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甘肃省定西市安定区等2地2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题
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这是一份甘肃省定西市安定区等2地2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题，文件包含第23章小结与复习上课课件pptx、第23章小结与复习教案doc、第23章旋转单元测试docx等3份课件配套教学资源，其中PPT共36页， 欢迎下载使用。
1．（3分）2022第十一届甘肃国际汽车交易会于6月在甘肃国际会展中心盛大启幕，百余款汽车品牌，千款车型集体亮相．下面是此次车展中的几个车标（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣y2﹣3＝0B．x2﹣x﹣3＝0
C．ax2﹣y﹣3＝0D．x2﹣y﹣3＝0
3．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，5）B．（﹣1，5）C．（1，3）D．（﹣1，3）
4．（3分）利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9
5．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分这条弦
B．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
C．弦的垂直平分线是圆的直径
D．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦
6．（3分）分式的值为0，则（ ）
A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝±2
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，当y＜0时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x1＜1或x2＞3
C．x1＜﹣1或x2＞3D．x＞2
8．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∠B＝60°，则点E与点C之间的距离为（ ）
A．12B．6C．6D．6
9．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），则可列方程为（ ）
A．x2+（x+6）2＝102B．x2+（x+6）2＝12
C．x2+（x﹣6）2＝102D．x2+（x﹣6）2＝12
10．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使
∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（ ）
A．AD的长B．AC的长C．BC的长D．CD的长
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若是二次函数，则k＝ ．
12．（3分）某地区2021年投入教育经费1000万元，至2023年三年总计投入教育经费3640万元，假设2021年至2023年该地区投入教育经费的平均增长率x相同 ．
13．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
14．（3分）如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC．若AB＝，BC＝1 ．
15．（3分）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为 ．
16．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为 ．
三、解答题（一）（共6小题，共32分）
17．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）（2x+1）2＝3（2x+1）．
18．（4分）已知二次函数图象与x轴交于点（2，0），（﹣1，0）与y轴交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式．
19．（5分）从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点M离墙1m．求水的落地点B与点O的距离．
20．（6分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（不写作法）；
（2）作出△ABC关于原点对称的△A2B2C2并写出点C2的坐标（不写作法）；
（3）求△A2B2C2的面积．
21．（6分）在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A→B，C→D，D→A的方向同时出发2）关于运动时间t（s）变化的函数关系式，并求运动几秒钟时
22．（6分）⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝16cm，CD＝30cm．求AB和CD之间的距离．
四、解答题（二）（共5个小题，共38分）
23．（6分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
24．（7分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
25．（8分）如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
26．（8分）1．如图所示，在△ABC中，以AB，连接FC，BH．
（1）利用旋转的观点，在此题中△AFC绕着点 旋转 度可得到△ ．
（2）CF与BH相等吗？请说明理由．
（3）CF 与BH垂直吗？请说明理由．
27．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，求出Q点的坐标；若不存在；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在；若没有，请说明理由．
2023-2024学年甘肃省定西市安定区等两地九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，请将正确答案的选项填入相应的括号内，每小题3分，共30分）
1．（3分）2022第十一届甘肃国际汽车交易会于6月在甘肃国际会展中心盛大启幕，百余款汽车品牌，千款车型集体亮相．下面是此次车展中的几个车标（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣y2﹣3＝0B．x2﹣x﹣3＝0
C．ax2﹣y﹣3＝0D．x2﹣y﹣3＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、x2﹣y2﹣7＝0是二元二次方程，不是一元二次方程；
B、是一元二次方程；
C、ax2﹣y﹣3＝7，含有两个未知数，故本选项不符合题意；
D、x2﹣y﹣3＝3是二元二次方程，不是一元二次方程．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
3．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，5）B．（﹣1，5）C．（1，3）D．（﹣1，3）
