中考数学二轮复习数学模型-角平分线常见解题模型含解析答案

这是一份中考数学二轮复习数学模型-角平分线常见解题模型含解析答案，共8页。试卷主要包含了如图，已知，平分，，则等内容，欢迎下载使用。

数学模型-角平分线常见解题模型
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分，，若，则的度数为（  ）

A．
B．
C．
D．
2．如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（    ）

A．1° B．2° C．4° D．8°
3．如图，已知，平分，，则（  ）
  

A．105° B．120° C．130° D．150°
4．如图，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC，交AB 于 E，∠A=60º， ∠BDC=95º，则∠BED的度数是（     ）

A．35° B．70° C．110° D．130°
5．如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC=(　　)

A．105° B．115° C．125° D．135°
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有（　　）

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
7．长方形如图折叠，D点折叠到的位置，已知∠FC＝40°，则∠EFC＝（    ）

A．120° B．110° C．105° D．115°

评卷人
得分



二、填空题
8．如图，点O是直线AD上一点，射线OC，OE分别平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝28°，则∠BOE＝ ．

9．如图，直线 AB ，CD  相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分∠EOC ，则∠BOE= ．
  
10．如图，，OC是的平分线，是的平分线，是的平分线……是的平分线，则的度数为 ．

11．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC= ．
  
12．如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为 cm．

13．如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于 ．

14．如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点、过点作交边于点，把线段绕点旋转至（点与点对应），点落在线段上，若恰好平分，则的长为 ．

15．如图，如图， ，平分，直尺与垂直，则∠1等于 ．

16．如图，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF=13，PE=12，PF=5．点P到EF的距离为 ．

17．如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．

18．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则 度．

19．如图，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推，则的度数是 （用含与的代数式表示）．

20．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F= ．

21．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则 度．

22．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE = 度．

23．如图，将长方形纸片的沿折叠（点在上，不与点，重合），使点落在长方形内部点处，若平分，则的度数是 ．

24．把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，AD平分∠B′AC，则∠B′CD= ．

25．如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是 ．

26．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．
  
27．如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且在内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FE D′的度数为 (用含n的代数式表示)．
   
28．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．

29．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC边上有一点P（不与点B，C重合），I为△APC的内心，若∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，则m+n＝ ．


评卷人
得分



三、解答题
30．已知：直线，点P是直线BD上不与点B重合的一点，连接AP，．
（1）如图1，当点P在射线BD上时，若，，则___________．
（2）如图2，当点P在射线BE上时，若，求的度数；
（3）若点P是直线BD上不与点B重合的一点，当，，时，请直接用含的代数式表示的度数．










31．如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．

探究：
（1）观察“箭头四角形”，试探究与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
应用：
（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；
②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数；
拓展：
（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度．









32．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．









33．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．









34．如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D，连接DB，DC，过点D作DF⊥OC于点F.
(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；
(2)若∠BOC＝，则∠BDC＝ ；（直接写出结果）
(3)直接写出OB，OC，OF之间的数量关系.









35．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，设AD＝x，BC＝y且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的长．









36．如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E.求证：AB+AC=2AE.









37．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.

(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.








38．如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）.









39．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB
∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A
∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A
(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）









40．（1）如图（a），平分，平分.
①当时，求的度数.
②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论.
（2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.
  








41．(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；









42．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
（1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试证明∠BOC＝90°+
（2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（3）如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）









43．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求:∠DAC和∠BOA的度数．









44．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．









45．已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．









46．如图，AB是直径，分别过上点B,C的切线，且，连接AC．求的度数.









47．如图，在中，，点为上一点，以点为圆心，为半径的与相切于点，交的延长线于点．证明：∠AOE＝∠BAE．









48．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．
（1）求证：四边形ACBP是菱形；

（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．








49．已知：如图，、是的切线，切点分别是、，为上一点，过点作的切线，交、于、点，已知，求的周长．









50．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．
（1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；
（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．









51．已知：如图，PA,PB,DC分别切圆C于点A,B点．
（1）若，求；    
（2）若PA=10cm，求△PCD的周长．









52．已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D．
(1)若PA＝6，求△PCD的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠DOC．









53．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．









54．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠BAC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F．
（1）在图中找出与△ABD 全等的三角形，并说出全等的理由；
（2）说明BD=2EC；
（3）如果AB=5，直接写出AD的长为 ．










