广东省汕头市潮南阳光实验学校2023-2024学年度上学期期中质量检测八年级数学试卷（Word版+图片版，含解析)

这是一份广东省汕头市潮南阳光实验学校2023-2024学年度上学期期中质量检测八年级数学试卷（Word版+图片版，含解析)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
2．如图，下列三角形中全等的是（ ）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
3．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ）
A．1080°B．540°C．2700°D．2160°
4．如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为( )
A．2B．3C．4D．6
5．如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝_____（ ）
A．180°B．360°C．540°D．不能确定
6.下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
7.如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
8. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角对应相等
B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和斜边对应相等
9．如图，直线AB//CD，直线AB，EG交于点F，直线CD，PM交于点N，∠FGH＝90°，∠CNP＝30°，∠EFA＝α，∠GHM＝β，∠HMN＝γ，则下列结论正确的是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝120°C．α+β﹣γ＝60°D．β+γ﹣α＝60°
10．如图，△ABC中，AB＝AC，且∠ABC＝60°，D为△ABC内一点 ，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连DE，CE. 下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC ；③∠DEB＝30°. 其中正确的是（ ）
A．①B．①③C．② D．①②③
二、填空题（每题4分，共28分）
11.若一个三角形的三边长分别为x，8，9，则x的取值范围是 ．
12.某校组织学生进行剪窗花活动，小华同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点A（﹣2，a）与点B（b，3）恰好关于y轴对称，则ab的值为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°， ∠ACB=30°，BD平分∠ABC，交 AC于点D，CD=4，则点 D到BC的距离是 ．
14．如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD，如果∠BAD＝80°，则∠CBD的度数为 ．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，ΔABC的面积是15cm2，AB=9cm，BC=6cm，则DE= .
16．已知等腰三角形ABC的周长为25，AB=10，则BC为 .
17.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 ．
三、解答题（每题6分，共18分）
18．如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知∠OAB=∠OBA，∠CBA=∠DAB．求证：
(1)△ABC≌△BAD；
(2)OC=OD．
19．尺规作图：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）作斜边AB上的高CD，垂足为D；
（2）作∠A的平分线AE交BC于E（不写作法，保留作图痕迹）．
20．如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线.
（1）若AE=6,则AC＝ ；
（2）若∠ABD=40º，∠ADB=70º，求∠BAC的度数.
四、解答题（每题8分，共24分）
21．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．小明发现，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，从而将问题解决（如图2）．
(1)求证：△ADC≌△A′DC；
(2)试猜想写出BC和AC、AD之间的数量关系，并给出证明．
22．如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A2,4,B3,1,C-2,2．

(1)请在平面直角坐标系内，画出△ABC关于y轴对称的图形，其中，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1；
(2)请写出A1,B1,C1的坐标分别是A1 ,B1 , C1 ；
(3)请写出点Ma,b关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点M1的坐标．
23．如图，在ΔABC中，AB=AC=20厘米，∠B=∠C，BC=16厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以6厘米/秒的速度由点向点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，ΔBPD与ΔCQP是否全等，请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点Q的运动速度为多少时，能够使ΔBPD与ΔCQP全等？
五、解答题（每题10分，共20分）
24. 已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
25．如图，在平面直角坐标系中，点B(-3,0)、A(-1,0)分别是x轴上两点，点P(0,h)是y轴正半轴上的动点，过点P作DP⊥PB,CP⊥PA，且PD=PB,PC=AP．
（1）如图1，连接AD、BC相交于点E，求证：△PCB≌△PAD；
（2）如图1，连接PE，求证：PE平分∠CED；
（3）如图2，连CD与y轴相交于点Q，当动点P在y轴正半轴上运动时，线段PQ的长度是否改变？如果不变，请求出其值；如果改变，请求出其变化范围．
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的定义逐一进行判断．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．A
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：根据“SAS”可判断图①的三角形与图②的三角形全等．
②③，③④，①④均不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识．
3. A
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．
【解答】解：多边形的边数是：360÷45＝8，
则多边形的内角和是：（8﹣2）×180＝1080°．
故答案为：A．
4．C
【分析】应用三角形中线平分面积的性质得结论．
【详解】∵AM和BN是中线，
∴S△BNC＝12S△ABC＝S△ABM，
即S△ABO＋S△BOM＝S△BOM＋S四边形MCNO，
∴S△ABO＝S四边形MCNO，
∵△ABO的面积为4，
∴四边形MCNO的面积为4；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是利用中线找出三角形面积关系．
5．B
【分析】分析图形，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知能把，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6全部转化到∠2，∠3所在的四边形中，利用四边形内角和为360度可得答案．
【详解】如图所示．
∵∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7．
又∵∠2+∠3+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系及四边形内角和定理，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和为360°．
6. A
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、BE是AC边上的高，符合题意；
B、BE不是AC边上的高，不符合题意；
C、BE不是AC边上的高，不符合题意；
D、BE不是AC边上的高，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
7. C
【分析】利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠1＝∠ACD，
∵∠2﹣∠ACD＝∠DCE＝90°，
∴∠2﹣∠1＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
8. A
【分析】根据SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；
B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．C
【分析】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM．
【详解】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S．
∵AB∥CD，
∴∠KSM=∠CNP=30°．
∵∠EFA=∠KFG=α，∠KGF=180°-∠FGH=90°，
∠SMH=180°-∠HMN=180°-γ，
∴∠SKH=∠KFG+∠KGF
=α+90°，
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM=360°，
∴∠GHM=360°-α-90°-180°+γ-30°，
∴α+β-γ=60°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角与内角的关系及多边形的内角和定理等知识点．利用平行线、延长线把分散的角集中在四边形中是解决本题的关键．
10．B
【分析】连接DC,证△ACD≅△BCD得出①∠DAC=∠DBC，再证△BED≅△BCD，得出∠BED=∠BCD=30°;其它两个条件运用假设成立推出答案即可.