【分析】将题目中二次函数的解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：y＝﹣2x2+3x+3＝﹣2（x﹣7）2+5，
∴该函数的顶点坐标是（3，5），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（3分）利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9
【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．
【解答】解：x2+4x﹣7＝0，
x2+6x＝5，
x2+3x+4＝5+4，
（x+2）2＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分这条弦
B．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
C．弦的垂直平分线是圆的直径
D．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦
【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．
【解答】解：A、垂直于弦的直径平分这条弦，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，不符合题意；
C、弦的垂直平分线是直线，故本选项命题不正确；
D、平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）分式的值为0，则（ ）
A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝±2
【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣4＝6，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，当y＜0时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x1＜1或x2＞3
C．x1＜﹣1或x2＞3D．x＞2
【分析】依据题意，由抛物线对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴一交点为（3，0），从而另一交点为（﹣1，0），结合图象可得当y＜0时对应的自变量x的范围．
【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴一交点为（3，
∴另一交点为（﹣7，0）．
又抛物线开口向下，
∴当y＜0时对应的自变量x的范围x＜﹣8或x＞3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
8．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∠B＝60°，则点E与点C之间的距离为（ ）
A．12B．6C．6D．6
【分析】由旋转的性质可得DE＝BC＝12，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，由直角三角形的性质可得AB＝BC＝6，AC＝AB＝6，通过证明△ACE是等边三角形，可得AC＝AE＝EC＝6．
【解答】解：如图，连接EC，
∵将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，
∴DE＝BC＝12，AD＝AB，∠DAB＝∠EAC，
∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AB＝BC＝2AB＝6，
∵AD＝AB，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°＝∠EAC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝EC＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，求出AC的长是本题的关键．
9．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），则可列方程为（ ）
A．x2+（x+6）2＝102B．x2+（x+6）2＝12
C．x2+（x﹣6）2＝102D．x2+（x﹣6）2＝12
【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺
x2+（x+8）2＝102，
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，正确应用勾股定理是解题关键．
10．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使
∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（ ）
A．AD的长B．AC的长C．BC的长D．CD的长
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得出AC2+BC2＝AB2，结合AB＝AD+BD，AC＝b，BD＝BC＝a，即可得出AD2+2aAD＝b2，进而可得出AD的长是方程x2+2ax＝b2的一个正根．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝b，BD＝BC＝a，
∴b2+a2＝（AD+a）8＝AD2+2aAD+a8，
∴AD2+2aAD＝b3，
比较AD2+2aAD＝b5与方程x2+2ax＝b5可得AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理及各边的长找出AD2+2aAD＝b2是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若是二次函数，则k＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的定义得出k﹣1≠0且k2+1＝2，再求出答案即可．
【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴k﹣4≠0且k2+5＝2，
∴k≠1且k＝﹣8或1，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能根据二次函数的定义得出k﹣1≠0和k2+1＝2是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数．
12．（3分）某地区2021年投入教育经费1000万元，至2023年三年总计投入教育经费3640万元，假设2021年至2023年该地区投入教育经费的平均增长率x相同 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3640 ．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2022年要投入教育经费是1000（1+x）万元，在2023年的基础上再增长x，就是2023年的教育经费数额，即可列出方程即可．
【解答】解：设增长率为x，根据题意可得：1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3640，
故答案为：1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3640．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
