2024年高考数学第一轮复习精品导学案第38讲 复数（学生版）+教师版

这是一份2024年高考数学第一轮复习精品导学案第38讲 复数（学生版）+教师版，共2页。学案主要包含了2022年全国甲卷，2022年全国乙卷，2022年新高考1卷，2022年新高考2卷等内容，欢迎下载使用。

1、复数的有关概念
(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系
(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝eq \r(a2＋b2)．
(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则a1＝a2，b1＝b2．
(4)共轭复数：z＝a＋bi，z－＝a－bi；z与z－互为共轭复数．
2、 复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)
＝eq \f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．
3、复数的几何意义
(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．
4、 复数的几何表示
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
1、【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|iz+3z|=（ ）
A．45B．42C．25D．22
【答案】D
【解析】因为z=1+i，所以iz+3z=i1+i+31-i=2-2i，所以iz+3z=4+4=22．
故选：D.
2、【2022年全国甲卷】若z=-1+3i，则zzz-1=（ ）
A．-1+3iB．-1-3iC．-13+33iD．-13-33i
【答案】C
【解析】z=-1-3i,zz=(-1+3i)(-1-3i)=1+3=4.
zzz-1=-1+3i3=-13+33i
故选 ：C
3、【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（ ）
A．a=1,b=-1B．a=1,b=1C．a=-1,b=1D．a=-1,b=-1
【答案】A
【解析】因为a,b∈R，a+b+2ai=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=-1．
故选：A.
4、【2022年全国乙卷】已知z=1-2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a=1,b=-2B．a=-1,b=2C．a=1,b=2D．a=-1,b=-2
【答案】A
【解析】z=1+2i，z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i
由z+az+b=0,得1+a+b=02a-2=0,即a=1b=-2
故选:A
5、【2022年新高考1卷】若i(1-z)=1，则z+z=（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】D
【解析】由题设有1-z=1i=ii2=-i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1-i)=2，
故选：D
6、【2022年新高考2卷】(2+2i)(1-2i)=（ ）
A．-2+4iB．-2-4iC．6+2iD．6-2i
【答案】D
【解析】(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i，
故选：D.
7、（2021·全国高三专题练习（理））已知为虚数单位，且，复数满足，则复数对应点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，由题意知，则复数对应点的轨迹方程为.
故选：C．
8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））
已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】因为，所以，即．
故选：A．
9、（2023年全国新高考Ⅱ卷）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知复数（其中i为虚数单位，）在复平面内对应的点为，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．D．0
【答案】A
【解析】因为，
又因为复数在复平面内对应的点为，
所以，
解得
故选：A
2、（2022·河北张家口·高三期末）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
故选：A.
3、（2022·山东枣庄·高三期末）已知为虚数单位，则（ ）．
A．1B．C．ID．
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
4、（2022·山东德州·高三期末）已知复数z满足，其中为虛数单位，则复数z在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】，
则复数z在复平面内所对应的点坐标为，在第一象限.
故选：A
5、（2022·山东临沂·高三期末）已知复数，为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
.
故选：C
考向一 复数的有关概念
例1、已知复数z＝eq \f(m2－7m＋6,m2－1)＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：
(1) 实数；
(2) 虚数；
(3) 纯虚数．
【解析】：(1) 当z为实数时，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－5m－6＝0，,m2－1≠0.)) 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1或m＝6，,m≠±1，))
所以m＝6，即m＝6时，z为实数．
(2) 当z为虚数时，则有m2－5m－6≠0且eq \f(m2－7m＋6,m2－1)有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1．
∴ m≠±1且m≠6．所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3) 当z为纯虚数时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－5m－6≠0，,\f(m2－7m＋6,m2－1)＝0，))
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠－1且m≠6，,m＝6且m≠±1.))故不存在实数m使z为纯虚数．
变式1、（1）（2022·广东潮州·高三期末）已知i为虚数单位，复数，则z的虚部为（ ）
A．0B．－1C．－iD．1
【答案】B
【解析】
.则z的虚部为－1.
故选：B.