参考答案：
1．C
【分析】由和射线OM平分，可求∠MOC=30°；再根据，即可求得∠CON．
【详解】解：∵，射线OM平分，
∴∠MOC=
∵
∴=∠MON-∠MOC=90°-30°=60°，故选：C
【点睛】本题考查了角平分线和角的和差的知识，正确运用角的和差是解答本题的关键．
2．C
【分析】根据角平分线定义求出∠AOA1=∠AOB=32°，同理即可求出答案．
【详解】∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，
∴∠AOA1=∠AOB=32°，
∵OA2平分∠AOA1，
∴∠AOA2=∠AOA1=16°，
同理∠AOA3=8°，
∠AOA4=4°，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的应用，掌握角平分线的定义是关键．
3．B
【分析】本题主要利用邻补角互补，平行线性质及角平分线的性质进行做题．
【详解】∵∠CDE＝150°，
∴∠CDB＝180−∠CDE＝30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠C＝180°−60°＝120°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
4．C
【分析】由三角形的外角性质得出∠ABD=35°，由角平分线的定义求出∠ABC=2∠ABD=70°，再由平行线的性质得∠BED+∠ABC=180°，即可得出结果．
【详解】∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=95°−60°=35°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD=70°，
∵DE∥BC，
∴∠BED+∠ABC=180°，
∴∠BED=180°−70°=110°．
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，平行线的性质以及角平分线的定义，掌握三角形的外角的性质定理，是解题的关键．
5．B
【分析】根据四边形的内角和及角平分线的定义解答即可.
【详解】∵∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°，∠A=140°，∠D=90°
∴∠ABC+∠BCD=130°
∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCD
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠BCD）=65°
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°
故选B
【点睛】本题考查的是四边形的内角和及角平分线，掌握四边形的内角和是360°及角平分线的定义是关键.
6．C
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，再根据等角对等边即得BE＝EG，GF＝CF，进而可对①进行判断；根据角平分线的定义和三角形的内角和即可对②进行判断；过点G作GM⊥AB于点M，作GH⊥BC于点H，如图1，根据角平分线的性质即可对③进行判断；连接AG，如图2，则AEF的面积=AEG的面积+AFG的面积，再根据题意和③的结论即可对④进行判断．
【详解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，
∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，
∴BE＝EG，GF＝CF，
∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确；
③过点G作GM⊥AB于点M，作GH⊥BC于点H，如图1，
∵GB和GC是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴GM=GH，GD=GH，
∴GM=GH=GD，
即点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；

④连接AG，如图2，∵GD＝m，AE+AF＝n，

则由③知：GM=GD=m，
∴S△AEF＝AE•GM+AF•GD＝（AE+AF）•m＝nm，故本小题错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理和角平分线的性质，属于基础题型，熟练掌握角平分线的性质等基本知识是解题关键．
7．B
【分析】根据翻折不变性可知，∠DFE=∠D′FE，又因为∠D′FC=40°，根据平角的定义，可求出∠EFC的度数．
【详解】根据翻折不变性得出，∠DFE=∠EFD′，
∵∠D′FC=40°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC=180°，
∴2∠EFD′=180°-40°=140°，
∴∠EFD′=70°，
∴∠EFC=∠EFD′+∠D′FC=70°+40°=110°．
故选B．
【点睛】此题考查了角的计算和翻折变化，掌握长方形的性质和翻折不变性是解题的关键．
8．62°
【分析】先求出∠AOB的度数，然后根据两角互补和是180°求出∠BOD的度数，再利用角平分线的定义求出所求角的度数．
【详解】解：由题意知：∠AOB＝2∠AOC＝56°
∵∠AOB+∠BOD＝180°
∴∠BOD＝180°﹣56°＝124°
∴∠BOE＝∠BOD＝62°
故答案为62°
【点睛】点O是直线AD上一点表明∠AOD是平角，这是本题的关键
9．140°
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE=80°，∠EOD=100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC=∠BOD，进而得出答案．
【详解】∵∠EOC：∠EOD=4：5，
∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x，
故4x+5x=180°，
解得：x=20°，
可得：∠COE=80°，∠EOD=100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=40°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=140°．
故答案为140°.
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键.
10．
【分析】首先利用角平分线的性质求出的角度，然后根据规律即可得出答案．
【详解】∵，OC是的平分线，
．
同理，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，找到规律是解题的关键．
11．12
【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG=∠EGB，从而得到EB=EG，同理可得DF=DC，再根据EB+DC=EG+DF=ED+FG即可得答案．
【详解】∵BG平分∠EBC
∴∠EBG=∠GBC
∵ED∥BC
∴∠EGB=∠GBC
∴∠EBG=∠EGB
∴EB=EG
同理可得DF=DC
∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12
故答案为：12．
【点睛】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
12．1
【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3cm，
同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，
则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．
13．13
【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.
【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，
由∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，
∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，
∴DO=DB，EO=EC，·
又∵AB=5，AC=8，
∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．
14．4
【分析】因为PQ∥AC，可得tan∠QPB＝tan∠ACB＝，设QB＝4x，BP＝3x，则QP＝5x，PE＝PB＝3x，QE＝5x−3x＝2x，因为AE恰好平分∠BAC，可得∠CAE＝∠QAE＝∠QEA，所以AQ＝QE＝2x，AB＝AQ＋QB＝2x＋4x＝6x＝8，解得x的值，即可得出BP的长．
【详解】解：如图，

∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，
∴tan∠ACB＝＝，
∵PQ∥AC，
∴∠QPB＝∠ACB，
∴tan∠QPB＝tan∠ACB＝，
设QB＝4x，BP＝3x，
则QP＝5x，
∵把线段PB绕点P旋转至PE（点B与点E对应），点E落在线段PQ上，
∴PE＝PB＝3x，QE＝5x−3x＝2x，
∵AE恰好平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠QAE，
∵PQ∥AC，
∴∠QEA＝∠CAE，
∴∠QEA＝∠QAE，
∴AQ＝QE＝2x，
∴AB＝AQ＋QB＝2x＋4x＝6x＝8，
∴BP＝3x＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查图形旋转的性质，锐角三角函数的定义，平行线的性质和角平分线的定义，等腰三角形的判定．解题的关键是掌握图形旋转的性质．
15．
【分析】由平行线的性质和对顶角相等得出∠1＝∠2＝∠3，由角平分线的定义求出∠AOC＝∠AOB＝20°，由直角三角形的性质求出∠3＝70°，即可得出∠1的度数．
【详解】如图所示：根据题意得：∠1＝∠2＝∠3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠AOB＝20°，
∴∠3＝90°−20°＝70°，
∴∠1＝70°．
故答案为：70°．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠1＝∠3是解决问题的关键．
16．
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义, 即可得到三角形PEF为直角三角形, 利用面积法即可求出P到EF的距离.
【详解】解：如图
PE平分∠BEF,PF平分∠DFE,
∠1=∠BEF, ∠2=∠EFD ,
AB//CD,
∠BEF+∠EFD=,∠1+∠2=,即∠P=90,
ΔPEF为直角三角形,EF=13, PE=12, PF=5,
设P到EF的距离为d,根据面积法得:
PEPF =EFd，
d=，
故答案为:
【点睛】本题主要角平分线的性质、平行线的性质及三角形的面积公式.
17．67°．
【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形内角和计算∠AEC的度数．
【详解】解：∵∠B＝46°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，
∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，
∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，
∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．
故答案为：67°．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键．
18．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1＝∠A，进而可求∠A1，由于∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推可知∠A2016＝∠A．
【详解】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1＋∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD−∠ABC），
∵∠A＋∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD−∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∠A2＝∠A1＝∠A，…，
以此类推可知∠A2016＝∠A＝度．．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1＝∠A，并能找出规律．
19．
【分析】由∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，而P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，于是有∠A＝2∠P1，同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，因此找出规律．
【详解】∵P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，
而∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，
∴∠A＝2∠P1，
∴∠P1＝∠A，
同理可得∠P1＝2∠P2，
即∠A＝22∠P2，
∴∠A＝2n∠Pn，
∴∠Pn＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．
20．15°/15度
【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E．
【详解】解：如图：

∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°，
∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，
∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，
∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，
∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，
即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，
∴2∠F=∠E，
∴∠F=∠E=×30°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180°．
21．5
【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求出的度数，然后利用求解即可．
【详解】，
．
平分，
．
，
．
，
，
．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义和直角三角形两锐角互余，掌握这些定义和性质是解题的关键．
22．10
【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可
【详解】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10°
【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度
23．90°
【分析】由折叠的性质可知∠CFG=∠EFG=∠CFE，根据角平分线的性质可知∠HFE=∠BFE，即可得出结果．
【详解】解：∵由折叠的性质可知：△GCF≌△GEF，
∴∠CFG=∠EFG=∠CFE，
∵FH平分∠BFE，
∴∠HFE=∠BFE，
∴∠GFH=∠GFE+∠HFE=（∠CFE+∠BFE）=×180°=90°，
故答案为：90°
【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、角平分线的定义以及角的计算，掌握以上知识点是解题的关键．
24．30°
【分析】首先根据折叠性质可知∠BAC=∠，∠B=∠，再利用角平分线性质结合矩形性质得出∠DAC=30°，从而求出∠=30°，最后根据等角的余角相等进一步求出答案即可.
【详解】根据折叠性质可得：∠BAC=∠，∠B=∠，
∵AD平分∠，
∴∠=2∠DAC，∠=∠DAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠BAC+∠DAC=90°，
∴3∠DAC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠=30°，
又根据长方形性质可得：∠B=∠D=90°，
∴∠=∠D=90°，
∵等角的余角相等，
∴∠=∠=30°，
故答案为：30°.
【点睛】本题主要考查了折叠的性质与角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
25．55°
【详解】


, , .
26．105°
【详解】由图a知，∠EFC=155°.
图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°.
图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°.
故答案为105°.
点睛：在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在.
27．
【分析】先根据角之间的关系表示出∠AEA′+∠DED′，再由折叠的性质得到∠A′EF+∠D′EG，然后根据∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′可表示出∠FEG，最后利用角平分线的性质求出∠FED′即可.
【详解】解：∵∠AEA′+∠DED′－∠A′ED′=180°，∠A′ED′=n°，
∴∠AEA′+∠DED′=180°+n°，
由折叠的性质可知，∠AEA′=2∠A′EF，∠DED′=2∠D′EG，
∴∠A′EF+∠D′EG=，
∴∠FEG=∠A′EF+∠D′EG－∠A′ED′==，
∵ED′平分∠FEG，
∴∠FED′=∠FEG=.
【点睛】本题考查与折叠、角平分线有关的角度问题，明确折叠的性质，正确找出角与角之间的关系是解题的关键.
28．42
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．
【详解】如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝4，
∵的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，
∴


＝42，
故答案为：42．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
29．255．
【分析】I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，利用三角形内角和等于180°及角平分线定义，即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可．
【详解】解：设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA，
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（90°﹣α+60°）
＝α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150．
∴m+n＝255，
故答案为：255．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线定义等，熟练掌握内心的性质是解题的关键．
30．（1）30°；（2）40°；（3）．
【解析】（1）根据平行线的性质先求得∠CAB=60°，根据角平分线的定义可求∠MAN；
（2）根据平行线的性质先求得∠CAB=60°，根据三等分线的定义可求∠MAN；
（3）分两种情况讨论，仿照（1）、（2）根据n等分线的定义可求∠MAN．
【详解】（1）∵AC∥AD，∠ABD=120°，
∴∠BAC=180°-∠ABD=180°-120°=60°；
∵∠BAM=∠BAP，∠NAC=∠PAC，
∴∠PAM=∠BAP，∠NAP=∠PAC，
∴∠MAN=∠PAM+∠NAP=∠BAP+∠PAC=∠BAC=30°；
故答案为：30°．
（2）∵AC∥AD，∠ABD=120°，
∴∠BAC=180°-∠ABD=180°-120°=60°；
∵∠BAM=∠BAP，∠NAC=∠PAC，
∴∠PAM=∠PAB，∠PAN=∠PAC，
∴∠MAN＝∠PAN−∠PAM=∠PAC−∠PAB，
即∠MAN=(∠PAC−∠PAB) =∠BAC=×60°＝40°．
（3）当点P在射线BD上时，如图：

∵AC∥AD，∠ABD=，
∴∠BAC=180°-∠ABD=180°；
∵∠BAM=∠BAP，∠NAC=∠PAC，
∴∠PAM=∠BAP，∠NAP=∠PAC，
∴∠MAN=∠PAM+∠NAP=∠BAP+∠PAC=∠BAC=；
当点P在射线BE上时，如图：