13．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 y＝3（x﹣1）2﹣2 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知2向右平移1个单位，再向下平移6个单位2﹣2．
故答案为：y＝5（x﹣1）2﹣7．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14．（3分）如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC．若AB＝，BC＝1 3 ．
【分析】在Rt△ABC中，已知AB＝，BC＝1，运用勾股定理可求AC，再根据旋转的性质求EC，从而可求BE．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，
由勾股定理，得AC＝，
由旋转的性质可知，EC＝AC＝2，
∴BE＝EC+BC＝2+6＝3．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，旋转的性质．
15．（3分）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为 16cm ．
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C
∵CD＝4cm，OD＝10cm，
∴OC＝6cm，
又∵OB＝10cm，
∴Rt△BCO中，BC＝，
∴AB＝2BC＝16cm．
故答案为：16cm．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．
16．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为 y3＞y2＞y1 ．
【分析】对二次函数y＝3（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：在二次函数y＝3（x﹣1）5+k，对称轴x＝1，
在图象上的三点A（，y5），B（2，y2），C（﹣，y3），
||＜|2﹣1|＜||，
则y1、y8、y3的大小关系为y1＜y7＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
三、解答题（一）（共6小题，共32分）
17．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）（2x+1）2＝3（2x+1）．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝4，
（x﹣5）（x+3）＝6，
x﹣5＝0或x+5＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣3；
（2）（2x+1）2﹣6（2x+1）＝7，
（2x+1）（3x+1﹣3）＝4，
2x+1＝7或2x+1﹣4＝0，
所以x1＝﹣，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
18．（4分）已知二次函数图象与x轴交于点（2，0），（﹣1，0）与y轴交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式．
【分析】由题中给出的抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线的解析式为交点式即可．
【解答】解：因为二次函数图象与x轴交于点（2，0），4），
所以设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）（x+1），
将点（7，﹣2）代入函数解析式得，
a×（0﹣6）×（0+1）＝﹣7，
解得a＝1，
所以二次函数解析式为y＝（x﹣2）（x+8）．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，能根据所给条件设出合适的函数解析式是解题的关键．
19．（5分）从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点M离墙1m．求水的落地点B与点O的距离．
【分析】由待定系数法求出函数表达式，即可求解．
【解答】解：由题意得：A（0，10），），
设该抛物线的解析式为：y＝a（x﹣5）2+，
将A（7，10）代入，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）2+；
当y＝0时，﹣（x﹣3）2+＝3，
解得：x1＝3，x6＝﹣1，
∴OB＝3，
即水的落地点B与点O距离为8米．
【点评】此题考查了二次函数的应用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．
20．（6分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（不写作法）；
（2）作出△ABC关于原点对称的△A2B2C2并写出点C2的坐标（不写作法）；
（3）求△A2B2C2的面积．
【分析】（1）先利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）先利用关于原点对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
（3）长方形的面积﹣四个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作；
（2）如图，△A2B2C6为所作，点C2的坐标分别为（1，﹣8）．
（3）△A2B2C3的面积＝3×2﹣＝5﹣4＝2．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．（6分）在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A→B，C→D，D→A的方向同时出发2）关于运动时间t（s）变化的函数关系式，并求运动几秒钟时
【分析】根据题意和图形可以得到四边形EFGH的面积与运动时间t的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可解答本题．
【解答】解：设点E运动的时间为t秒，EFGH的面积为Scm2，则AE＝tcm，EB＝（6﹣t）cm，
则S＝42﹣t×7﹣18＝2（t﹣3）5+18≥18，
∴当t＝3秒时，S取得最小值2．
【点评】本题考查二次函数的最值、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（6分）⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝16cm，CD＝30cm．求AB和CD之间的距离．
【分析】根据题意画出符合的两种情况，连接OB、OD，过O作OE⊥AB于E，直线OE交CD于F，根据垂径定理求出DF和BE，根据勾股定理求出OE和OF，再求出答案即可．
【解答】解：有两种情况：①圆心O在弦AB和CD的同旁，如图1、OA，
过O作OE⊥AB于E，且直线OE交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴∠OFC＝90°，∠OEA＝90°，
∵OE⊥AB，OE过O，
∴AE＝BE＝AB＝8cm，
同理CF＝DF＝CD＝15cm，
由勾股定理得：OE＝＝＝15（cm），
OF＝＝＝8（cm），
∴EF＝OE﹣OF＝7cm；
②圆心O在弦AB和弦CD之间，如图3，
此时EF＝OE+OF＝23cm，
综上：AB和CD之间的距离为7cm或23cm．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
