中考数学二轮复习数学模型-对角互补模型含解析答案

这是一份中考数学二轮复习数学模型-对角互补模型含解析答案，共8页。试卷主要包含了已知，探究，方法导引，综合实践等内容，欢迎下载使用。

1．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．
（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD= BD．
（2）探究证明
将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明
（3）拓展延伸
在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．
2．已知:△ABC中，CA=CB, ∠ACB=90º，D为△ABC外一点，且满足∠ADB=90º
(1)如图所示，求证：DA+DB=DC
(2)如图所示，猜想DA．DB．DC之间有何数量关系？并证明你的结论.
(3)如图所示，过C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,则CH= .
3．例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．
解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；
（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．
4．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．
（1）思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；
（2）类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.
5．探究：如图1和2,四边形中,已知，，点，分别在、上，．
（1）①如图 1,若、都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，则能证得，请写出推理过程；
②如图 2，若、都不是直角，则当与满足数量关系_______时，仍有;
（2）拓展：如图3,在中，,，点、均在边上,且．若，求的长．
6．如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点.
（1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
7．如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点．
(1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系
(2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积．
8．（1）方法导引：
问题：如图1，等边三角形的边长为6，点是和的角平分线交点，，绕点任意旋转，分别交的两边于，两点．求四边形面积．
讨论：
①小明：在旋转过程中，当经过点时，一定经过点．
②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出．
③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积．
老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积：________．
（2）应用方法：
①特例：如图2，的顶点在等边三角形的边上，，，边于点，于点，求的面积．
②探究：如图3，已知，顶点在等边三角形的边上，，，记的面积为，的面积为，求的值．
③应用：如图4，已知，顶点在等边三角形的边的延长线上，，，记的面积为，的面积为，请直接写出与的关系式．

9．综合实践
初步探究：
如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为 ；
解决问题：
(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为 ；
拓展应用：
(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由；
评卷人
得分
一、解答题
参考答案：
1．（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系
（2）过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O，
证明，得到，，
根据为等腰直角三角形，得到，
再根据，即可解出答案.
（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．
在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，
由即可得出答案.
【详解】解：（1）如图1中，
由题意：，
∴AE=CD，BE=BD，
∴CD+AD=AD+AE=DE，
∵是等腰直角三角形，
∴DE=BD，
∴DC+AD=BD，
故答案为．
（2）．
证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．
∵，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴．又∵，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，．
∵，
∴．
（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．
此时DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.
2．（1）详见解析；（2）DA-DB=DC；(3)
【分析】（1）过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点，由余角的性质可得∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，由“AAS”可证△ACD≌△BCQ，可得CD=CQ，AD=BQ，由等腰直角三角形性质可得DQ=CD，即可得结论；
（2）过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，由“SAS”可证△ACQ≌△BCD，可得AQ=BD，可证CQ=CD，且∠QCD=90°，即可得DA、DB、DC之间关系；
（3）过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，由“SAS”可证△ACD≌△BCQ，可得AD=BQ，可证△DCQ是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求CH的长．
【详解】证明：（1）如图，过C点作CQ⊥CD交DB的延长线于Q点
∵∠ACB=90°，CQ⊥CD，∠ADB=90°
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠QCB=90°，∠ADC+∠CDQ=90°，∠CDQ+∠Q=90°
∴∠ACD=∠QCB，∠ADC=∠Q，且AC=BC
∴△ACD≌△BCQ（AAS）
∴CD=CQ，AD=BQ
∴DQ=DB+BQ=DB+AD
∵CD⊥CQ，∠DCQ=90°
∴DQ=CD
∴DB+AD=CD
（2）DA-DB=CD
理由如下：如图，过点C作CQ⊥CD交AD于点Q，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠CAB=45°
∵∠ACB=90°，QC⊥CD
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A，点B，点D，点C四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°
∵QC⊥CD
∴∠CQD=∠CDQ=45°
∴CQ=CD，且∠QCD=90°
∴QD==CD
∵∠ACB=∠DCQ=90°，
∴∠ACQ=∠DCB，且AC=BC，CQ=CD
∴△ACQ≌△BCD（SAS）
∴AQ=BD
∴QD=CD=DA-AQ=DA-BD，
即：DA-DB=
（3）如图，过点C作CQ⊥CD交BD于点Q，
∵∠ACB=90°，QC⊥CD
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴∠CDQ=∠CAB=45°
∵QC⊥CD
∴∠CQD=∠CDQ=45°
∴CQ=CD，且∠QCD=90°
∴△DCQ是等腰直角三角形，
∵∠ACB=∠DCQ=90°，
∴∠ACD=∠QCB，且AC=BC，CQ=CD
∴△ACD≌△BCQ（SAS）
∴AD=BQ，
∴DQ=DB-BQ=DB-AD=3
∵△DCQ是等腰直角三角形，DQ=3，CH⊥DB
∴CH=DH=HQ=DQ=．
故答案为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
3．(1)DA=DB+DC;(2) DA=DB+DC,证明见解析.
【分析】(1)由旋转60°可得AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则 ∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．
(2) 延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,由已知可得,根据,可得=,可证,进而可得AD=AE, ,可得,由勾股定理可得：,进行等量代换可得结论.
【详解】(1)结论：DA=DB+DC.
理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，
∴AE=AD， CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴D,C,E三点共线，
∵AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∴AD=DC+CE=DB+DC;
(2)结论：DA=DB+DC,
证明如下：
如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,
∵,,
∴,
∵,
∴=,
∵AB=AC,CE=BD,
∴(SAS),
∴AD=AE, ,
∴,
∴,
∴,
∴DA=DB+DC.
【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.
4．（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）.
【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出∠EAF＝∠GAF，然后证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质解答；
（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，首先证明E'，D，F三点共线，求出∠EAF＝∠E'AF，然后证明△AFE≌△AFE'，根据全等三角形的性质解答；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，求出∠ECD'＝90°，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，
∵∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，
∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AFG和△AFE中，，
∴△AFG≌△AFE，
∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；
（2）EF＝DF−BE；
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，
∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，
∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠E'AF，
在△AEF和△AE'F中，，
∴△AFE≌△AFE'（SAS），
∴FE＝FE'，
又∵FE'＝DF−DE'，
∴EF＝DF−BE；
（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，
同（1）可证△AED≌AED'，
∴DE＝D'E．
∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，
∴∠ECD'＝90°，
在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．（1）①见解析；②，理由见解析；（2）
【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3−x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【详解】（1）①如图1，
∵把绕点逆时针旋转至，使与重合，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴；
②，
理由是：
把绕点旋转到，使和重合，
则，，，
∵，
∴，
∴，，在一条直线上，
和①知求法类似，，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
（2）∵中，，
∴，由勾股定理得：
，
把绕点旋转到,使和重合，连接．
则，，，
∵，
∴，
∴，
在和中

∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
6．（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）
【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【详解】解：（1）是的角平分线
在中，，
同理：
（2）（1）中结论仍然成立，理由：
过点作于，于
由（1）知，
，且点是的平分线上一点
（3）结论为：.
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF＋OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF＝EG，
∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG，
∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，
∴OE−OD＝OC．
【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．
7．（1），证明详见解析；（2），
【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF；
（2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，平分，
∴，
∵，
∴ ，
∴是等边三角形，
∴；
（2）过点作，，
∵平分，
∴，，
∵，
∴∠QPH＝60°，
∴，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
，
∵，，平分，
∴，
∴，＝，
∴＝，
∴四边形的面积＝＝
【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．（1）；（2）①的面积；②xy=12；③．
【分析】（1）连接、，利用ASA证出，从而得出的面积与四边形的面积相等，过点作于点，利用锐角三角函数求出OH即可求出△OBC的面积，从而得出结论；
（2）①根据等边三角形的性质可得，从而求出∠BOD，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OD和BD，从而求出结论；
②过点作于，于，根据相似三角形判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，然后根据三角形的面积公式即可求出结论；
③过点作交的延长线于，于，根据相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，分别求出OM和ON，再结合三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】解：（1）连接、
∵是等边三角形，
∴
∵是和的角平分线交点
∴
∴，
∴
∴
∴的面积与四边形的面积相等
过点作于点
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴四边形的面积为．
故答案为：．
（2）①∵是等边三角形，
∴
∵于点，
∴
∵，
∴，，
∴的面积
②过点作于，于．
由①得：，同理：
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴
∴
③
过点作交的延长线于，于．
∵，
∴
∴，
∵
∴，
∴
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
∴
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．
9．（1）OD+OE=OC；（2）仍然成立，理由见解析；（3）不成立，OE-OD=OC；（4）四边形CDOE的周长为(+1)OC，理由见解析．
【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同理OE=OC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论；
（4）同（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OC，进而可得结论．
【详解】：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=60°，
∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°，
在Rt△OCD中，OD=OC•cs30°=OC，
同理：OE=OC，
∴OD+OE=OC；
（2）（1）中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE，
∴OD+OE=OC；
（3）（1）中结论不成立，结论为：OE-OD=OC，
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG，
∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD，
∴OE-OD=OC．
（4）由（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OC
∴OD+OE+CD+CE=(+1)OC，
故四边形CDOE的周长为(+1)OC．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．