沪教版数学八年级下册第21章代数方程（单元提升卷）含解析答案

第21章�代数方程（单元提升卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．下列方程中，有实数根的方程是（    ）

A． B． C． D．

2．下列方程中，有一个根是的方程是（    ）

A． B． C． D．

3．由于新冠肺炎得到了有效控制，省教育厅要求各学校做好复课准备．某校计划对学校60个相同大小的教室进行全面清扫和消毒，在实际进行消毒时，每天消毒的教室数量是原计划的倍，使得完成全部教室消毒的时间缩短了2天．设原计划每天可以清扫、消毒个教室，则下列符合题意的方程是（   ）

A． B．

C． D．

4．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，需要买礼品56件，则该兴趣小组的人数为（　　）

A．5人 B．6人 C．7人 D．8人

5．甲、乙两人骑自行车从相距60千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲从A地出发至2千米时，想起有东西忘在A地，即返回去取，又立即从A地向B地行进，甲、乙两人恰好在AB中点相遇，已知甲的速度比乙的速度每小时快2.5千米，求甲、乙两人的速度，设乙的速度是x千米/小时，所列方程正确的是（　　）

A． B． C． D．

6．某校九年级月份中考模拟总分分以上有人，同学们在老师们的高效复习指导下，复习效果显著，在月份中考模拟总分分以上人数比月份增长，且月份的分以上的人数按相同的百分率继续上升，则月份该校分以上的学生人数（     ）.

A．人 B．人

C．人 D．人

7．方程的根为        ．

8．如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为        m．

9．在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm，则根据题意可得方程     ．

10．若关于x的分式方程有增根，则         ．

11．若关于x的方程x3+36x+a＝0有一个根是﹣2，则66﹣a的值是      ．

12．国家实施“精准扶贫”政策以来，贫困地区经济快速发展，贫困人口大幅度减少．某地区2018年初有贫困人口4万人，通过社会各界的努力，2020年初贫困人口减少至1万人．则2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率是    ．

13．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有         ．

14．开学在即，由于新冠疫情学校决定共用6000元分两次购进口罩2200个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是         元．

15．方程的根为    ．

16．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为     米．

17．方程组的解是     ．

18．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为      ．

19．当k为何值时，方程+＝2有增根？

20．解方程组：．

21．阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．

问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），

解：设，则有，

原方程可化为：，

续解：

22．某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？

23．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．    

（1）若参加聚会的人数为6，则共握手 次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手 次；    

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；    

（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．

24．某校田径队的小明同学参加了两次有氧耐力训练，每一次训练内容都是在400米环形跑道上慢跑10圈．若第二次慢跑速度比第一次慢跑速度提高了20%，则第二次比第一次提前5分钟跑完．

（1）小勇同学一次有氧耐力训练慢跑是 　 　米；

（2）小勇同学两次慢跑的速度各是多少？

25．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．

26．随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省年公共充电桩的数量为万个，年公共充电桩的数量为万个．

（1）求年至年该省公共充电桩数量的年平均增长率；

（2）按照这样的增长速度，预计年该省将新增多少万个公共充电桩？

参考答案：

1．C

【分析】由无理方程、一元二次方程的解法，分别解各方程，即可得出答案．

【详解】解：A、由得：，

∵一个数的算术平方根不能为负数，

∴原方程无实数解，故A不符合题意；

B、由x2+1=0得：x2=-1，

∵一个数的平方不能为负数，

∴原方程无实数解，故B不符合题意；

C、由=x得x2-x=0，

解得x=0或x=1，

经检验，x=0或x=1均是原方程的根，

故C符合题意；

D、x2-x+1=0得判别式Δ=-3＜0，

∴x2-x+1=0无实数根，

故D不符合题意，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程、分式方程及无理方程的解，熟练应用相关方法进行求解是解决本题的关键，特别注意分式方程和无理方程都要检验．

2．B

【分析】解方程再检验，或把x=2代入选项中的每个方程，再逐个判断．

【详解】A.解方程，

方程两边都乘以x-2，得x=2，

检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2是增根，

即x=2不是原方程的解，故A选项不符合题意；

B.当x=2时，分母不等于0，

方程的左边=， 右边=0，

即左边=右边，

所以x=2是原方程的解，故本选项符合题意；

C．当x=2时，中x-3＜0，

所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意；

D．当x=2时，中x-6＜0，

所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了解分式方程和解无理方程，注意：解分式方程和解无理方程的过程中都必须进行检验．

3．D

【分析】设原计划每天可以清扫、消毒个教室，则实际每天清扫、消毒个教室，根据“实际消毒的天数比原计划少用2天”列出方程即可．

【详解】设原计划每天可以清扫、消毒个教室，则实际每天清扫、消毒个教室．

根据题意，得．

故选：D．

【点睛】此题考查了根据实际问题列分式方程，解答此题的关键是读懂题意，找出相等的数量关系．

4．D

【分析】设该小组有x人，每两个同学都相互赠送一件礼品，即一个人送出（x-1）件礼品，依次列方程解答即可．

【详解】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学送出（x﹣1）件礼品，

依题意得：x（x﹣1）＝56，

解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去），故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系式，列出方程，是解题关键.