四、解答题（二）（共5个小题，共38分）
23．（6分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）直接把x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
【解答】解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣6＝0，
得：1+m+m﹣5＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×4×（m﹣2）＝m2﹣8m+8＝（m﹣2）8+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
24．（7分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得60（360﹣280）＝4800（元）．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，
由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，
解得：x1＝3，x2＝60．
∵有利于减少库存，
∴x＝60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润＝售价﹣进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
25．（8分）如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
【分析】（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，根据题意得到x（38+2﹣2x）＝150，解方程即可得到结论；
（2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得到函数关系y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，根据二次函数的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，
根据题意得，x（38+5﹣2x）＝150，
解得：x1＝15，x6＝5，
当x1＝15时，AD＝107＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去），
∴AB＝15；
（2）设仓库的面积为y平方米，
根据题意得，y＝x（38+2﹣5x）＝﹣2x2+40x＝﹣7（x﹣10）2+200，
∵a＝﹣2＜6，38+2﹣2×10＝20＜22，
∴当x＝10时，y最大值＝200，
答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
26．（8分）1．如图所示，在△ABC中，以AB，连接FC，BH．
（1）利用旋转的观点，在此题中△AFC绕着点 A 旋转 90 度可得到△ AHB ．
（2）CF与BH相等吗？请说明理由．
（3）CF 与BH垂直吗？请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AF＝AB，AC＝AH，得到∠FAC＝∠BAH＝90°+∠BAC，根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到AF＝AB，∠FAB＝90°，AH＝AC，∠HAC＝90°，求得∠FAC＝∠HAB，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）设AB，CF交于M，CF与BH交于N，根据全等三角形的性质得到∠CFA＝∠HBA，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）根据正方形的性质可得：AF＝AB，AC＝AH，
∠FAB＝∠CAH＝90°，
∴∠FAC＝∠BAH＝90°+∠BAC，
∴△FAC≌△BAH（SAS），
故△ABH可看作△AFC绕A点逆时针旋转90°得到．
故答案为：A，90；
（2）CF＝BH，
理由：在正方形ABDE中，AF＝AB，
又在正方形ACGH，AH＝AC，
∴∠FAB＝∠HAC＝90°，
∵∠FAC＝∠FAB+∠BAC，
∠HAB＝∠HAC+∠BAC，
∴∠FAC＝∠HAB，
在△FAC和△HAB中
∴△FAC≌△BAH（SAS），
∴FC＝HB；
（3）CF⊥BH，
理由：设AB，CF交于M，
由（2）知，△FAC≌△BAH），
∴∠CFA＝∠HBA，
∵∠AMF＝∠BMN，
∴∠BNM＝∠FAM＝90°，
∴CF⊥BH．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
27．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，求出Q点的坐标；若不存在；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在；若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）存在，设点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，0），2）代y＝﹣x2+bx+c中得
，
∴．
∴抛物线解析式为：y＝﹣x7﹣2x+3；
解法一、（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣6对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y＝﹣x2﹣8x+3，
∴C的坐标为：（0，6），
直线BC解析式为：y＝x+3，
Q点坐标即为，
解得，
∴Q（﹣4，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜6），
∵S△BPC＝S四边形BPCO﹣S△BOC＝S四边形BPCO﹣，
若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，
∴S四边形BPCO＝S△BPE+S直角梯形PEOC，
＝BE•PE+
＝（x+2）（﹣x2﹣2x+6）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+6）
＝，
当x＝﹣时，S四边形BPCO最大值＝，
∴S△BPC最大＝，
当x＝﹣时，﹣x2﹣2x+6＝，
∴点P坐标为（﹣，）．
或（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），0）两点，
∴y＝﹣（x﹣7）（x+3），即y＝﹣x2﹣6x+3；
解法二、（2）存在．
∵y＝﹣x2﹣8x+3，
∴对称轴为直线x＝﹣1，C的坐标为：（2，
∵A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，
∴直线BC解析式为：y＝x+3，
∴Q（﹣1，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（m，﹣m3﹣2m+3）（﹣4＜m＜0），
作PE⊥x轴交BC于F点，
∴F（m，m+3），
S△BPC＝S△PFB+S△PFC＝PF•BO，
∵PF＝﹣m2﹣8m+3﹣（m+3）＝﹣m7﹣3m，
BO＝3，
∴S△BPC＝（﹣m2﹣3m）×3＝﹣（m+）7+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S△BPC有最大值为，
∴点P坐标为（﹣，）．
【点评】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
