2024年高考数学第一轮复习精品导学案第06讲 基本不等式及应用（学生版）+教师版

这是一份2024年高考数学第一轮复习精品导学案第06讲 基本不等式及应用（学生版）+教师版，共2页。学案主要包含了2022年新高考2卷，2021年乙卷文科等内容，欢迎下载使用。

1、基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件： .
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2、几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ (a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥ (a，b同号)．
(3)ab≤ (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥ 2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3、利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+y2-xy=1，则（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥-2
C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
2、【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
3、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
1、在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A. B.
C. D.
2、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
3、（2022·山东枣庄·一模）（多选题）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．的最小值为
4、（2022·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知，且.则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．
D．
考向一 运用基本不等式求函数的最值
例1、 (1)已知0(2)已知x(3)函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．
变式1、已知x>1，求y＝ eq \f(x2＋2,x－1) 的最小值．
变式2、 已知x≥1，求y＝ eq \f(x2＋2,x＋1) 的最小值．
变式3、（1）（2022·江苏泰州·一模）（多选题）下列函数中最小值为6的是（ ）
A．B．
C．D．
（2）（2022·广东惠州·二模）函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
考向二 基本不等式中1的运用
例2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)若正数，满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
变式1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
变式2、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．2
变式3、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则 的最小值是（ ）
A．2B．C．D．不存在
变式4、（2022·湖南师大附中三模）（多选题）若，，，则的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型
考向三 运用消参法解决不等式问题
例3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ \F(1,y)－EQ \F(1,x)，则y的最大值为( )
A．1 B．EQ \F(1,2) C．2 D．EQ \F(1,3)
变式1、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)
已知正实数，满足，则的最小值是______．
变式2、（2022·湖南·一模）已知，则_________．
方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值
考向四 运用基本不等式解决实际问题
例4、工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，另需投入成本C(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝ eq \f(1,3)x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋ eq \f(10 000,x)－1 450.已知每件商品的售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1) 写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
变式1、 (2022·福州高三期中)某县一中计划把一块边长为20 m的等边三角形ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE把基地分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上．
(1) 设AD＝x(x>10)，DE＝y，求y关于x的函数解析式；
(2) 若DE是灌溉输水管道的位置，为节约成本，希望它最短，确定DE的位置，并求出ED长的最小值．
变式2、（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______．
方法总结：利用基本不等式求解实际应用题的方法：
利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值．
1、（2022·重庆·一模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2、（2022·福建·模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A．13B．19C．21D．27
3、（2022·广东·模拟预测）（多选题）已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为16
B．的最大值为9
C．的最大值为9
D．的最大值为
4、（2022·河北保定·一模）（多选题）下面描述正确的是（ ）
A．已知，，且，则
B．函数，若，且，则的最小值是
C．已知，则的最小值为
D．已知，则的最小值为
5、（2022·重庆·模拟预测）（多选题）已知正数a，b满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6、（2022·广东·模拟预测）（多选题）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）（多选题）若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8、（2022·湖南衡阳·三模）（多选题）已知实数，，．则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．