2024年高考数学第一轮复习精品导学案第73讲 章末检测九（学生版）+教师版

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1、(2022·江苏如皋期初考试)直线的斜率和它在y轴上的截距分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】由题意，直线3x＋4y＋5＝0的斜率为－EQ \F(3,4)，令x＝0，解得y＝－EQ \F(5,4)，故答案选C.
2、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）曲线的方程是，则曲线的形状是（ ）
A．圆B．椭圆C．线段D．直线
【答案】B
【解析】方程表示动点到两定点的距离之和为4．而，因此的轨迹是以为焦点的椭圆．
故选：B．
3、（2022·广东清远·高三期末）若椭圆的焦距为6，则实数（ ）
A．13B．40C．5D．
【答案】A
【解析】解：因为椭圆的焦距为6，
可知，则，所以，
所以，解得：.
故选：A.
4、（2022·山东烟台·高三期末）若双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，否则等式左边是非正数，不会等于，那么双曲线的焦点在轴上，于是，则，由渐近线方程可得，，于是离心率为.
故选: C.
5、（2022·广东清远·高三期末）直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将圆化为一般方程为，因此可知圆C的圆心为，半径为4，
因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时，
直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为．
故选：D
6、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，若的面积为，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，点在抛物线上，由抛物线的定义可得，
，则，
，解得或（舍）.
故选：B.
7、(2022·江苏如皋期初考试)万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会
开幕式. 在手工课上，老师带领同学们
一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其
俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平
程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，
短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（ ）cm
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，可得焦距长为cm，故离心率为，所以小椭圆离心率为，小椭圆的短轴长为10cm，即2b＝10cm，由，可得：a＝10cm，所以长轴为20cm.故答案选B.
8、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为(-c，0)，(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的面积为.
因为的内切圆半径为，所以的面积可表示为.
所以，所以.
因为，所以.
两边平方得：，
而，所以，整理得：,
因为离心率，所以，解得：.
故选：A.
多选题
9、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知直线和点，过点A作直线与直线相交于点B，且，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】因为点B在直线：上，设点，
因为，则，解得或，
则B点坐标为或，
当B点坐标为时，直线的方程为；
当B点坐标为时，直线的方程为，即.
故选：AC.
10、（2022·湖北武昌·高三期末）已知双曲线C：，下列对双曲线C的判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍B．焦距为8
C．离心率为D．渐近线方程为
【答案】BD
【解析】由双曲线C：，可得，则
所以
所以选项A不正确，选项B正确.
由，所以选项C不正确.
渐近线方程为，即，故选项D正确.
故选：BD
11、（2022·山东泰安·高三期末）已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的渐近线方程为
C．若到的渐近线的距离为，则的方程为
D．设为坐标原点，若,则
【答案】AC
【解析】由题：双曲线的一条渐近线过点，
所以渐近线方程为，所以B选项错误；
所以，离心率，所以A选项正确；
若到的渐近线的距离为，即
则的方程为，所以C选项正确；
为坐标原点，若,，所以
，所以D选项错误.
故选：AC
11、（2022·湖南常德·高三期末）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．线段的中点在直线上
C．若，则的面积为
D．以线段为直径的圆一定与轴相切
【答案】BCD
【解析】对于A选项，抛物线的准线方程为，A错；
对于B选项，设点、，设线段的中点为，
则，两式作差得，可得，
所以，，故，B对；
对于C选项，设直线的方程为，联立，可得，
，解得，由韦达定理可得，，
，解得，
点到直线的距离为，故，C对；
对于D选项，设线段的中点为，则，
由抛物线的定义可得，即等于点到轴距离的两倍，
所以，以线段为直径的圆一定与轴相切，D对.
故选：BCD.
三、填空题
13、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为___________.
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，结合已知条件可得，故焦距为，
故答案为：.
