广东省东莞市可园中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省东莞市可园中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共10页。
A．赛艇B．电子竞技
C．体操D．柔术
2．（3分）点（﹣3，2）关于x轴的对称点是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
3．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，4cm，6cmB．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cmD．2cm，3cm，6cm
4．（3分）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠ABD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
5．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则BC的长是（ ）
A．6B．4C．3D．2
6．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72°B．65°C．50°D．36°
7．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．∠B＝∠EB．∠BCA＝∠FC．BC∥EFD．AD＝DC
8．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
9．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于“筝形”的结论正确的是（ ）
A．对角线AC、BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC、BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC，BD的乘积
10．（3分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③DA平分∠CDE；④∠BDE＝∠BAC；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC．其中结论正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．（3分）工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD两根木条），这样做根据的数学知识是 ．
12．（3分）一个五边形的内角和的度数为 °．
13．（3分）等腰三角形的一边为4，另一边为6，则这个三角形的周长为 ．
14．（3分）如图，D是BC的中点，E是AC的中点． S△ADE＝2，则S△ABC＝ ．
15．（3分）如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝ °．
16．（3分）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
17．（3分）如图，等腰△ABC的面积是12，AB＝AC，BC＝4，EF垂直平分AB，点D为BC的中点，点M为线段EF上一点，则△BDM的周长的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分69分）
18．（6分）一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．
19．（6分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作斜边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于D、E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE的周长．
21．（9分）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，
（1）求∠ACE的度数；
（2）求∠CDF的度数．
22．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）△ABC的面积为 ；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，三个顶点坐标分别A1，B1，C1；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标（保留痕迹）．
23．（9分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝50°，∠ABE＝30°，求∠AED的大小．
24．（12分）如图，∠BAC的角平分线与线段BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求证：AB﹣AC＝2BE．
25．（12分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：BE＝AD；
②求证：CF＝CH；
③判断FH与BD的位置关系，并证明．
广东省东莞市可园中学2023-2024学年八年级上学期数学期中试卷（答案）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）杭州亚运会将于2023年9月23日举行，下面是杭州亚运会比赛项目中几个项目的图标，其图案可看作轴对称图形的是（ ）
A．赛艇B．电子竞技
C．体操D．柔术
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．（3分）点（﹣3，2）关于x轴的对称点是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
【解答】解：点（﹣3，2）关于x轴的对称点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故选：A．
3．（3分）以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，4cm，6cmB．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cmD．2cm，3cm，6cm
【解答】解：A、2+4＝6，不能组成三角形；
B、4+6＝10＞8，能组成三角形；
C、6+7＝13＜14，不能够组成三角形；
D、2+3＝5＜6，不能组成三角形．
故选：B．
4．（3分）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠ABD等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A＝70°，∠C＝50°，
∴∠ABD＝∠A+∠C＝70°+50°＝120°．
故选：C．
5．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则BC的长是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，
∴BC＝2AB＝6，
故选：A．
6．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中线，则∠BAD的度数是（ ）
A．72°B．65°C．50°D．36°
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
7．（3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A．∠B＝∠EB．∠BCA＝∠FC．BC∥EFD．AD＝DC
【解答】解：A、由∠B＝∠E，根据AB＝DE，BC＝EF能推出△ABC≌△DEF，正确，符合题意；
B、∠BCA＝∠F，根据AB＝DE，BC＝EF和∠BCA＝∠F不能推出△ABC≌△DEF，错误，不符合题意；
C、由BC∥EF可得∠BCA＝∠EFD，根据AB＝DE，BC＝EF和∠BCA＝∠EFD，不能得出△ABC≌△DEF，错误，不符合题意；
D、根据AB＝DE，BC＝EF和AD＝DC不能推出△ABC≌△DEF，错误，不符合题意．
故选：A．
8．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，
故选：B．
9．（3分）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于“筝形”的结论正确的是（ ）
A．对角线AC、BD互相垂直平分
B．对角线BD平分∠ABC，∠ADC
C．直线AC、BD是筝形的两条对称轴
D．筝形的面积等于对角线AC，BD的乘积
【解答】解：∵AD＝CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上，
∵AB＝CB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴筝形的两条对角线互相垂直．故A选项错误；