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1．（3分）2022第十一届甘肃国际汽车交易会于6月在甘肃国际会展中心盛大启幕，百余款汽车品牌，千款车型集体亮相．下面是此次车展中的几个车标（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣y2﹣3＝0B．x2﹣x﹣3＝0
C．ax2﹣y﹣3＝0D．x2﹣y﹣3＝0
3．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，5）B．（﹣1，5）C．（1，3）D．（﹣1，3）
4．（3分）利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9
5．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分这条弦
B．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
C．弦的垂直平分线是圆的直径
D．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦
6．（3分）分式的值为0，则（ ）
A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝±2
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，当y＜0时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x1＜1或x2＞3
C．x1＜﹣1或x2＞3D．x＞2
8．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∠B＝60°，则点E与点C之间的距离为（ ）
A．12B．6C．6D．6
9．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），则可列方程为（ ）
A．x2+（x+6）2＝102B．x2+（x+6）2＝12
C．x2+（x﹣6）2＝102D．x2+（x﹣6）2＝12
10．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使
∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（ ）
A．AD的长B．AC的长C．BC的长D．CD的长
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若是二次函数，则k＝ ．
12．（3分）某地区2021年投入教育经费1000万元，至2023年三年总计投入教育经费3640万元，假设2021年至2023年该地区投入教育经费的平均增长率x相同 ．
13．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ．
14．（3分）如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC．若AB＝，BC＝1 ．
15．（3分）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为 ．
16．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为 ．
三、解答题（一）（共6小题，共32分）
17．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）（2x+1）2＝3（2x+1）．
18．（4分）已知二次函数图象与x轴交于点（2，0），（﹣1，0）与y轴交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式．
19．（5分）从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点M离墙1m．求水的落地点B与点O的距离．
20．（6分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（不写作法）；
（2）作出△ABC关于原点对称的△A2B2C2并写出点C2的坐标（不写作法）；
（3）求△A2B2C2的面积．
21．（6分）在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A→B，C→D，D→A的方向同时出发2）关于运动时间t（s）变化的函数关系式，并求运动几秒钟时
22．（6分）⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝16cm，CD＝30cm．求AB和CD之间的距离．
四、解答题（二）（共5个小题，共38分）
23．（6分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
24．（7分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
25．（8分）如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
26．（8分）1．如图所示，在△ABC中，以AB，连接FC，BH．
（1）利用旋转的观点，在此题中△AFC绕着点 旋转 度可得到△ ．
（2）CF与BH相等吗？请说明理由．
（3）CF 与BH垂直吗？请说明理由．
27．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，求出Q点的坐标；若不存在；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在；若没有，请说明理由．
2023-2024学年甘肃省定西市安定区等两地九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确答案，请将正确答案的选项填入相应的括号内，每小题3分，共30分）
1．（3分）2022第十一届甘肃国际汽车交易会于6月在甘肃国际会展中心盛大启幕，百余款汽车品牌，千款车型集体亮相．下面是此次车展中的几个车标（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣y2﹣3＝0B．x2﹣x﹣3＝0
C．ax2﹣y﹣3＝0D．x2﹣y﹣3＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、x2﹣y2﹣7＝0是二元二次方程，不是一元二次方程；
B、是一元二次方程；
C、ax2﹣y﹣3＝7，含有两个未知数，故本选项不符合题意；
D、x2﹣y﹣3＝3是二元二次方程，不是一元二次方程．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
3．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（1，5）B．（﹣1，5）C．（1，3）D．（﹣1，3）
【分析】将题目中二次函数的解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：y＝﹣2x2+3x+3＝﹣2（x﹣7）2+5，
∴该函数的顶点坐标是（3，5），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（3分）利用配方法解方程x2+4x﹣5＝0，经过配方，得到（ ）
A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+4）2＝9D．（x﹣4）2＝9
【分析】先移项，再配方，变形后即可得出选项．