【详解】解：证明：连接DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，
∵DB=DA，DC=DC，
在△ACD与△BCD中，AB=BCDB=DADC=DC ,
∴△ACD≌△BCD （SSS），
由此得出结论①正确；
∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=30°
∵BE=AB，
∴BE=BC，
∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，
在△BED与△BCD中，BE=BC∠DBE=∠DBCBD=BD,
∴△BED≌△BCD （SAS），
∴∠DEB=∠BCD=30°．
由此得出结论③正确；
∵EC∥AD，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，
∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，
∵BE=BA，
∴BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，
在△BCE中三角和为180°，
∴2∠1+2（60°+∠1）=180°
∴∠1=15°，
∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．
因此若要结论②正确，需要添加条件EC∥AD.
故答案为：B.
【点睛】本题考查的知识点主要是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过已知条件作出恰当的辅助线是解题的关键点.
11. 1＜x＜17
【分析】根据三角形的三边关系定理解答即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为x，8，9，
∴9﹣8＜x＜9+8，即1＜x＜17，
故答案为：1＜x＜17．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
12. 9
【分析】根据关于y轴的对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得出a，b的值，再代入要求的代数式求值即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，a）与点B（b，3）关于y轴对称，
∴﹣2+b＝0，a＝3，
∴b＝2，
∴ab＝32＝9．
故答案为：9．
【点评】此题主要是考查了关于对称轴的对称的点的坐标特征，能够熟记关于y对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是关键．
13．2
【分析】作DE⊥BC与BC相交于E，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE即可．
【详解】解：作DE⊥BC与BC相交于E，
∵∠ACB=30°,CD=4
∴DE=12CD=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查点到直线的距离，含30°角的直角三角形．理解点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题关键．
14．10°
【详解】试题分析：因为BAD＝80°，由翻折的性质可得∠BAC=∠DAC=40°，AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=50°，又因为AC=BC，所以∠CBA=∠CAB=40°，所以∠CBD=10°．
考点：折叠的性质 等腰三角形的性质
15．2cm
【分析】作DF⊥BC于F，设DE为x，根据角平分线的性质得到DE=DF=x，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可．
【详解】解：作DF⊥BC于F，
设DE为x，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=x，
∴12×AB×DE+12×BC×DF=15，即4.5x+3x=15，
解得x=2，
故答案为：2cm．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．10 或7.5或5
【分析】由于已知周长和一边，边是腰长和底边没有明确，因此需要分两种情况讨论．
【详解】解：当AB，BC为腰时，则AB=BC=10，底边AC为25-10-10=5，
5，10，10能组成三角形；
当AC，BC为腰时，则底边AB=4，腰长AC=BC=（25-10）÷2=7.5，
10，7.5，7.5能组成三角形，符合题意．
当AB，AC为腰时，则AB=AC=10，底边BC为25-10-10=5，
5，10，10能组成三角形；
综上所述，BC的长为10 或7.5或5，
故答案为10 或7.5或5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，以及分类思想的运用．分类讨论是解答本题的关键.
17. 92°
【分析】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B＝∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∵∠BAD＝28°，
∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°，
∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°．
故答案为：92°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DAB≌△EAC．
18．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理可直接证明；
（2）根据（1）中结论可得AC=BD，再由等角对等边得出OA=OB，运用等式的性质进行计算即可证明．
（1）解：在∆ABC与∆BAD中，
∠CAB=∠DBAAB=BA∠CBA=∠DAB，
∴∆ABC≅∆BAD(ASA)；
（2）
由（1）可得：∆ABC≅∆BAD，
∴AC=BD，
∵∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，
∴AC-OA=BD-OB，
即OC=OD．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
19．详见解析．
【详解】试题分析：（1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法作出即可；（2）利用角平分线的作法作出即可．
试题解析：解：（1）如图所示：CD即为所求；
（2）如图所示：AE即为所求．
考点：作图题．
20．（1）12；（2）∠BAC＝105°
【详解】试题分析：（1）由线段垂直平分线的性质可得：AE=CE，即可求得AC值；
（2）由线段垂直平分线的性质得DA＝DC，由等边对等角，得∠DAC＝∠C，由外角的性质，可求得∠C＝35°，再由三角形外角和定理可得∠BAC度数.