在△ADB和△CDB中，
AD＝CD，AB＝CB，BD＝BD，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，
即对角线BD平分∠ABC，∠ADC，故B选项正确；
直线BD是筝形的对称轴，AC不是，故C选项错误；
筝形的面积＝S△ABD+S△ACD＝，即筝形的面积等于对角线AC，BD的乘积的一半，故D选项错误．
故选：B．
10．（3分）如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③DA平分∠CDE；④∠BDE＝∠BAC；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC．其中结论正确的个数有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED，①正确；
在Rt△ADE和Rt△ADC中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴∠ADE＝∠ADC，AE＝AC，
即AD平分∠CDE，③正确；
∵AE＝AC，
∴AB＝AE+BE＝AC+BE，②正确；
∵∠BDE+∠B＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，④正确；
∵S△ABD＝AB•DE，S△ACD＝AC•CD，
∵CD＝ED，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，⑤正确．
结论正确的个数有5个，
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
11．（3分）工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB、CD两根木条），这样做根据的数学知识是 三角形的稳定性 ．
【解答】解：这样做根据的数学知识是：三角形的稳定性．
12．（3分）一个五边形的内角和的度数为 540 °．
【解答】解：（5﹣2）•180°＝540°，
所以一个五边形的内角和的度数为540°．
故答案为：540．
13．（3分）等腰三角形的一边为4，另一边为6，则这个三角形的周长为 14或16 ．
【解答】解：①当腰长为4时，
则三角形的三边长为：4、4、6；
∵4+4＞6，
∴能构成三角形，
∴这个等腰三角形的腰长为4，则其周长＝6+4+4＝14；
②当腰长为6时，
则三角形的三边长为：4、6、6，
∵6+4＞6，
∴能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为6，则其周长＝6+6+4＝16，
综上所述，这个等腰三角形的周长为14或16，
故答案为：14或16．
14．（3分）如图，D是BC的中点，E是AC的中点． S△ADE＝2，则S△ABC＝ 8 ．
【解答】解：∵E是AC的中点，
∴S△ACD＝2S△ADE＝2×2＝4，
∵D是BC的中点，
∴S△ABC＝2S△ACD＝2×4＝8．
故答案为：8．
15．（3分）如图，直线m∥n，以直线m上的点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线m、n于点B，C，连接AB，BC．若∠1＝40°，则∠ABC＝ 70 °．
【解答】解：∵m∥n，
∴（∠1+∠2）+∠3＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝40°，
∴40°+2∠2＝180°，
解得∠2＝70°，
即∠ABC＝70°，
故答案为：70．
16．（3分）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 2 cm．
【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．
故答案为：2．
17．（3分）如图，等腰△ABC的面积是12，AB＝AC，BC＝4，EF垂直平分AB，点D为BC的中点，点M为线段EF上一点，则△BDM的周长的最小值为 8 ．
【解答】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4•AD＝12，
解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8，
故答案为：8．
三．解答题（共8小题，满分69分）
18．（6分）一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．
【解答】解：设该正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，
∴它的边数为（n﹣2）•180°+360°＝1620°，
解得：n＝9，
即该正多边形的边数为9，
则一个外角的度数为360°÷9＝40°，
即该正多边形的边数为9，一个外角的度数为40°．
19．（6分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
，
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作斜边AB的垂直平分线DE，分别交AB，BC于D、E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE的周长．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，
又∵AC＝6cm，CB＝8cm，
∴△ACE的周长＝6+8＝14（cm）．
21．（9分）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，
（1）求∠ACE的度数；
（2）求∠CDF的度数．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣72°＝68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝34°；
（2）∵∠CED＝∠A+∠ACE＝74°，
∴∠CDE＝90°，DF⊥CE，
∴∠CDF+∠ECD＝∠ECD+∠CED＝90°，
∴∠CDF＝74°．
22．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）△ABC的面积为 3.5 ；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，三个顶点坐标分别A1，B1，C1；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标（保留痕迹）．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝，
故答案为：3.5；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4），
故答案为：（﹣1，1），（﹣4，2），C1（﹣3，4）；
（3）如图所示：点P即为所求，点P的坐标为（2，0）．
23．（9分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝50°，∠ABE＝30°，求∠AED的大小．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴BD＝ED，
∴△DBE为等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝50°，∠ABE＝30°，
∴∠ABC＝2∠ABE＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∴∠AED＝70°．
24．（12分）如图，∠BAC的角平分线与线段BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）求证：AB﹣AC＝2BE．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵DG垂直平分BC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF；
（2）证明：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∵AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴AB﹣BE＝AC+CF，
即AB﹣AC＝2BE．
25．（12分）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：BE＝AD；
②求证：CF＝CH；
③判断FH与BD的位置关系，并证明．
【解答】证明：①∵△ABC与△ECD都为等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠HAC＝∠FBC，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACH＝60°，
在△ACH和△BCF中，
，
∴△ACH≌△BCF（AAS），
∴CF＝CH；
③FH∥BD，理由为：
∵CF＝CH，且∠FCH＝60°，
∴△CFH为等边三角形，
∴∠HFC＝∠ACB＝60°，
∴FH∥BD．