【解答】解：x2+4x﹣7＝0，
x2+6x＝5，
x2+3x+4＝5+4，
（x+2）2＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分这条弦
B．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦
C．弦的垂直平分线是圆的直径
D．平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦
【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．
【解答】解：A、垂直于弦的直径平分这条弦，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，不符合题意；
C、弦的垂直平分线是直线，故本选项命题不正确；
D、平分弦所对的一条弧的直径垂直这条弦，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）分式的值为0，则（ ）
A．x＝0B．x＝﹣2C．x＝2D．x＝±2
【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣4＝6，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，当y＜0时，x的取值范围为（ ）
A．﹣1＜x＜3B．x1＜1或x2＞3
C．x1＜﹣1或x2＞3D．x＞2
【分析】依据题意，由抛物线对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴一交点为（3，0），从而另一交点为（﹣1，0），结合图象可得当y＜0时对应的自变量x的范围．
【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴一交点为（3，
∴另一交点为（﹣7，0）．
又抛物线开口向下，
∴当y＜0时对应的自变量x的范围x＜﹣8或x＞3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
8．（3分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，∠B＝60°，则点E与点C之间的距离为（ ）
A．12B．6C．6D．6
【分析】由旋转的性质可得DE＝BC＝12，AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC，由直角三角形的性质可得AB＝BC＝6，AC＝AB＝6，通过证明△ACE是等边三角形，可得AC＝AE＝EC＝6．
【解答】解：如图，连接EC，
∵将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE，
∴DE＝BC＝12，AD＝AB，∠DAB＝∠EAC，
∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AB＝BC＝2AB＝6，
∵AD＝AB，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°＝∠EAC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝EC＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，求出AC的长是本题的关键．
9．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），则可列方程为（ ）
A．x2+（x+6）2＝102B．x2+（x+6）2＝12
C．x2+（x﹣6）2＝102D．x2+（x﹣6）2＝12
【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
【解答】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺
x2+（x+8）2＝102，
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，正确应用勾股定理是解题关键．
10．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使
∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b（ ）
A．AD的长B．AC的长C．BC的长D．CD的长
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得出AC2+BC2＝AB2，结合AB＝AD+BD，AC＝b，BD＝BC＝a，即可得出AD2+2aAD＝b2，进而可得出AD的长是方程x2+2ax＝b2的一个正根．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝b，BD＝BC＝a，
∴b2+a2＝（AD+a）8＝AD2+2aAD+a8，
∴AD2+2aAD＝b3，
比较AD2+2aAD＝b5与方程x2+2ax＝b5可得AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理及各边的长找出AD2+2aAD＝b2是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若是二次函数，则k＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的定义得出k﹣1≠0且k2+1＝2，再求出答案即可．
【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴k﹣4≠0且k2+5＝2，
∴k≠1且k＝﹣8或1，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能根据二次函数的定义得出k﹣1≠0和k2+1＝2是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数．
12．（3分）某地区2021年投入教育经费1000万元，至2023年三年总计投入教育经费3640万元，假设2021年至2023年该地区投入教育经费的平均增长率x相同 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3640 ．
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2022年要投入教育经费是1000（1+x）万元，在2023年的基础上再增长x，就是2023年的教育经费数额，即可列出方程即可．
【解答】解：设增长率为x，根据题意可得：1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3640，
故答案为：1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3640．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
13．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 y＝3（x﹣1）2﹣2 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知2向右平移1个单位，再向下平移6个单位2﹣2．
故答案为：y＝5（x﹣1）2﹣7．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
