广东省广州市第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案解析）

这是一份广东省广州市第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线的一个方向向量是（ ）
A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（1，2）D．（2，1）
2．（5分）方程+＝10的化简结果是（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
3．（5分）已知直线l1：2x﹣ay+1＝0和l2：（a﹣1）x﹣y+a＝0平行，则实数a＝（ ）
A．﹣1B．2C．﹣1或2D．1
4．（5分）已知A（1，﹣2，1），B（1，﹣5，4），C（2，3，4），则在上的投影向量为（ ）
A．（0，﹣1，1）B．（0，1，﹣1）C．D．
5．（5分）已知圆C1：x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0，圆C2：，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4B．C．2D．1
6．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，侧面A1ADD1是正方形，且∠A1AB＝120°，∠DAB＝60°，AB＝21D与CD1的交点，M是A1D1的中点，则MP＝（ ）
A．5B．7C．3D．
7．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0，则x﹣y的最大值是（ ）
A．1+B．4C．1+3D．7
8．（5分）椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F（c，0），Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则＝（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上。错选不得分，部分选对得2分，全选对得5分）
（多选）9．（5分）下列说法错误的是（ ）
A．“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要条件
B．直线xsinα+y+2＝0的倾斜角θ的取值范围是[0，]∪[，π）
C．过（x1，y1），（x2，y2）两点的所有直线的方程为＝
D．方程y＝k（x﹣2）与方程k＝表示同一条直线
（多选）10．（5分）设b为实数，已知圆x2+y2＝4，直线l：y＝x+b，圆x2+y2＝4上恰有3个点到直线l的距离等于1，则b的值可以为（ ）
A．B．1C．D．﹣1
（多选）11．（5分）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）12．（5分）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：的蒙日圆为C：x2+y2＝，过C上的动点M作Γ的两条切线，分别与C交于P、Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则（ ）
A．
B．△MPQ面积的最大值为
C．M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．（5分）若两条平行直线l1：x﹣2y+m＝0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6＝0之间的距离是，则m+n＝ ．
14．（5分）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 ．
15．（5分）已知P是椭圆＝1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若，则△F1PF2的面积为 ．
16．（5分）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A'，E和A，F，使A'A⊥a，且A'A⊥b已知A'E=3，AF＝4，EF＝7，，则线段AA'的长为 ．
四、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.）
17．（10分）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣4，0），B（0，2），C（2，﹣2），求：
（1）AB边中线所在的直线方程；
（2）△ABC的外接圆的方程．
18．（12分）四边形ABCD为菱形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AD=BD=ED=2，BF＝1．
（1）设BC中点为G，证明：DG⊥平面ADE；
（2）求平面AFE与平面BFC的夹角的大小．
19．（12分）△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
20．（12分）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了两个观测站A、B（点A在点O、点B之间），它们到平台O的距离分别为3海里和12海里，记海平面上到两观测站距离PA，PB之比为的点P的轨迹为曲线E，规定曲线E及其内部区域为安全预警区（如图）．
（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求曲线E的方程；
（2）某日在观测站B处发现，在该海上平台正南海里的C处，有一艘轮船正以每小时10海里的速度向北偏东30°方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入；如果进入，说明理由；则它在安全预警区中的航行时间是几小时．
21．（12分）已知椭圆E：的一个顶点为A（0，1），焦距为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P（0，﹣2）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，且|BC|＝，求k的值。
22．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB=4，EF∥AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=3．