5．D

【分析】乙的速度是x千米/小时，则甲的速度为（x+2.5）千米/小时，中点相遇，乙走30千米，甲走34千米，利用时间相等列出方程即可．

【详解】设乙的速度是x千米/小时，则甲的速度为（x+2.5）千米/小时，

中点相遇，乙走30千米，甲走34千米，

根据时间相等，得

，

故选D．

【点睛】本题考查了分式方程的应用题，正确理解题意，根据相遇时间相等列出方程是解题的关键．

6．B

【分析】根据题意首先求出4月份模拟考试总分在760分以上的人数，再根据5，6月份增长相同的百分率进行求解即可.

【详解】根据题意可知月份分以上的学生人数是：.

故选：B

【点睛】本题主要考查了增长率的问题，求解的关键是求出4月份模拟考试总分在760分以上的人数.

7．

【分析】此题需要把方程两边平方去根号后求解，然后把求出的结果进行检验即可．

【详解】解：方程两边平方得：3-x=4，

x=-1，

检验：当x=-1时，原方程左边=2，右边=2，

∴x=-1是原方程的根；

故答案为：x=-1．

【点睛】此题主要考查无理方程，在解无理方程最常用的办法利用平方转换为有理方程或者换元法解方程，此题用的是平方法，但要进行检验．

8．2

【分析】设小路的宽度为xm，则根据平移的性质得草坪是一个长为(24-2x)m，宽为(10-x)m的矩形，根据其面积为，可得方程，解方程即可．

【详解】设小路的宽度为xm，则由题意可得：(24-2x)×(10-x)=160

解方程，得：，

当时，10-x=-10<0，不合题意，舍去

所以

故答案为：2．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是利用平移性质，通过左右平移和上下平移，得到一个新的矩形，此时新矩形跟原矩形相比，长减小了两个路宽，宽减小了一个路宽，同时注意检验解的合理性．

9．.

【详解】试题解析：∵原计划用的时间为： 

实际用的时间为： 

∴可列方程为： 

故答案为

10．或

【分析】先确定最简公分母，令最简公分母为0求出x的值，然后把分式方程化为整式方程，再将x的值代入整式方程，解关于m的方程即可得解．

【详解】解：分式方程最简公分母为，

由分式方程有增根，得到或，即或，

分式方程去分母得：，

把代入方程得：，

解得：．

把代入方程得：，

解得：．

故填：或．

【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

11．

【分析】将x＝﹣2代入方程求出a值，再把a值代入原代数式求值．

【详解】解：∵关于x的方程x3+36x+a＝0有一个根是﹣2．

∴﹣8﹣72+a＝0．

∴a＝80．

∴66﹣a＝66﹣80＝﹣14．

故答案为：﹣14．

【点睛】本题考查方程解的含义，代数式求值．解答的关键是将x的值代入方程求出a值．

12．50%

【分析】设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据该地区2018年初及2020年初贫困人口的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，

依题意得：4（1﹣x）2=1，

解得：x1=0.5=50%，x2=1.5（不合题意，舍去）．

故答案为：50%．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

13．①③

【分析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，根据时间=路程÷速度及相同时间里面路程比等于速度比，即可得出关于x的分式方程，再对比四个选项后即可得出结论．

【详解】解：设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，

依题意得：①；③；④．

故其中正确的方程有①③．

故答案为：①③．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

14．

【分析】根据题意可知6000元分两次购进口罩，每次3000元；先设未知数第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.2x元，利用数量关系式：“总价÷单价=数量”分别求出两次的数量后加起来等于两次购买数量总和2200列出方程，再解方程．

【详解】解：设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.2x元，

依题意得：

解得：

经检验，是原方程的解，且符合题意．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用题，找出题目中的数量关系式“总价÷单价=数量”是解决问题的关键．

15．

【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再进行检验即可得出结果．

【详解】解：方程两边同时平方得：，

∴，

即，

∴x1=x2=1，

经检验，x=1是原方程的根，

故答案为：x=1．

【点睛】本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题的关键．

16．1

【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．

【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得：

（10﹣x）（15﹣x）＝126，

解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），

则道路的宽应为1米；

故答案为：1．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．

17．，

【详解】【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．

【详解】，

②+①得：x2+x=2，

解得：x=﹣2或1，

把x=﹣2代入①得：y=﹣2，

把x=1代入①得：y=1，

所以原方程组的解为，，

故答案为，．

【点睛】本题考查了解二元二次方程组，根据方程组的结构特点灵活选取合适的方法求解是关键.这里体现的消元与转化的数学思想.