∵AC∥AD，∠ABD=，
∴∠BAC=180°-∠ABD=180°；
∵∠BAM=∠BAP，∠NAC=∠PAC，
∴∠PAM=∠PAB，∠PAN=∠PAC，
∴∠MAN＝∠PAN−∠PAM=∠PAC−∠PAB，
即∠MAN=(∠PAC−∠PAB) =∠BAC=．
综上，．
【分析】考查了平行线的性质，熟练掌握等分线的定义、正确的识别图形是解题的关键．
31．（1），理由见详解；（2）①30；②；（3）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，，再根据等量代换即可得出答案；
（2）①根据（1）的结论可得，由此即可得出答案；
②先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得；
（3）先根据（1）的结论可得，再根据角2020等分线的定义可得，然后根据（1）的结论即可得．
【详解】（1），理由如下：
如图，延长BD交AC于点E，
由三角形的外角性质得：，，
则；

（2）①由题意得：，
由（1）可知，，
，
，
解得，
故答案为：30；
②由（1）可知，，
，，
，
解得，
、分别是、的2等分线（即角平分线），
，
，
又由（1）可知，，
即的度数为；
（3）由（1）可知，，
，
，
解得，
，分别是、的2020等分线（），
，
，
又由（1）可知，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义、角n等分线的定义等知识点，较难的是题（3），掌握理解角n等分线的定义是解题关键．
32．28°
【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．
【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．
33．（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．
（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG．理由如下：如图，

过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，
∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，
∴∠MCN=30°+30°=60°，
∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，

∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）．
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．
34．（1）120°；（2）180°－α；（3）OB＋OC＝2OF
【分析】(1)首先过点D作DE⊥OB于E，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由∠EOF+∠EDF=180゜，即可求得答案；
(2)由（1），可求得∠BDC的度数;
(3) OB＋OC＝OE＋OF＝2OF
【详解】解：(1)过点D作DE⊥OB，交OB延长线于点E，DF⊥OC于F，

∵OD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴△DEB≌△DFC（HL）
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠EOF+∠EDF=180゜，
∵∠BOC=60゜，
∴∠BDC=∠EDF=120゜．
（2）∵∠EOF+∠EDF=180゜，
∵∠BOC=α，
∴∠BDC=∠EDF=180゜-α．
故答案为：180゜-α．
（3）由（1）知OB＋OC＝OE＋OF＝2OF
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
35．7
【分析】由非负性可求AD＝3，BC＝4，如图，在AB上截取AH＝AD＝3，连接HE，由“SAS”可证△DAE≌△HAE，可得∠DEA＝∠AEH，由“ASA”可证△BEH≌△BEC，可得BH＝BC＝4，即可求解．
【详解】∵（x﹣3）2+|y﹣4|＝0，
∴x-3=0，y-4=0，
∴x＝3，y＝4，
∴AD＝3，BC＝4，
如图，在AB上截取AH＝AD＝3，连接HE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，∠EBC＝∠EBA＝∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEA+∠BEC＝90°，
∵∠DAE＝∠EAH，AD＝AH，AE＝AE，
∴△DAE≌△HAE（SAS）
∴∠DEA＝∠AEH，
∵∠AEH+∠BEH＝90°，∠DEA+∠BEC＝90°，
∴∠HEB＝∠CEB，且BE＝BE，∠CBE＝∠HBE，
∴△BEH≌△BEC（ASA）
∴BH＝BC＝4，
∴AB＝AH+BH＝7．

【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质.
36．详见解析
【分析】延长AE到M，使ME=AE，连接CM，求出AC=CM，求出DM=MC，即可得出答案．
【详解】延长AE到M，使ME=AE，连接CM，
则AM=2AE，
∵CE⊥AE，
∴AC=CM，
∴∠M=∠CAD=∠DAB，
∴AB∥MC，
∴∠B=∠MCD，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠ADB=∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MC=MD，
∴AM=2AE=AD+MD=AB+AC，
即AB+AC=2AE.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出DE=EC，有一定的难度．
37．（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．
【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．
（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．
【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
38．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）连接DF，证△FAE≌△OAE，推出AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，求出OD＝DF，求出BF＝DF，即可得出答案；
（2）在AD上截AM＝OF，连接OM，证△AMO≌△OFB，推出MO＝BF＝OD，求出DE＝ME，AD−OF＝DM＝2DE，即可证明．
【详解】证明：（1）连接DF，

