2024湖北省沙市中学高一上学期11月期中考试数学含解析

这是一份2024湖北省沙市中学高一上学期11月期中考试数学含解析，共2页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
命题人：刘芳 审题人：熊炜
考试时间：2023年11月2日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，则的子集的个数为（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 8
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A B. C. D.
5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
6. 是定义域为上的奇函数，当时，为常数），则
A. B.
C. D.
7. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
10. 下列四个命题是真命题的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数f（x）满足，则
D. 若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为16B. 的最小值为9C. 的最大值为1D. 的最小值为
12. 若函数满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式恒成立，则称在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（ ）
A. B.
C. D.
三.填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则__________.
14. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为______.
15. 已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是______.
16. 若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是______．
四.解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 已知集合，.
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18. 已知幂函数在上是减函数，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，函数在有解，求实数取值范围.
20. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
21. 函数对任意实数恒有，且当时，.
（1）判断的奇偶性；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，解关于的不等式.
22. 已知函数是定义域上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；
（3）令，若对都有，求实数取值范围.2023—2024学年度上学期2023级
期中考试数学试卷
命题人：刘芳 审题人：熊炜
考试时间：2023年11月2日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，则的子集的个数为（ ）
A 2B. 5C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】分别对集合和集合化简，然后求出，从而确定子集个数.
【详解】因为，
所以，
所以的子集的个数为.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定得到答案.
【详解】命题“，”的否定是：，.
故选：B.
3. 下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇函数的定义判断，结合分式型函数、复合函数的单调性判断各函数是否符合要求即可.
【详解】A：函数定义域为R，且，故为奇函数，
当时，而在上递减，上递增，
故在上递增，上递减，易知：定义域上不是增函数，不符合；
B：函数定义域为，显然不关于原点对称，不为奇函数，不符合；
C：函数定义域为R，且，故为奇函数，函数单调递增，符合；
D：函数定义域为，且，故为奇函数，函数分别在、上递增，整个定义域不递增，不符合.
故选：C
4. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，将问题转化成在上恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果.
【详解】由“，”为真命题，得对于恒成立，
令，易知，时，，所以，，
故“”是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，
故选：A．
5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象函数奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据时函数值为正排除A；即可得出结果.
【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，
而D中的函数为偶函数，故排除D；
由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；
对于A，当时，，不满足图象；对于C，当时，，满足图象.
故排除A，选C.
故选：C
6. 是定义域为上的奇函数，当时，为常数），则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：因为是定义域为且是奇函数，所以，所以，，，故选D.
考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.
7. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围
【详解】解：，
当时，在上单调递增，
所以，此时，
当时，由，
当且仅当，即 时取等号，
因为在上单调递增，
若的值域为，则有，即，则，
综上，，
所以实数的取值范围为
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为，然后分和讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题
8. 定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到在上单调递减，且为偶函数，故在上单调递增，分和，结合函数单调性求出解集.
【详解】因为对任意的（），都有，
所以在上单调递减，
因为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，
所以在上单调递增，
因为，所以，
当时，，令得，即，
所以，所以，
当时，，令得，即，
所以，所以，
综上，的解集为.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的性质，逐项判断即可.
【详解】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，由，得，而，则，B错误；
对于C，由，得，而，则，C正确；
对于D，由，知，D错误.
故选：AC
10. 下列四个命题是真命题的是（ ）
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数f（x）满足，则
D. 若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】A. 利用抽象函数的定义域求解判断；B.利用函数的单调性求解判断；C. 由得到，联立求解判断；D.令，利用方程根的分布判断.
【详解】A. 因为函数的定义域为，所以，解得 ，所以函数的定义域为，故是真命题；
B. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增，所以函数的值域为，故不是真命题；
C. 由，得，联立解得，故不是真命题；
D.令，因为的两个不等实根都在区间内，
所以，即，
解得，所以实数的取值范围为，故是真命题；
故选：AD
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为16B. 的最小值为9C. 的最大值为1D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；利用消元法即可判断C；利用消元法结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以（舍去），所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16，故A正确；
对于B，因为，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9，故B正确；
对于C，由B得，则，
则，故C错误；
对于D，，
当，即时，取得最小值，
所以当时，的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12. 若函数满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式恒成立，则称在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
令，问题转化为判断在上是增函数，分别对各个选项判断即可．
【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，
则，
令，则，，，且，
在上是增函数，
对于，则，对称轴是，
故在递增，在递减，故错误；
对于，则，是对勾函数，
故在递增，故正确；
对于，故，对称轴是，
故在递增，故正确；
对于，则，
故在递减，故错误；
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性问题，考查转化思想，关键在于恒成立可转化为新函数满足上恒成立，即在上是增函数，属于中档题．
三.填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据分段函数性质可得，又，即可得.