18．15

【详解】显然x≠2017，由题意得：m=，令y=，则x=，

∴m= =，

∵m是正整数，y≥0，

∴y=1时，m=12，y=2时，m=3，

∴正整数m的所有取值的和为15，

故答案为15．

【点睛】本题考查了方程的整数解问题，解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解，令y=从而使得用x表示m的代数式不含根式是解题的关键.

19．

【分析】将分式方程去分母为：x﹣2﹣k＝2（x﹣3），若分式方程有增根，则x﹣3＝0，即x＝3，将x＝3代入整式方程即可求出结果．

【详解】解：分式方程变形得：﹣＝2，

去分母得：x﹣2﹣k＝2（x﹣3），

∵分式方程有增根，

∴x﹣3＝0，即x＝3，

把x＝3代入整式方程得： k＝1．

∴当k=1时，方程有增根．

【点睛】本题主要考查的是分式方程中增根的运算，掌握其运算方法是解题的关键．

20． 或 ．

【分析】利用代入消元法将方程①转化为关于y的一元二次方程，求解后则可分别求出x的值.

【详解】解：，

由②得，③，

　将③代入①，得，

即，

解得：或，

当时，，

当时，；

原方程组的解为 或 ．

【点睛】本题考查了二元二次方程组，掌握利用代入消元法进行求解是解题的关键．

21．，．

【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．

【详解】续解：，

，

解得，（不合题意，舍去），

，

，，

，

经检验都是方程的解．

【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．

22．实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．

【分析】设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．

【详解】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：

，

解得：x=45，

经检验，x=45是原分式方程的解，

则2x=2×45=90．

答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．

【点睛】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验．

23．（1）15，；（2）参加聚会的人数为9人；（3）线段数为

【分析】（1）根据题意，每个人要与他自己以外的人握手一次，当两人只握手一次，所以握手次数为：×聚会人数×（聚会人数－1），故可进行计算求解；

（2）根据（1）中的公式列一元二次方程，求解即可；

（3）线段AB上共有m个点，相当于聚会人数有个，则根据公式列方程求解即可．

【详解】解：（1）根据题意，每个人与他自己以外的人握手一次，当两人握手一次，总的握手次数为：×聚会人数×（聚会人数－1）

参加聚会的人数为6，则共握手次，

当聚会人数为n时，共握手次，

故答案为15，；

（2）由题意得：，

∴

解得：，（不合题意，舍去），

答：参加聚会的人数为9人．

（3）由线段AB上共有m个点（不含端点A、B），则相当于聚会人数为m+2，

∴线段数为．

【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解．

24．（1）4000；（2）小勇同学两次慢跑的速度各是米/分、160米/分．

【分析】（1）一次有氧耐力训练慢跑10圈，一圈400米，两数相乘即可求得答案．

（2）设出第一次慢跑的速度，接着表示出第二次的速度，分别求出两次所用时间，根据两次时间的关系，列出方程，并求出方程．

【详解】（1）解：小勇一圈跑400米，一共跑了10圈，共400×10=4000米．

（2）解：设第一次慢跑速度为每分钟米，由于第二次慢跑速度比第一次慢跑速度提高了20%，故第二次慢跑速度为每分钟米．

由题意可得：

解得：

经检验得：是原分式方程的解．

第一次慢跑速度为每分钟米，第二次慢跑速度为每分钟米．

答：小勇同学两次慢跑的速度各是米/分、160米/分．

【点睛】本题主要是考查了分式方程的实际应用，熟练根据等式关系列出分式方程，并求解分式方程，是解题的关键，但注意分式方程一定要验根．

25．30m，20m

【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．

【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，

根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，

整理，得x2﹣35x+300＝0，

解得x1＝15，x2＝20，

当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；

当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．

答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．

26．（1）；（2）万个

【分析】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，根据该省2018年及2020年公共充电桩的数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据该省2021年公共充电桩数量该省2020年公共充电桩数量增长率，即可求出结论．

【详解】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为．

（2）（万个）．

答：预计2021年该省将新增2.023万个公共充电桩．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．