试题解析：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE=6，
∴AC=2AE=12；
故答案为12；
(2) ∵DE是AC的垂直平分线,
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
又∵∠ADB为△ADC的外角，
∴∠DAC＋∠C＝∠ADB=70º，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
在△ABC中，∠BAC＋∠ABD＋∠C＝180°.
∴∠BAC＝180°－∠ABD－∠C＝180°－40º－35°＝105°.
21．(1)见详解；
(2)BC= AC+AD，证明见详解．
【分析】（1）在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，根据CD平分∠ACB，得出∠ACD=∠BCD，利用SAS判定定理可证△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）利用直角三角形两锐角互余求出∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，根据（1）三角形全等△ADC≌△A′DC，得出∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，再证A′D=A′B即可．
【详解】（1）证明：在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△ACD和△A′DC中，
AC=A'C∠ACD=∠A'CDCD=CD，
∴△ADC≌△A′DC（SAS）；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°，
∵△ADC≌△A′DC，
∴∠A=∠CA′D=60°，AD=A′D，
∵∠CA′D是△A′DB的外角，
∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=60°-30°=30°，
∴∠A′DB=∠B=30°，
∴A′D=A′B，
∴AD=A′B，
∴BC=A′C+A′B=AC+AD．
【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，等腰三角形判定，线段和差，掌握三角形全等判定与性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，等腰三角形判定，线段和差是解题关键．
22．(1)见解析
(2)-2，4；-3，1；2，2
(3)M1-a+2，b
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）结合（1）所画的图形，即可得到答案；
（3）利用轴对称得出答案即可．
【详解】（1）解：先作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接，则△A1B1C1即为所求，如图所示：

（2）解：A1,B1,C1的坐标分别是A1-2,4，B1-3,1，C12,2．
故答案为：-2，4；-3，1；2，2．
（3）解：设点M1x,y，
∵直线n=1，且平行于y轴，Ma,b，
∴x+a2=1，y=b，
∴x=-a+2，
∴点Ma,b关于直线n对称的点M1的坐标为-a+2，b．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换，解题的关键是数形结合，作出对应点的位置．
23．(1)见解析；(2) vQ=7.5厘米/秒.
【分析】（1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；
【详解】
(1)当t=1时，BP=CQ=6×1=6(厘米)，
∵AB=20厘米，点D为AB的中点，
∴BD=10厘米.
又∵PC=BC-BP，BC=16厘米，
∴PC=16-6=10(厘米)，∴PC=BD.
在ΔBPD和ΔCQP中，
∵BD=PC，∠B=∠C，
BP=CQ，
∴ΔBPD≅ΔCQP（SAS）.
(2)∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ.
又∵ΔBPD≅ΔCPQ，
∠B=∠C，
∴BP=PC=8cm，CQ=BD=10cm，
∴点P，点Q运动的时间t=8÷6=43(秒)，
∴vQ=CQt=1043=7.5(厘米/秒).
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理.
24. 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．
25．（1）见解析；
（2）见解析；
（3）不变，1．
【分析】（1）根据题意直接证明即可；
（2）作PM⊥DA，PN⊥BC，运用角平分线的判定定理证明；
（3）通过“一线三垂直”模型，证得△SDQ≌△CTQ，进而结合边长数量关系求解．
【详解】（1）∵∠DPB=∠APC=90°，∴∠DPA=∠BAC，
在△PCB与△PAD中，
{PD=PB∠DPA=∠BACPC=AP
∴△PCB≌△PAD(SAS)
（2）如图，作PM⊥DA，PN⊥BC，则∠PMA=∠PNC=90°，
由△PCB≌△PAD，得∠PCN=∠PAM，
在△PMA与△PNC中，
{∠PMA=∠PNC∠PCN=∠PAMPA=PC
∴△PMA≌△PNC(AAS)，
∴PM=PN，
∴PE平分∠CED
（3）如图，作DS、CT分别垂直于y轴，垂足为S、T，
∵∠APO+∠TPC=90°，∠TPC+∠TCP=90°，
∴∠APO=∠PCT（余角的性质）
在△APO与△PCT中，
{∠POA=∠CTP∠APO=∠PCTPA=PC
∴△APO≌△PCT(AAS)，
∴OA=TP=1，PO=CT，
同理可证：△PBO≌△DPS，
∴OB=SP=3，ST=SP+PT=4，
∴ PO=SD，CT=SD，
在△SDQ与△CTQ中，
{∠CQT=∠SQD∠CTQ=∠DSQCT=SD
∴△SDQ≌△CTQ(AAS)
∴SQ=TQ=12ST=2，
∴PQ=QT-PT=1．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的判定定理及“三垂直”模型，熟练掌握基础概念并灵活运用模型进行推理论证是解决问题的关键．