（1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；
（2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．
2023-2024学年广东省广州四中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.
1．【答案】B
【解答】解：直线的斜率为，
则选项中（5，﹣1）是直线的一个方向向量．
故选：B．
2．【答案】C
【解答】解：方程+＝10表示（x，0），0）两点的距离和为10，所以点的轨迹是以（7，（﹣4，且a＝5，
所以b＝2，
所以椭圆方程为+＝1，
故选：C．
3．【答案】B
【解答】解：当l1：2x﹣ay+3＝0，l2：（a﹣7）x﹣y+a＝0不相交时，2×（﹣6）＝（﹣a）×（a﹣1），
解得a＝﹣1或a＝2，
当a＝﹣1时，l1：5x+y+1＝0，l8：﹣2x﹣y﹣1＝4，即2x+y+1＝6，不符合题意，
当a＝2时，l1：5x﹣2y+1＝4，l2：x﹣y+2＝6，两直线平行．
故选：B．
4．【答案】B
【解答】解：因为，，
所以，
因为，所以，
故在上的投影向量为．
故选：B．
5．【答案】C
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y8+4x﹣2y﹣6＝0，即（x+2）5+（y﹣1）2＝2，其圆心C1（﹣2，8）；
圆C1：x2+y4+4x﹣2y﹣4＝0，圆C2：，
可得x+y﹣3＝0，即两圆公共弦所在直线的方程为x+y﹣6＝0，
C1（﹣6，1）到公共弦的距离d＝，
则公共弦的弦长l＝2×＝2；
故公共弦的弦长为2．
故选：C．
6．【答案】D
【解答】解：∵AB＝AD＝AA1＝2，∠A7AB＝120°，∠DAB＝60°1AD＝90°，
∴＝2×8×，
•＝2×2×（﹣，
•＝6×2×0＝2，
而（+﹣）2＝3+2+3+2﹣2••
＝4+6+4+2×6﹣2×（﹣2）﹣2×0＝20，
又＝+＝+（+）＝（+﹣），
∴2＝（+﹣）2＝6，
∴||＝．
故选：D．
7．【答案】C
【解答】解：根据题意，x2+y2﹣3x﹣2y﹣4＝8，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝9，其几何意义是以（7，半径为3的圆，
设z＝x﹣y，变形可得x﹣y﹣z＝0，
直线y＝x﹣z与圆（x﹣3）2+（y﹣1）4＝9有公共点，则有，解可得4﹣3，
故x﹣y的最大值为1+3．
故选：C．
8．【答案】A
【解答】解：由题意，椭圆C的左顶点为A（﹣a，
因为点P，Q是椭圆C上关于y轴对称的两点，
可设P（x0，y0），则Q（﹣x7，y0），
所以，，
可得，
又因为，即，
代入可得，所以离心率为．
故选：A．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上。错选不得分，部分选对得2分，全选对得5分）
9．【答案】ACD
【解答】解：对于A：当a＝﹣1时，“直线a2x﹣y+6＝0与直线x﹣ay﹣2＝7互相垂直”，
当直线a2x﹣y+1＝2与直线x﹣ay﹣2＝0互相垂直时，a＝﹣2或a＝0，
故“a＝﹣1”是“直线a2x﹣y+1＝0与直线x﹣ay﹣4＝0互相垂直”的充分不必要条件，故A错误．
对于B：直线xsinα+y+2＝4的倾斜角θ，则tanθ＝﹣sinα∈[﹣1，
所以斜角θ的取值范围是[0，]∪[，故B正确；
对于C：过（x2，y1），（x2，y8）（且x1≠x2，y2≠y2）两点的所有直线的方程为＝，故C错误．
对于D：方程y＝k（x﹣2）表示经过定点（2，0）的直线（x≠5）表示的是除（2，故D错误．
故选：ACD．
10．【答案】BD
【解答】解：∵圆x2+y2＝5上恰有3个点到直线l的距离都等于1，
∴圆心（7，0）到直线l的距离等于半径的一半，
即＝1．
故选：BD．
11．【答案】AC
【解答】解：不存在m，n，使得不共面，
是空间的另一个基底，A正确．
不存在m，n，使得不共面，
是空间的另一个基底，C正确，
因为，所以，
不是空间的另一个基底，B错误．
因为，所以，
不是空间的另一个基底，D错误．
故选：AC．
12．【答案】ABD
【解答】解：依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，
则这两条垂线的交点在圆C上，所以，
得a6＝2b2，所以a＝b，故A正确；
对于B，因为点M，P，且∠PMQ＝90°，
所以PQ为圆C的直径，|，
所以△MPQ面积的最大值为，故B正确；
对于C，设M （x0，y0），Γ的左焦点为F （﹣c，连接MF，
因为c5＝a2﹣，
所以2＝，
，所以，
则M到Γ的左焦点的距离的最小值为a，故C不正确；
对于D，由直线PQ经过坐标原点，B关于原点对称，
设A（x1，y2），D（x2，y2），则B（﹣x4，﹣y1），
，，又，
所以，所以，
所以，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13．【答案】3
【解答】解：两条平行直线l1：x﹣2y+m＝6（m＞0）与l2：4x+ny﹣6＝0之间的距离是，
可得＝≠，可得n＝﹣5，
所以直线l2的方程：x﹣2y﹣8＝0，
由平行线间的距离公式可得d＝＝，
由题意可得，可得m＝7，
所以m+n＝4﹣4＝3，
故答案为：5．
14．【答案】x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．
【解答】解：圆x2+y2＝7的圆心坐标为O（0，0）6＝1，
圆（x﹣3）6+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4）2＝8，
如图：
∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知．
∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣，即3x+8y﹣4b＝0，
由，解得b＝，则l1：2x+4y﹣5＝6；
由图可知，l2：x＝﹣1；l6与l3关于直线y＝对称，
联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣7，），在l6上取一点（﹣1，0），
该点关于y＝的对称点为（x0，y6），则，解得对称点为（，﹣）．
∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．