∵OF⊥AD，
∴∠AEF＝∠AEO＝90°，
∵AD平分∠FAO，
∴∠FAE＝∠OAE，
在△FAE和△OAE中，
∴△FAE≌△OAE（ASA），
∴AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，
∵AD⊥OF，
∴FE＝OE，
∴DF＝DO，
∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠AFO＝∠AOF，
∴∠AFD＝∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝90°，AO＝BO，
∴∠B＝45°，
∴∠FDB＝∠AFO−∠B＝90°−45°＝45°＝∠B，
∴BF＝DF，
∴OD＝BF；
（2）解：在AD上截AM＝OF，连接OM，

∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB，
∴∠OAM＝22.5°，
∵OD＝DF，
∴∠DFO＝∠DOF，
∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF，
∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM，
在△AMO和△OFB中，
∴△AMO≌△OFB（SAS），
∴MO＝BF＝OD，
∵OF⊥AD，
∴DE＝ME，
∴AD−OF＝DM＝2DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
39．（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－；（3）拓展：结论
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；
（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；
（3）同（1）的求解思路．
【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A．
理由如下：如图，

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A，
即∠BOC=∠A；
（2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
=180°-（180°+∠A），
=90°-∠A；
故答案为∠BOC=90°-∠A．
（3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D），
在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）=（∠A+∠D）．
故答案为∠BOC=（∠A+∠D）．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．
40．（1）①；②，证明见解析；（2）不正确，
【分析】（1）①首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求解即可；
②首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出 的度数，即可得出结论；
（2）首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据补角的定义求出，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出的度数，即可得出结论．
【详解】（1）①，
．
∵平分，平分，
，
；
（2）①，
．
∵平分，平分，
，
；
（2），
，
．
∵平分，平分，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
41．（1）125°；（2）∠BPC=90°﹣∠A，理由见解析；（3）∠BPC =180°﹣
【分析】（1）借助角平分线的性质即可得到∠PBC=∠ABC以及∠PCB=∠ACB，然后在△BPC中进一步分析可找出∠BPC与∠A的关系，进而求出∠BPC的度数；
（2）根据三角形内角和定理可知∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB），根据角平分线的定义可用（∠DBC+∠ECB）表示∠PBC+∠PCB，再利用三角形外角性质得到∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，即可求出∠BPC与∠A的关系；
（3）延长BA、CD相交于点Q，由（2）的分析可直接得出∠P与∠Q的关系，而∠BAD与∠CDA是△ADQ的外角，再结合三角形外角性质即可解答.
【详解】（1）解：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A
=90°+35°
=125°
故答案为125°
（2）∠BPC=90°﹣∠A
理由如下：
∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）
=180°﹣（∠DBC+∠ECB）
=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°﹣（∠A+180°）
=90°﹣∠A
（3）延长BA、CD相交于点Q，如图