（2）（2022·山东淄博·高三期末）已知复数z是纯虚数，是实数，则（ ）
A．－B．C．－2D．2
【答案】B
【解析】
由题意设，
则，
因为是实数，所以，得，
所以，
所以，
故选：B
（3）（2022·江苏常州·高三期末）是虚数单位，已知复数满足等式，则的模________．
【答案】
【解析】
由，可得
则有，即，故有
故答案为：
变式2、（2022·河北唐山·高三期末）（多选题）已知复数（且），是z的共扼复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
解：对于A选项，，，所以，故正确；
对于B选项，，，，故错误；
对于C选项，，，，故正确；
对于D选项，，，，
所以当时，，当时，，故错误.
故选：AC
方法总结： (1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0.
考向二 复数的运算
例2、（1）已知复数满足，其中为虚数单位，若复数的实部为，则实数（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【解析】由题可得，
则，解得或，
故选：B.
（2）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
故选：A．
（3）已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知：
所以
故选：D
变式1、（1）（2022·河北保定·高三期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B
（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）设复数满足，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】因复数满足，则，
所以.
故选：C
（3）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）若．设，则（ ）
A．2iB．2C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
所以.
故选：B
方法总结： (1)要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则．
(2)遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z＝a＋bi，再通过四则运算，计算出a，b的值．
考向三 复数的几何意义
例3、(1)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq \r(3)，则eq \f(y,x)的最大值为____
【答案】eq \r(3)
【解析】∵|z－2|＝
eq \r(（x－2）2＋y2)＝eq \r(3)，
∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))eq \s\d7(max)＝eq \f(\r(3),1)＝eq \r(3).
变式1、设复数z＝lg2(m2－3m－3)＋ilg2(m－2)，m∈R对应的向量为 eq \(OZ,\s\up6(→)).
(1) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在虚轴上，求实数m及| eq \(OZ,\s\up6(→))|的值；
(2) 若 eq \(OZ,\s\up6(→))的终点Z在第二象限内，求实数m的取值范围．
【解析】 (1) 由题意，得lg2(m2－3m－3)＝0，
所以m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.
因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m－3>0，,m－2>0，))
所以m＝4，此时z＝i， eq \(OZ,\s\up6(→))＝(0，1)，| eq \(OZ,\s\up6(→))|＝1.
(2) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2(m2－3m－3)<0，,lg2(m－2)>0，,m2－3m－3>0，,m－2>0，))
解得 eq \f(3＋\r(21),2)所以实数m的取值范围是（ eq \f(3＋\r(21),2)，4）.
变式2、（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．点的坐标为B．
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】D
【解析】A：因为复数为虚数单位在复平面内对应的点为，所以点的坐标为，因此本选项结论正确；
B：因为，所以，因此本选项结论正确；
C，D：设，在复平面内对应的点为，设
因为，所以点到点的距离为1，因此点是在以为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点距离，
因此，
，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，
故选：D
方法总结：准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up7(―→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→)).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
(4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．
1、（2022·江苏海安·高三期末）已知复数z满足(1－i)z＝2＋3i（i为虚数单位），则z＝（ ）
A．－＋iB．＋i
C．－iD．－－i
【答案】A
【解析】∵(1－i)z＝2＋3i,
∴.
故选：A.
2、（2022·江苏如东·高三期末）已知复数z满足，则z＝（ ）
A．4＋3iB．4－3iC．3＋4iD．3－4i
【答案】C
【解析】因为，
故由可得：，即，
故选：C.
3、（2022·江苏苏州·高三期末）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】为纯虚数，
，，
故选:A．
4、（2022·江苏无锡·高三期末）已知（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
为纯虚数，
，，
故选：C.
5、（2022·广东东莞·高三期末）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A：
若 ，则，故，
所以A正确；
对于B：
若，则，
所以B正确；
对于C：
设 ，
则 ，故 ，
所以C正确；
对于D：
如下图所示，若 ，，则，，故 ，
所以D错误.
故选：ABC
6、（2022·江苏苏州·高三期末）（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．若为复数，则
B．若为向量，则
C．若为复数，且，则
D．若为向量，且，则
【答案】AD
【解析】令，，，
，
，，
，A对；
，不一定成立，B错；
，，
，，
，C错．
将两边平方并化简得，D对.
故选：AD
7、（2021·福建·莆田二中高三期末）设，记为不大于的最大整数，为不小于的最小整数．设集合,，则在复平面内对应的点的图形面积是______
【答案】
【解析】
解：依题意由，所以，由，所以，所以，，所以
设，由，所以，所以，所以复数再复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于且小于等于的圆环部分，
所以圆环的面积
故答案为：