【详解】由分段函数解析式可知，将代入可得，
再将代入可得，
即可计算出.
故答案为：2
14. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合奇函数的定义与性质运算求解.
【详解】因为函数是定义在上奇函数，则，
当时，则，可得，
所以.
故答案为：.
15. 已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数是上的减函数，直接建立的不等关系，从而求出结果.
【详解】因为函数是上的减函数，
所以，解得，
故答案为：.
16. 若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，设，研究的最小值即可．
【详解】因为函数与是区间上的“2阶依附函数”，
所以在上恒成立，
又在上单调递增，则，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，
令，，设，
，则在上单调递增，
所以，
所以．
故答案为：．
四.解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化简集合，求出即得解；
（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，列不等式组解不等式组即得解.
【小问1详解】
（1），
当时，，或，
∴或；
【小问2详解】
由题意可得集合B是集合A的真子集，
∵，∴或，解得，
∴实数a的取值范围是.
18. 已知幂函数在上是减函数，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为幂函数，可列出关于m的方程，结合幂函数的单调性确定m的值，即可求得答案；
（2）结合（1）中m的值，再结合幂函数的定义域以及单调性，可得相应不等式组，即可求得答案.
【小问1详解】
由于函数是幂函数，故，
解得或，
当时，在上是增函数，不合题意；
当时，在上是减函数，符合题意，
故.
【小问2详解】
由（1）知，则，
结合幂函数在上为增函数，
得，解得，
即.
19. 已知函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，函数在有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）转化为恒成立，分与，得到不等式，求出实数的取值范围；
（2）转化为在上有解，所以只需，构造函数，由对勾函数性质得到，从而得到实数的取值范围.
【小问1详解】
，
故恒成立，
当时，不恒成立，舍去，
当时，要想恒成立，
则要满足，解得，
综上，实数的取值范围为；
【小问2详解】
当时，函数在有解，
即在上有解，
所以在上有解，所以只需，
令，
因为，所以，
由对勾函数性质可知，在，即上单调递减，在，即上单调递增，
由于，，
由于，故，
故，解得，
实数的取值范围是.
20. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
（1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入-成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
由题意可得：当时，，
当时，，
故．
【小问2详解】
当时，，
得时万元；
当时，，当且仅当，即时等号成立，
此时万元.
综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.
21. 函数对任意实数恒有，且当时，.
（1）判断的奇偶性；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，解关于的不等式.
【答案】（1）奇函数 （2）证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.
（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；
（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.
【小问1详解】
解：由题意，函数对任意实数恒有，
令得，解得：.
取，则由得，
∴，即，
∴函数是奇函数.
【小问2详解】
证明：任取，且，则，
∵当时，，∴，
由得，
∴，
∴，
∴是上的减函数.
【小问3详解】
解：由得，
由得，
则，
∴不等式可化为，
∵是上的减函数，
∴，即………①.
（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；
（ii）当时，不等式①式化为，即，
若，上式不等式即，解得：，即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
（iii）当时，不等式①式化为，即，
∵此时，∴原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
【点睛】方法点睛：
1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用.
22. 已知函数是定义域上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；
（3）令，若对都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，，从而得到，再解方程组即可.
（2）根据题意得到在上有两个不相等的实数根，从而得到，再解不等式组即可.
（3）根据题意得到，设，得到，根据，再利用二次函数的性质得到，，从而得到，解不等式即可.
【小问1详解】
∵，又是奇函数，∴，
，∴解得，∴.
经验证，函数满足定义域，成立，
所以.
【小问2详解】
方程在上有两个不同的根，
即在上有两个不相等的实数根，
需满足，解得.
【小问3详解】
有题意知，
令
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
∴
∵函数的对称轴为，
∴函数在上单调递增.
当时，；当时，；
即，
又∵对都有恒成立，
∴，
即，
解得，又∵，
∴的取值范围是.