∠BPC=90°﹣∠Q
∴∠Q=180°﹣2∠BPC
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠BPC =360°﹣2∠BPC
∴∠BPC =180°﹣
故答案为∠BPC =180°﹣
【点睛】本题考查的是三角形内角和与外角的知识，掌握三角形外角性质以及内角和定理是解题关键.
42．（1）见解析；（2）∠BOC=，理由见解析；（3）∠BOC=90°－
【分析】（1）利用△ABC和△BOC的内角和为180°进行角度转化可得结论；
（2）设∠ABO=x，∠ACO=y，利用△ABC和△OBC的内角和，可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得；
（3）设∠DBO=x，∠ECO=y，利用△ABC和△OBC的内角和，可得出2个关于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得．
【详解】（1）∵OB、OC分别时∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠ABO=2∠1，∠ACB=2∠2
在△ABC中，∠A+2∠1+2∠2=180°，化简得：∠A+2(∠1+∠2)=180°
在△BOC中，∠1+∠2+∠BOC=180°，化简得：∠1+∠2=180°－∠BOC，代入上式得：
∠A+2(180°－∠BOC)=180°
化简得：∠BOC=90°+
（2）设∠ABO=x，∠ACO=y
∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点
∴∠OBC=∠OBA=x，∠OCD=∠OCA=y，∠ACB=180°－2y
∴在△ABC中，∠A+2x+(180°－2y)=180°，化简得：∠A=2(y－x)
在△BOC中，x+∠BOC+(180°－2y+y)=180°，化简得：∠BOC=(y－x)
∴∠BOC=
（3）设∠DBO=x，∠ECO=y
同理，∠OBC=x，∠OCB=y，∠ABC=180°－2x，∠ACB=180°－2y
∴在△ABC中，∠A+(180°－2x)+ (180°－2y)=180°，化简得：2(x+y)－∠A=180°
在△OBC中，x+y+∠BOC=180°，化简得：x+y=180°－∠BOC，代入上式得：
∠A+2∠BOC=180°，即：∠BOC=90°－
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题关键是利用方程思想，结合三角形内角和关系转化为方程的形式求解．
43．∠DAC =20°，∠BOA =125°．
【分析】在Rt△ACD中，根据两锐角互余得出∠DAC度数；△ABC中由内角和定理得出∠ABC度数，继而根据AE，BF是角平分线可得∠BAO、∠ABO，最后在△ABO中根据内角和定理可得答案．
【详解】∵AD是BC上的高，
∴∠ADC=90°，
又∵∠C=70°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=20°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠C=60°，∠BAO=∠BAC=25°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC=30°，
∴∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠BAO=180°﹣30°﹣25°=125°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180°和三角形高线、角平分线的定义是解题的关键．
44．40°
【分析】根据切线长定理得等腰△PAB，运用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA=PB，∠PAC=90°，∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．
∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=70°，∴∠P=180°﹣70°×2=40°．
【点睛】本题考查了切线长定理和切线的性质，得出PA=PB是解题的关键．
45．(1)12;(2) 65°.
【分析】（1）根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；
（2）连接OE，根据切线的性质得出∠P+∠AOB=180°，由切线长定理得∠COD= ∠AOB，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．

【点睛】本题考查的知识点是切线的性质、切线长定理；解题关键是熟记运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
46．
【分析】首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】连接OC，

∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD＝∠OBD＝90°，
∵∠BDC＝110°，
∴∠BOC＝360°−∠OCD−∠BDC−∠OBD＝70°，
∴∠A＝∠BOC＝35°．
【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
47．证明见解析
【分析】连接OD，根据切线的性质得到AB⊥OD，推出BO为∠ABC的角平分线，得到∠ABE＝∠OBC，根据余角的性质得到∠OBC＝∠OAE，求得∠ABE＝∠OAE，于是得到结论．
【详解】证明：连接OD，
∵⊙O与AB相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥OC，
∵OC＝OD，
∴BO为∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠OBC，
∵AE⊥BO，
∴∠E＝90°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BOC＋∠OBC＝90°，
∵∠AOE＝∠BOC，
∴∠OBC＝∠OAE，
∴∠ABE＝∠OAE，
∵∠BAE＋∠ABE＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，
∴∠AOE＝∠BAE．

【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
48．（1）证明见解析；（2）菱形ACBP的面积=．
【分析】（1）连接AO，BO，根据PA、PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，由三角形的内角和得到∠AOP=60°，根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到结论；
（2）连接AB交PC于D，根据菱形的性质得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）连接AO，BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACO=∠APO，
∴AC=AP，
同理BC=PB，
∴AC=BC=BP=AP，
∴四边形ACBP是菱形；
（2）连接AB交PC于D，
∴AD⊥PC，
∴OA=1，∠AOP=60°，
∴AD=，
∴PD=，
∴PC=3，AB=，
∴菱形ACBP的面积=AB•PC=．

考点：切线的性质；菱形的判定与性质．
49．的周长是．
【分析】根据切线长定理得出PA＝PB，EB＝EQ，FQ＝FA，代入PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ＋PF即可求出答案．
【详解】∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，
∴PA＝PB＝12cm，
∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴△PEF的周长是：PE＋EF＋PF＝PE＋EQ＋FQ＋PF，
＝PE＋EB＋PF＋FA＝PB＋PA＝12＋12＝24，
答：△PEF的周长是24cm．
【点睛】本题主要考查对切线长定理的理解和掌握，能根据切线长定理得出PA＝PB、EB＝EQ、FQ＝FA是解此题的关键．
50．（1）=；（2）答案见解析；（3）圆外切四边形的对边之和相等；（4）4；10；12；6
【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；
（2）根据切线长定理即可得出结论；
（3）由（2）可得出答案；
（4）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，
∴猜想AB＋CD＝AD＋BC，
故答案为：＝．
（2）已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H，
求证：AD＋BC＝AB＋CD，