∴与圆x4+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）6＝16都相切的一条直线的方程为：
x＝﹣1（填3x+3y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．
故答案为：x＝﹣1（填4x+4y﹣5＝4，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：已知P是椭圆＝1上的点，F1、F3分别是椭圆的左、右焦点，
则：|PF1|+|PF2|＝10，|F2F2|＝8
在△PF8F2中，利用余弦定理得：2|csθ
csθ＝
解得：
则：|PF1||PF2|＝12
故答案为：
16．【答案】或6．
【解答】解：由题意，得，因为A'E＝3，EF＝7，
所以＝49，
，
因为A'A⊥a，所以A'A⊥A'E，则，
因为异面直线a，b所成的角为，
当的夹角为时，，
所以，则，即，故；
当的夹角为时，，
所以，则，故；
综上：线段AA'的长为或6．
故答案为：或6．
．
四、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.）
17．【答案】（1）3x+4y+2＝0；
（2）△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y﹣8＝0．
【解答】解：（1）由A（﹣4，0），6），1），
所以AB边中线所在直线的方程为＝，
即3x+3y+2＝0；
（2）设△ABC的外接圆的方程为x7+y2+Dx+Ey+F＝0，
由，解之可得，
故△ABC的外接圆的方程为x5+y2+2x+2y﹣8＝0．
18．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【解答】解：（1）证明：四边形ABCD为菱形，且AD＝BD．
因为AD∥BC，所以DG⊥AD，
因为ED⊥平面ABCD，DGC平面ABCD．
又ED∩AD＝D，ED，
所以DG⊥平面ADE；
（2）设BD交AC于点O，取EF中点H，所以OH∥ED，
OH⊥底面ABCD．以O为原点，， 分别为x轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为AD＝BD＝ED＝2，所以 ，
所以 ，，B（8，1，F（0，6，D（0，0），﹣4，
所以 ，，1，﹣3），
设平面EFA的一个法向量为＝（x，y，
则，令 ，得，1，5），
，，8），
设平面BFC 的一个法向量为＝（a，b，
则，令 ，得，﹣6，
所以cs＜，
所以平面AFE与平面BFC的夹角的大小为 ．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC，
由正弦定理可得a2﹣b2﹣c8＝bc，
即为b2+c2﹣a6＝﹣bc，
由余弦定理可得csA＝＝﹣，
由0＜A＜π，可得A＝；
（2）由题意可得a＝3，
又B+C＝，可设B＝，C＝，﹣＜d＜，
由正弦定理可得＝＝＝2，
可得b＝2sin（，c＝2+d），
则△ABC周长为a+b+c＝3+2[sin（+d）]＝4+2（sind+sind），
＝3+8csd，
当d＝0，即B＝C＝时．
另解：a＝3，A＝2＝b3+c2﹣2bccsA，
∴8＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（b+c）2，
由b+c＞3，则b+c≤3，“＝”成立），
则△ABC周长的最大值为3+2．
20．【答案】（1）x2+y2＝36．（2）如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时间为1个小时．
【解答】解：（1）设P（x，y），0），0），且
即，
化简得x2+y3＝36．
（2）由题意，
∵轮船向北偏东30°方向航行，
∴轮船航行直线CD的倾斜角为60°，即直线CD的斜率为，
∴轮船航行直线CD方程：，
∵曲线E的方程为x2+y2＝36，圆心O（0，半径R＝6，
圆心O到直线CD的距离
如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，
直线CD被圆O截得的弦长，
∵轮船的速度V为每小时10海里，
∴它在安全预警区中的航行时间t＝，
故如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区．
21．【答案】（1）椭圆方程为．
（2）±1．
【解答】解：（1）由题意知，b＝1，所以a6＝b2+c2＝6，
所以椭圆方程为．
（2）过点P（0，﹣7）作斜率为k的直线方程为y＝kx﹣21，y4），C（x2，y2），
联立方程组得，，消去y得2）x4﹣16kx+12＝0，
Δ＝256k2﹣48（2+4k2）＝64k6﹣48＞0，
解得或，
由韦达定理得，，，
＝＝，
整理得68k4+8k2﹣77＝0，解得，k5＝1或（舍去），
所以k＝±2．
22．【答案】（1）证明见解答．
（2）．
【解答】解：（1）证明：因为点N为线段AD的中点，且EA＝ED，
所以AD⊥EN，
因为EF∥AB，且四边形ABCD为正方形，
所以AD⊥EF，而EN∩EF＝E，EF⊂平面EFN，
故AD⊥平面 EFN；
（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取AB，EF的中点为P，Q，S，
设点H为线段AD的中点，由（1）知E，F，H，且AD⊥平面EFH，
连接OS，OS⊂平面EFH，
又AD⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面EFHQ，
且平面ABCD∩平面EFHQ＝HQ，
由题意可知四边形EFQH为等腰梯形，故OS⊥HQ，
OS⊂平面EFHQ，故OS⊥平面ABCD，
故以O为坐标原点，为x，y，
因为AB＝4，则A（2，3），2，0），8，0），﹣2，
又AB＝7EF，故EF＝2，
设EF到底面ABCD的距离为h，
四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，
故E（0，﹣6，F（0，1，又EA＝ED＝FB＝FC＝5，
故，∴h＝2，﹣1，F（8，1，
，
设，∴，
设平面 BFN 的一个法向量为，
则，令x＝2，∴，
设平面ADE的一个法向量为，
则，令c＝1，∴，
故，
令，则，
令，则，
令，则f（t）在，
故当时，，当时，，
故，
即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为．