第十九章一次函数数学活动导学案（人教版八下）

数学活动

                                ——一次函数的应用问题

一、导学

1.导入活动

我们知道，世界人口每年都在增加，滴水的水龙头每时每刻都在漏水.如果我们能写出世界人口y关于年份x的函数关系式，那我们可以近似求出未来某年的世界人口总数吗？同样如果我们能写出水龙头漏水量y关于漏水时间t的函数解析式，那我们可以估算水龙头一天的漏水量吗？今天，本节活动课我们就来探讨这两个问题.

2.活动目标

（1）能根据两个变量的部分对应值建立一次函数模型——建模的思想方法.

（2）会用一次函数模型描述和研究时间问题的运动规律，对未来的情况作出估计.

（3）经历根据两个变量的部分对应数据建立函数模型的过程，体会建立函数模型过程中的归纳思想，数形结合思想，逐步培养理论联系实际，学以致用的能力.

3.活动重、难点

重点：根据两个变量部分对应值，建立一次函数模型，从而解决简单应用题.

难点：通过建立一次函数模型解决实际问题，从而体会建模思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力.

二、活动过程

活动1世界人口与年份的变化情况

1.活动指导

（1）活动内容：P105活动1：世界人口与年份的变化情况.

（2）活动时间：10分钟.

（3）活动方法：完成活动参考提纲.

（4）活动参考提纲：

①根据下表的数据，在直角坐标系中画出世界人口增长的曲线图.

②选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，写出它的函数表达式.

③按照这样的增长趋势，估计2020年的世界人口总数.

2.自学：同学参考活动指导进行活动性学习.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：了解学生绘制人口增长曲线图画得是否准确，能否建立一次函数模型，估计2020年的世界人口总数.

②差异指导：对学习有困难的学生或小组应及时给予指导，使活动顺利完成.

（2）生助生：学生之间相互交流与合作，倡导“兵教兵”.

4.强化：学会建立一次函数模型.如活动1，世界人口总数y就是年份x的一次函数.我们不妨设y=kx+b（k、b为常数，且k≠0)，根据表中的对应值可求出y=kx+b的解析式，然后把x=2020代入y=kx+b中就可以估计2020年的世界人口总数.

活动2水龙头漏水量与漏水时间的关系

1.活动指导

（1）活动内容：P105活动2：水龙头漏水量与漏水时间的关系.

（2）活动时间：10分钟.

（3）活动方法：完成活动参考提纲的问题.

（4）活动参考提纲：

①一个水龙头由于关闭不严会造成漏水，有人居然认为漏一点水没有什么大不了的，你认为呢？

②大家在课前进行了必要的数据收集，根据各人收集的结果填写下表：

③根据②中的表格数据，完成下列问题：

a.建立直角坐标系，以横轴表示时间t，纵轴表示漏水量w，描出以上实验所得的数据为坐标的各点，并观察它们的分布规律.

b.试写出w关于t的函数解析式.

c.根据b中的解析式估计漏水水龙头一天的漏水量.

2.自学：学生参考活动指导进行学习.

3.助学

（1）师助生：

①明了学情：明了学生在研究水龙头的漏水量与时间的关系时是否发现了它们的关系是一次函数关系.

②差异指导：指导学困生在描述漏水水龙头与时间的分布规律不是呈直线时，帮助他们找到原因，并重新描点作图观察.

（2）生助生：学生间开展合作交流活动.

4.强化

（1）检验得到的函数解析式是否符合实际意义.

（2）解决这个问题的步骤.

（3）我们的做法是：收集数据→画散点图→选择函数→求函数解析式（用待定系数法）→得出结论→检验.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课有什么收获？哪些问题仍未解决？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：从学生动手操作、观察归纳、回答问题等方面进行评价.

（2）纸笔评价：课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）.

本课时的两个数学活动与我们生活息息相关，通过这两个活动，让学生感受到数学在生活中的运用.师生共同收集数据，再画出散点图，然后选择函数类型并求出函数解析式.在活动过程中，鼓励学生多交流、合作，分享各自的活动经验，共同进步.

（时间：12分钟满分：100分）

一、基础巩固（60分）

1.（15分）在一次函数y=kx+b中，k,b满足的条件为（B）

A.k为正实数，b≠0     B.k≠0，b为任意实数     C.k，b为任意实数      D.k为任意实数，b≠0

2.（20分）某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为kg.

第2题图                                       第3题图

3.（25分）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，水费y（元）与月用水量x（吨）的函数关系如图.

（1）求当月用水量不超过5吨时，y与x之间的函数关系式；

（2）某居民某月用水量为18吨，求应付水费是多少？

解：（1）当月用水量不超过5吨时，由图象可设，y与x之间的函数关系式为y=kx（k≠0）.

∵函数图象过点（5,7.5）,

∴5k=7.5,解得k=1.5.

∴y与x之间的函数关系式为y=1.5x(0≤x≤5)；

（2）由图象可得，当x＞5时，y与x之间的关系式为y=2x-2.5，

∴当x=18时，y=2×18-2.5=33.5.

∴当月用水量为18吨时，应付水费33.5元.

二、综合应用（20分）

4.在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是30 cm、25 cm，从点燃到燃尽所用的时间分别是2 h、2.5 h；

（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；

（3）当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？

解：（2）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).

∵图象过点（0,30）和点（2,0），

∴  解得

∴y与x之间的函数关系式为y=-15x+30(0≤x≤2).

同理：乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为y=-10x+25(0≤x≤2.5).

（3）当两根蜡烛在燃烧过程中高度相等时，即求方程组的解，解得

∴当x=1时，甲、乙两根蜡烛的高度相等.

三、拓展延伸（20分）

5.小华受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如图所示的操作，请根据图中给的信息，解答下列问题：

­

（1）放入一个小球后，量筒中水面升高2cm；

（2）求放入小球后，量筒中水面的高度y(cm)与小球个数x（个）之间的一次函数关系式；

（3）量筒中至少放入几个小球才有水溢出？

解：（2）y与x之间的一次函数关系式为y=2x+30.

(3)求有水溢出即为求y＞49时，x的值.

即y=2x+30＞49,∴x＞9.5.

又∵x为正整数，

∴xmin=10.

∴量筒中至少放10个小球才有水溢出.