．
12．
解：由数轴可知c＜0＜a＜b，
∴c﹣a﹣b＜0，a﹣b＜0，
∴原式＝|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b|
＝﹣（c﹣a﹣b）+（a﹣b）
＝﹣c+a+b+a﹣b
＝2a﹣c，
故答案为：2a﹣c．
13．
解：2x2﹣12x＝1，⋯⋯第1步，
x2﹣6x＝，⋯⋯第2步，
x2﹣6x+9＝+9，……第3步，
（x﹣3）2＝，x﹣3＝±⋯⋯第4步，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
所以原解答过程从第2步开始出现错误，
故答案为：2．
14．
解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴x2＝﹣，
∴＝，
∴ac＝b2，
∴4b﹣3ac＝4b﹣3×b2＝4b﹣b2＝﹣（b﹣3）2+6，
∵﹣＜0，
∴4b﹣3ac的最大值是6．
故答案为：6．
15．
解：∵阴影部分的面积+四个小正方形的面积＝大正方形的面积，
∴50+4×＝，
即75＝（x+5）2，
解方程得，
∴x的正数解为：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．
解：（1）原式＝2×（﹣）×
＝﹣
＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）原式＝5﹣3﹣（2+10﹣4）
＝5﹣3﹣12+4
＝﹣10+4
故答案为：﹣10+4．
17．
解：（1）4x2﹣8x+3＝0，
∴a＝4，b＝﹣8，c＝3，
则Δ＝（﹣8）2﹣4×4×3＝16＞0，
∴x＝＝1±．
∴x1＝，x2＝；
（2）x2﹣30x+200＝0，
x2﹣30x＝﹣200，
x2﹣30x+152＝﹣200+225，即（x﹣15）2＝25，
∴x﹣15＝±5，
∴x1＝20，x2＝10．
18．
解：（1）∵x＝3+2，y＝3﹣2，
∴x+y＝6，x﹣y＝4，xy＝9﹣8＝1；
故答案为：6，4，1；
（2）原式＝（x+y）2﹣5xy﹣（x+y）
＝62﹣5×1﹣6
＝25．
19．
解：设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得•（10﹣2x）＝48，
化简，得：x2﹣15x+26＝0，
解得：x1＝2，x2＝13．
当x＝2时，10﹣2x＝6＞0，符合题意；
当x＝13时，10﹣2x＝﹣16＜0，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
20．
解：（1）的有理化因式为+3；
（2）原式＝+2﹣3
＝2﹣2；
（3）原式可化为a（+1）﹣＝3﹣2，
a+a﹣b＝3﹣2，
（a﹣b）+a＝3﹣2，
∴a＝3，a﹣b＝﹣2，
∴b＝10．
21．
解：（1）20+2×4＝28（件），
（40﹣4）×28＝1008（元）．
答：均每天可售出28件模型，此时每天销售获利1008元．
（2）设每件模型应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵每件盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每件模型应降价10元．
（3）该模型每天的销售获利不能达到1300元，理由如下：
设每件模型应降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，
整理得：y2﹣30y+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴该方程无实数根，
即该模型每天的销售获利不能达到1300元．
22．
解：（1）S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝．
故答案为：．
（2）如图1，在边长为a的正方形网格中，△ABC即为所求作三角形，
S△ABC＝2a×4a﹣×2a×2a﹣×2a×a﹣×4a×a＝3a2；
（3）如图2，在长为m、宽为n的网格中，△ABC即为所求作三角形，
其中AB＝、AC＝、BC＝，
S△ABC＝4m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×4m×2n＝7mn．
23．
解：（1）x3﹣x2﹣2x＝0，
x（x2﹣x﹣2）＝0，
x（x﹣2）（x+1）＝0，
所以x＝0或x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝0，x2＝2，x3＝﹣1；
故答案为：2，﹣1；
（2）方程的两边平方，得4x+5＝x2，
即x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1，
经检验：当x＝5时，左边＝＝5＝右边，x＝5是原方程的解，
当x＝﹣1时，左边＝＝1，右边＝﹣1＜0，
∴左边≠右边，
∴x＝﹣1不是原方程的解，
∴x＝5是原方程的解；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝4，
设AP＝xm，则PD＝（6﹣x）m，
∵BP+CP＝10，BP＝，CP＝，
∴+＝10，
∴＝10﹣，
两边平方，得（6﹣x）2+16＝100﹣20+16+x2，
整理，得5＝3x+16，
两边平方并整理，得x2﹣6x+9＝0，
即（x﹣3）2＝0，
所以x1＝x2＝3，
经检验，x＝3是方程的解．
答：AP的长为3m．
解：2x2﹣12x＝1，…第1步
x2﹣6x＝1，…第2步
x2﹣6x+9＝1+9，…第3步
（x﹣3）2＝10，x﹣3＝±…第4步
∴x1＝3+．