证明：∵AB，AD和⊙O相切，
∴AG＝AH，
同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH，
∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝AG＋BG＋CE＋DE＝AB＋CD，
即：圆外切四边形的对边和相等．
（3）由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等．
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
（4）∵相邻的三条边的比为2：5：6，
∴设此三边为2x，5x，6x，
根据圆外切四边形的性质得，第四边为2x＋6x−5x＝3x，
∵圆外切四边形的周长为32，
∴2x＋5x＋6x＋3x＝16x＝32，
∴x＝2，
∴此四边形的四边的长为2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6．
即此四边形各边的长为：4，10，12，6．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切四边形的性质，四边形的周长，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键．
51．（1）；（2）20cm
【分析】（1）连接OA、OE、OB，根据切线的性质可以得到：∠PAO＝∠PBO＝90°，则∠AOB的度数即可求解，然后利用切线长定理可以证得：∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝∠AOE＋∠BOE＝∠AOB，据此即可求解；
（2）利用切线长定理可以得到：CE＝CA，DE＝DB，PA＝PB，则△PCD的周长是：PC＋PD＋CD＝PC＋CE＋PD＋DB＝PC＋CA＋PD＋DB＝PA＋PB＝2PA，据此即可求解．
【详解】（1）连接OA、OE、OB．


∵PA，PB，分别切⊙O于A，B．
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°−∠P−∠PAO−∠PBO＝360°−40°−90°−90°＝140°．
∵CA、CE是圆的切线，
∴∠ACO＝∠ECO，∠OAC＝∠OEC＝90°，
∴∠AOC＝∠EOC＝∠AOE，
同理，∠EOD＝∠BOE，
∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝70°．
（2）∵PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，
∴CE＝CA，DE＝DB，PA＝PB．
∴△PCD的周长是：PC＋PD＋CD＝PC＋CE＋PD＋DB＝PC＋CA＋PD＋DB＝PA＋PB＝2PA＝2×10＝20cm．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及切线长定理，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
52．(1)△PCD的周长为12；(2)∠DOC＝65°.
【分析】(1) )连接OE，由切线长定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得△PCD的周长；（2）根据已知条件易求∠AOB＝130°；再证明Rt△AOC≌Rt△EOC，由全等三角形的性质可得∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝∠BOD，由此可得∠DOC＝∠AOB＝65°.
【详解】(1)连接OE，
∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB＝6.
同理可得：AC＝CE，BD＝DE.
∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝12.

(2)∵PA，PB与⊙O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.
在Rt△AOC和Rt△EOC中，

∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)．
∴∠AOC＝∠COE.
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠DOC＝∠AOB＝65°.
【点睛】本题考查了切线的性质定理及切线长定理，熟练运用切线的性质定理及切线长定理是解决问题的关键.
53．（1）BF＝10；（2）r=2．
【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．

【点睛】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
54．（1），见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）可利用ASA判断△ABD≌△ACF；
（2）根据（1）可得BD＝CF，证明△BFE≌△BCE，可得出EF＝CE＝CF，继而可得出结论；
（3）过D作DM⊥BC，设AD＝DM＝MC＝x，则可得DC＝x，根据AD＋DC＝AC＝AB＝5，可得关于x的方程，解出即可得出答案．
【详解】证明：（1）△ABD≌△ACF．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠FAC＝∠BAC＝90°，
∵BD⊥CE，∠BAC＝90°，
∴∠ADB＝∠EDC，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，
∵BD⊥CE，
∴∠BEF＝∠BEC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠FBE＝∠CBE，
∵在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝EC，
∴CF＝2CE，
∴BD＝2CE．
（3）过D作DM⊥BC，

设AD＝DM＝MC＝x，
则DC＝由AB＝AC＝AD＋DC可得：x＋x＝5，
解得：x＝5−5，
即如果AB＝5，则AD的长为5−5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意掌握全等三角形的判定定理及等量代换的应用．