14．（3分）如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC．若AB＝，BC＝1 3 ．
【分析】在Rt△ABC中，已知AB＝，BC＝1，运用勾股定理可求AC，再根据旋转的性质求EC，从而可求BE．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝，
由勾股定理，得AC＝，
由旋转的性质可知，EC＝AC＝2，
∴BE＝EC+BC＝2+6＝3．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，旋转的性质．
15．（3分）如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为 16cm ．
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C
∵CD＝4cm，OD＝10cm，
∴OC＝6cm，
又∵OB＝10cm，
∴Rt△BCO中，BC＝，
∴AB＝2BC＝16cm．
故答案为：16cm．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．
16．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为 y3＞y2＞y1 ．
【分析】对二次函数y＝3（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．
【解答】解：在二次函数y＝3（x﹣1）5+k，对称轴x＝1，
在图象上的三点A（，y5），B（2，y2），C（﹣，y3），
||＜|2﹣1|＜||，
则y1、y8、y3的大小关系为y1＜y7＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
三、解答题（一）（共6小题，共32分）
17．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）（2x+1）2＝3（2x+1）．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝4，
（x﹣5）（x+3）＝6，
x﹣5＝0或x+5＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣3；
（2）（2x+1）2﹣6（2x+1）＝7，
（2x+1）（3x+1﹣3）＝4，
2x+1＝7或2x+1﹣4＝0，
所以x1＝﹣，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．
18．（4分）已知二次函数图象与x轴交于点（2，0），（﹣1，0）与y轴交点是（0，﹣2），求这个二次函数的解析式．
【分析】由题中给出的抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线的解析式为交点式即可．
【解答】解：因为二次函数图象与x轴交于点（2，0），4），
所以设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）（x+1），
将点（7，﹣2）代入函数解析式得，
a×（0﹣6）×（0+1）＝﹣7，
解得a＝1，
所以二次函数解析式为y＝（x﹣2）（x+8）．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，能根据所给条件设出合适的函数解析式是解题的关键．
19．（5分）从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点M离墙1m．求水的落地点B与点O的距离．
【分析】由待定系数法求出函数表达式，即可求解．
【解答】解：由题意得：A（0，10），），
设该抛物线的解析式为：y＝a（x﹣5）2+，
将A（7，10）代入，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）2+；
当y＝0时，﹣（x﹣3）2+＝3，
解得：x1＝3，x6＝﹣1，
∴OB＝3，
即水的落地点B与点O距离为8米．
【点评】此题考查了二次函数的应用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．
20．（6分）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1（不写作法）；
（2）作出△ABC关于原点对称的△A2B2C2并写出点C2的坐标（不写作法）；
（3）求△A2B2C2的面积．
【分析】（1）先利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）先利用关于原点对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
（3）长方形的面积﹣四个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C6为所作；
（2）如图，△A2B2C6为所作，点C2的坐标分别为（1，﹣8）．
（3）△A2B2C3的面积＝3×2﹣＝5﹣4＝2．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．（6分）在边长为6cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A→B，C→D，D→A的方向同时出发2）关于运动时间t（s）变化的函数关系式，并求运动几秒钟时
【分析】根据题意和图形可以得到四边形EFGH的面积与运动时间t的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可解答本题．
【解答】解：设点E运动的时间为t秒，EFGH的面积为Scm2，则AE＝tcm，EB＝（6﹣t）cm，
则S＝42﹣t×7﹣18＝2（t﹣3）5+18≥18，
∴当t＝3秒时，S取得最小值2．
【点评】本题考查二次函数的最值、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（6分）⊙O的半径为17cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝16cm，CD＝30cm．求AB和CD之间的距离．
【分析】根据题意画出符合的两种情况，连接OB、OD，过O作OE⊥AB于E，直线OE交CD于F，根据垂径定理求出DF和BE，根据勾股定理求出OE和OF，再求出答案即可．
【解答】解：有两种情况：①圆心O在弦AB和CD的同旁，如图1、OA，
过O作OE⊥AB于E，且直线OE交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴∠OFC＝90°，∠OEA＝90°，
∵OE⊥AB，OE过O，
∴AE＝BE＝AB＝8cm，
同理CF＝DF＝CD＝15cm，
由勾股定理得：OE＝＝＝15（cm），
OF＝＝＝8（cm），
∴EF＝OE﹣OF＝7cm；
②圆心O在弦AB和弦CD之间，如图3，
此时EF＝OE+OF＝23cm，
综上：AB和CD之间的距离为7cm或23cm．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
四、解答题（二）（共5个小题，共38分）
23．（6分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）直接把x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0求出m的值；
（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
