中考数学二轮复习数学模型-倍长中线模型含解析答案

这是一份中考数学二轮复习数学模型-倍长中线模型含解析答案，共8页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，为AD上的中点，则BE＝ ．

3．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．

4．如图，平行四边形中，于，点为边中点，，，则
5．已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E．
求证：BE=CF．
6．如图所示，在中，交于点，点是中点，EF∥AD交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线.
7．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．
8．如图所示，为的角平分线，分别在上，，若．
求证：．
9．如图所示，在中，为中线，，求的度数．
10．已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
11．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是： ；
②思路二的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
12．阅读
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．
（1）若AC=，AE=，求BE的长；
（2）在（1）的条件下，求△ABD的面积．
（3）若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；
14．阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
参考答案：
1．D
【分析】根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点， 可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项；
【详解】四边形是平行四边形


由于条件不足，所以无法证明,故选项错误；





故选项错误；
同时延长和交于点


在和 中：


由于条件不足，并不能证明，故选项错误；


为的中点

故选项正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.
2．
【分析】延长BE交CD于点F，证，则BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可.
【详解】解：延长BE交CD于点F,
∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，
又E为AD上的中点，∴AE=DE,
所以.
∴
∴
在直角三角形BCF中，BF==.
∴.
【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解.

3．；
【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．
【详解】

如图：延长至使，连接
在和中：

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
∴
【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．
4．
【分析】延长、交于点，连接FC，先依据全等的判定和性质得到，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，依据平行四边形的对边相等及等量代换得到，依据三角形等边对等角得到、，依据三角形内角和得到，通过作差即得所求.
【详解】解：延长、交于点，连接FC，
∵平行四边形中，
∴，,,
∴，，,
又∵点为边中点，得,
∴≌(ASA)，，
∴，
∴，
∴,
∴,
∵,,,,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角三角形.
5．见解析.
【分析】过B作BN∥AC交EM延长线于N点，易证△BMN≌△CMF，可得CF＝BN，然后由MF//AD，AD平分∠BAC可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM＝∠N，所以BE＝BN＝CF.
【详解】证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，
∵BN∥AC，BM＝CM，
∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F，
∴△BMN≌△CMF，
∴CF＝BN，
又∵MF//AD，AD平分∠BAC，
∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，
∴∠BEM＝∠N，
∴BE＝BN＝CF.
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
6．见解析
【分析】延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证△BEG≌△CEH，即可求得∠H=∠BGE，进一步证明，最后由平行线的性质即可证得∠CAD=∠BAD，即可解题．
【详解】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH，
∵E是BC中点，
∴BE=CE，
在△BEG和△CEH中，
，
∴△BEG≌△CEH（SAS），
∴∠BGE=∠H，BG=CH
∵BG=CF
∴CH=CF
∴
∴
∵EF∥AD，
∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠BGE，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，本题中求证△BEG≌△CEH是解题的关键．
7．详见解析
【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
【详解】证明：延长ED至G，使，连结GC，
∵在中，为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，

∴，
，，
，
，
．
又，
∴，
∴.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．
8．详见解析
【分析】延长FD至G，使，连结CG，可证，则EF=CG，利用全等三角形和角平分线以及平行线的性质可得 ，根据等角对等边得AC=CG，即可得出结论.
【详解】证明：延长FD至G，使，连结CG，
∵DC=DE，∠EDF=∠CDG，
∴，
，
，
，
又，
，
，
.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等．
9．45°
【分析】延长AD至E，使，连结，则，根据全等三角形的性质得EC=AB，，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，即可得∠DAC的度数．
【详解】解：延长AD至E，使，连结，
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC
∴，
∴EC=AB，，
∵AB=2AD，
∴AB=AE=EC
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°.
故答案为45°.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.
10．详见解析
【分析】通过倍长线段，将、、转化到中，再证为直角三角形.
【详解】延长至，使，连结、，
，，
，
，，
，
，，
，
又，，
，
.
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.
11．（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析
【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．
【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．
理由如下：∵BG＝BF，
∴∠G＝∠BFG，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFG，
∴∠G＝∠EAF，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∴AC＝BF；
故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：
则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．
12．（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析.
【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．
【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8；
（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF=EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，
∴∠NBC=∠D，
在△NBC和△FDC中，
BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠BCE+∠FCD=70°，
∴∠ECN=70°=∠ECF，
在△NCE和△FCE中，
CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN=EF，
∵BE+BN=EN，
∴BE+DF=EF．
考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.
13．（1）；（2）；（3）见详解
【分析】（1）在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）设，则，根据勾股定理求出AD的长，再利用三角的面积公式计算即可；
（3）如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，首先证明△AEF≌△MFB，再证明△ABM≌△ACD即可．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，AC＝，
∴AB＝，
∵BE⊥AD，AE＝，
∴在Rt△AEB中，；
（2）设，则，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：，
即,
则，
则；
（3）证明：如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，

∵点F为BE的中点，
∴EF＝BF，
在△AEF和△MBF中，

∴△AEF≌△MBF（SAS），
∴∠FAE＝∠FMB，
∴AE∥MB，
∴∠EAB+∠ABM＝180°，
∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，
又∵AB＝AC，DB＝DA，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，
∴∠ABM＝∠ACD．
又∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，
∴∠1＝∠2．
在△ABM和△ACD中，
，
∴△ABM≌△ACD（ASA），
∴AM＝AD，
又∵AM＝AF+MF＝2AF，
∴2AF＝AD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．
14．详见解析
【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．
【详解】如图，延长至点，使得，并连结，
∵是三角形的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．