14、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知直线与圆相离，则整数的一个取值可以是______．
【答案】或或（注意：只需从中写一个作答即可）
【解析】因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离，因为圆的方程可化简为，即半径为，所以，所以，故整数的取值可能是．
故答案为：或或（注意：只需从中写一个作答即可）
15、（2023·云南玉溪·统考一模）已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数________
【答案】
【解析】设圆的半径为，
由可得，
因为是正三角形，所以点到直线的距离为,
即，
两边平方得，解得.
故答案为: .
16、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】设与轴交点，连接， 由对称性可知，，如图所示，
又∵，∴，∴．
又∵，∴，
在中， ，∴，∴ ，
由，且三角形的内角和为，
，即，则
综上， ．
故答案为：
四、解答题
17、（2022杭州市西湖高级中学高二期末）已知直线与圆.
（Ⅰ）求证：直线必过定点，并求该定点；
（Ⅱ）当圆截直线所得弦长最小时，求的值.
【解析】（Ⅰ）证明：直线方程可化为：，
对上式中,当时，不论取何值，等式恒成立，
所以直线恒过点
（Ⅱ）将圆的方程化为：，圆心为，半径
由（Ⅰ）知，直线恒过点，当圆截直线所得弦长最小时，则垂直于直线，即
，，，
所以当圆截直线所得弦长最小时，的值为
18、(2022·江苏如皋期初考试)如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线分别相切于、两点，另一圆与圆外切，且与轴及直线分别相切于、两点．
（1）求圆和圆的方程；（6分）
（2）过点作直线的平行线，求直线被圆截得的弦的长度．（6分）
【解析】
（1）由于与的两边均相切，故到及的距离均为的半径，
则在的平分线上，同理，也在的平分线上，
即三点共线，且为的平分线，
∵的坐标为，∴到轴的距离为1，即的半径为1，
则的方程为，
设的半径为，其与轴的切点为，连接、，
由可知，，即．
则，则圆的方程为；
（2）由对称性可知，所求的弦长等于过点，直线的平行线被圆截得的弦的长度，
此弦的方程是，即：，
圆心到该直线的距离，则弦长=
19、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，，三个点在椭圆，椭圆外一点满足，，（为坐标原点）.
(1)求的值；
(2)证明：直线与斜率之积为定值.
【解析】
（1）设，因为，所以解得，
又因为，所以解得，
因为点在椭圆上，
所以，
即.
（2）设直线与斜率分别为，
是定值.
20、（2022·江苏扬州·高三期末）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．
【解析】
(1)由题意得该抛物线焦点到准线的距离为－(－)＝p＝2，
所以该抛物线的方程为y2＝4x．
(2)①当直线l1， l2的斜率都存在时，设直线l1：，直线l2：y－1＝k2（x－1），
由，消去y得，显然，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
，，
则以AB为直径的圆的方程为：，
，
即＋＋＝0，
同理，以CD为直径的圆的方程为：＋＋＝0，
∴以两圆公共弦所在的直线m的方程为：．
令，解得，所以直线恒过定点(，)．
②当直线l1，l2的斜率中有一个不存在时，由对称性不妨设l1的斜率不存在，l2的斜率为k2，
则以AB为直径的圆的方程为：，
以CD为直径的圆的方程为：＋＋＝0，
所以两圆公共弦所在的直线m的方程为：，
此时直线m恒过定点（，），
综上得：直线m恒过定点（，）．
21、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；
(3)若，且，求的最大值．
【解析】（1）双曲线的顶点坐标为，故，
由题意得，故，
故椭圆的方程为．
（2）因为，，所以的方程为，
由，解得点Q的坐标为．
设过P，Q，三点的圆为，
则，解得，，，
所以圆的方程为；
（3）设，，
则，，
因为，所以，即，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，当且仅当，
即时，取等号．最大值为
22、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：.
【解析】（1）设椭圆上下顶点分别为，左焦点为，
则是等边三角形，所以，则椭圆方程为，
将代入椭圆方程，可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）设，则.
将直线代入椭圆方程，得，
其判别式，即，
.
所以要证直线MR与直线MB的斜率互为相反数，即证，
，所以.