【解答】解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣6＝0，
得：1+m+m﹣5＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×4×（m﹣2）＝m2﹣8m+8＝（m﹣2）8+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
24．（7分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得60（360﹣280）＝4800（元）．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，
由题意，得（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，
解得：x1＝3，x2＝60．
∵有利于减少库存，
∴x＝60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润＝售价﹣进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
25．（8分）如图，要建一个矩形仓库ABCD，一边靠墙（墙长22m），现在可用的材料为38m长的木板．
（1）若仓库的面积为150平米，求AB．
（2）当仓库的面积最大时，求AB，并指出仓库的最大面积．
【分析】（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，根据题意得到x（38+2﹣2x）＝150，解方程即可得到结论；
（2）设仓库的最大面积为y平方米，根据题意得到函数关系y＝x（38+2﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，根据二次函数的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设AB的长为xm，则AD＝（38+2﹣2x）m，
根据题意得，x（38+5﹣2x）＝150，
解得：x1＝15，x6＝5，
当x1＝15时，AD＝107＝5时，AD＝30＞22（不合题意舍去），
∴AB＝15；
（2）设仓库的面积为y平方米，
根据题意得，y＝x（38+2﹣5x）＝﹣2x2+40x＝﹣7（x﹣10）2+200，
∵a＝﹣2＜6，38+2﹣2×10＝20＜22，
∴当x＝10时，y最大值＝200，
答：当AB＝10时，仓库的最大面积为200平方米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
26．（8分）1．如图所示，在△ABC中，以AB，连接FC，BH．
（1）利用旋转的观点，在此题中△AFC绕着点 A 旋转 90 度可得到△ AHB ．
（2）CF与BH相等吗？请说明理由．
（3）CF 与BH垂直吗？请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AF＝AB，AC＝AH，得到∠FAC＝∠BAH＝90°+∠BAC，根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到AF＝AB，∠FAB＝90°，AH＝AC，∠HAC＝90°，求得∠FAC＝∠HAB，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）设AB，CF交于M，CF与BH交于N，根据全等三角形的性质得到∠CFA＝∠HBA，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）根据正方形的性质可得：AF＝AB，AC＝AH，
∠FAB＝∠CAH＝90°，
∴∠FAC＝∠BAH＝90°+∠BAC，
∴△FAC≌△BAH（SAS），
故△ABH可看作△AFC绕A点逆时针旋转90°得到．
故答案为：A，90；
（2）CF＝BH，
理由：在正方形ABDE中，AF＝AB，
又在正方形ACGH，AH＝AC，
∴∠FAB＝∠HAC＝90°，
∵∠FAC＝∠FAB+∠BAC，
∠HAB＝∠HAC+∠BAC，
∴∠FAC＝∠HAB，
在△FAC和△HAB中
∴△FAC≌△BAH（SAS），
∴FC＝HB；
（3）CF⊥BH，
理由：设AB，CF交于M，
由（2）知，△FAC≌△BAH），
∴∠CFA＝∠HBA，
∵∠AMF＝∠BMN，
∴∠BNM＝∠FAM＝90°，
∴CF⊥BH．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
27．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，求出Q点的坐标；若不存在；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在；若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）存在，设点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（1，0），2）代y＝﹣x2+bx+c中得
，
∴．
∴抛物线解析式为：y＝﹣x7﹣2x+3；
解法一、（2）存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣6对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y＝﹣x2﹣8x+3，
∴C的坐标为：（0，6），
直线BC解析式为：y＝x+3，
Q点坐标即为，
解得，
∴Q（﹣4，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜6），
∵S△BPC＝S四边形BPCO﹣S△BOC＝S四边形BPCO﹣，
若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，
∴S四边形BPCO＝S△BPE+S直角梯形PEOC，
＝BE•PE+
＝（x+2）（﹣x2﹣2x+6）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+6）
＝，
当x＝﹣时，S四边形BPCO最大值＝，
∴S△BPC最大＝，
当x＝﹣时，﹣x2﹣2x+6＝，
∴点P坐标为（﹣，）．
或（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），0）两点，
∴y＝﹣（x﹣7）（x+3），即y＝﹣x2﹣6x+3；
解法二、（2）存在．
∵y＝﹣x2﹣8x+3，
∴对称轴为直线x＝﹣1，C的坐标为：（2，
∵A、B两点关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，
∴直线BC与x＝﹣1的交点即为Q点，
∴直线BC解析式为：y＝x+3，
∴Q（﹣1，2）；
（3）存在．
理由如下：设P点（m，﹣m3﹣2m+3）（﹣4＜m＜0），
作PE⊥x轴交BC于F点，
∴F（m，m+3），
S△BPC＝S△PFB+S△PFC＝PF•BO，
∵PF＝﹣m2﹣8m+3﹣（m+3）＝﹣m7﹣3m，
BO＝3，
∴S△BPC＝（﹣m2﹣3m）×3＝﹣（m+）7+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，S△BPC有最大值为，
∴点P坐标为（﹣，）．
【点评】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/11/6 13:50:57；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677
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