福建省厦门外国语学校2024届高三上学期数学期中考试（附参考答案）

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数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，
用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案；在试卷上作答无效。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内
的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上
新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁和平整。
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．若集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．“，关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，且，则xy的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
5．将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D．
7．如图，平面四边形A､B､C､D，己知，，，，则A､B两点的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．为三个互异的正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．以下结论中，正确的是（ ）.
A. 若复数，则.
B. 若复数满足，则的最大值为3.
C．已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为
D. 五名学生按任意次序站成一排，则和站两端的概率为.
10．已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知当时，，则（ ）
A． B． C． D．
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为增函数
C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有5个实数解
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，则 .
14．已知，则的值为 ．
15．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的正弦值是（ ）

16．如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则 ，设数列，则的通项公式为 .
四、解答题（共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．函数.
(1)求函数在单调减区间；
(2)将的图象先向右平移个单位，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.当时，求的值域.
18．已知分别为内角的对边，是边的中点，，.
(1)求的值；(2)若的平分线交于点，求线段的长.
19．如图1，在中，，，，P是边的中点，现把沿折成如图2所示的三棱锥，使得.
(1)求证：平面⊥平面；(2)求二面角的余弦值.
20．已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项和；
21．已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
22．已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时， ，分别为函数的极大值点和极小值点，且，求t的取值范围．