福建省莆田一中、三明二中2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省莆田一中、三明二中2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则的一个充分条件是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
2、有一组样本数据,,,…,,由这组数据得到新样本数据,其中,,,…,,为非零常数,则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差不同
3、如图,在三棱锥中,点D是棱AC的中点,若,,,则等于( )
A.B.C.D.
4、圆C与直线相切于点,且圆心的横坐标为0,则圆C被y轴截得的弦长为( )
A.B.C.1D.2
5、龙洗,是我国著名的文物之一,因盆内有龙纹故称龙洗,为古代皇宫盥洗用具,其盆体可以近似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm,盆口直径40cm,盆底直径20cm．现往盆内倒入水,当水深6cm时,盆内水的体积近似为( )
A.B.C.D.
6、已知的外接圆圆心为O,且,,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
7、甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式,当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留；当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙；当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中,投掷3次骰子后,球在甲手中的概率为( )
A.B.C.D.
8、已知直线恒过定点A,圆上的两点,满足,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、某校开学初组织新生进行数学摸底测试,现从1000名考生中,随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为,,,,,.则下列说法正确的是( )
A.
B.估计这次考试的75%分位数为82.4
C.在该样本中,若采用分层随机抽样的方法,从成绩低于60分和90分及以上的学生中共抽取10人,则应在中抽取2人
D.若成绩在60分及以上算合格,估计该校新生成绩合格的人数为860人
10、以下四个命题正确的有( )
A.直线的倾斜角为
B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C.直线关于原点对称的直线方程为
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11、如图,在正方体中,,点M,N分别在棱AB和上运动（不含端点）,若,则下列命题正确的是( )
A.B.平面
C.线段BN长度的最大值为1D.三棱锥体积不变
12、点O,H分别是的外心､垂心,则下列选项正确的是( )
A.若且,则
B.若,且,则
C.若,,则的取值范围为
D.若,则
三、填空题
13、若直线与直线互相垂直,则__________.
14、已知,,则点A到直线BC的距离为_______.
15、已知圆,直线.当直线l被圆C截得弦长取得最小值时,直线l的方程为__________.
四、双空题
16、某学校课外社团活动课上,数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作,课题名称“不用尺规等工具,探究水面高度”.如图甲,是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计）,底面ABCD为平行四边形,设棱锥高为h,体积为V,现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜,如图乙,这时水面恰好经过CDEF,其中E,F分别为棱PA,PB的中点,设容器中水的体积为,图甲中的水面高度为,则__________,__________.
五、解答题
17、已知：,和.
（1）若A,B,C三点共线,求t的值；
（2）若,求t的值.
18、在中,a,b,c分别是的内角A,B,C所对的边,且．
（1）求角A的大小；
（2）记的面积为S,若,求的最小值．
19、中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进,企业不仅仅需要大批技术过硬技术工人,更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神,这是传承工艺、革新技术的重要基石.如图所示的一块木料中,ABCD是正方形,平面ABCD,,点E,F是PC,AD的中点.
（1）证明：平面PAB；
（2）若要经过点B,E,F将木料锯开,在木料表面应该怎样画线,请说明埋由.
20、杭州亚运会正在进行,乒乓球被称为中国的“国球”,赛事备受关注.乒乓球比赛每局采用11分制,每赢一球得1分,一局比赛开始后,先由一方发2球,再由另一方发2球,依次每2球交换发球权,若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方,该局比赛结束；若双方比分打成平后,发球权的次序仍然不变,但实行每球交换发球权,先连续多得2分的一方为胜方,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球的结果相互独立,已知某局比赛甲先发球.
（1）求该局比赛中,打完前4个球时甲得3分的概率；
（2）若在该局双方比分打成平后,两人又打了X个球该局比赛结束,求事件“”的概率.
21、如图1,在中,,DE是的中位线,沿DE将进行翻折,使得是等边三角形（如图2）,记AB的中点为F．
（1）证明：平面ABC．
（2）若,二面角为,求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
22、已知动点P与两个定点,的距离的比值为2,点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）过点作直线与曲线C交于A,B两点,设点M坐标为,求面积的最大值．
参考答案
1、答案：C
解析：对于A,若,,,则,平行或相交,故A错误；
对于B,若,,,则,相交,无法判断是否垂直,故B错误；对于C,若,,则,
又,所以,故C正确；
对于D,若,,,则,故D错误.
故选：C.
2、答案：C
解析：设样本数据,,,…,的样本平均数为,样本中位数为m,样本标准差为s,
根据平均数和标准差的性质可知,样本数据,,,…,的样本平均数为,样本标准差为s,
根据中位数的概念可知,样本数据,,,…,的样本中位数为,
根据极差的概念可知两组样本数据的样本极差相同.
故选：C.
3、答案：A
解析：点D是棱AC的中点,则有
.
故选：A.
4、答案：A
解析：设圆心,
因为圆C与直线相切于点,
所以直线BC与直线垂直,
则,解得,
所以圆心,
故圆C的半径,
圆心在y轴上,
所以圆C被y轴截得的弦长为.
故选：A.
5、答案：B
解析：如图所示,画出圆台的立体图形和轴截面平面图形,并延长EC与FD于点G.
根据题意,,,,,
设,
所以,
解得,,
所以,
故选：B.
6、答案：A
解析：
所以外接圆圆心O为BC的中点,即BC为外接圆的直径,
所以,
如图：
因为,所以,即,所以,
向量在向量上的投影数量为：
故选：A.
7、答案：D
解析：由题意,当投掷3次骰子后,球在甲手中,共有4中情况：
①：甲甲甲甲,其概率为,
②：甲甲乙甲,其概率为,
③：甲乙甲甲,其概率为,
④：甲乙丙甲,其概率为,
所以投掷3次后,球在甲手中的概率为.
故选：D.
8、答案：C
解析：由题可知A为,且P、A、Q三点共线,
设弦PQ的中点为,连接OE,则,即,
,即,
所以点E的轨迹方程为,
即E的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
设直线l为,
则E到l的最小距离为,
过P、E、Q分别作直线l的垂线,垂足分别为M、R、N,
则四边形MNQP是直角梯形,且R是MN的中点,则ER是直角梯形的中位线,
,
即,
即,
所以的最小值为.
故选：C．
9、答案：BD
解析：对于A：由得,故A错误；
对于B：成绩在时所占的频率为：
成绩在时所占的频率为：
故75%分位数所在区间为,设75%分位数为x,
则,解得,故B正确；
对于C：低于60分和90分及以上的学生占的频率为：
成绩在占频率为
故按分层抽样,应在中抽取的人数为人,故C错误；
对于D：估计该校新生成绩在60以下的人数为
故估计该校新生成绩合格的人数为人,故D正确；
故选：BD.
10、答案：AB
解析：A：由直线方程可知直线的斜率,设直线的倾斜角为,
则,所以,故A正确；
B：圆心到直线的距离,圆的半径,
所以直线与圆相交,故到直线l距离为1的两条直线,一条与圆相交,一条与圆相切,
故B正确；
C：设所求直线上的点为,则该点原点对称的点为,
代入方程,得,即直线关于原点对称的
直线方程为.故C错误；
D：经过点且到x轴和y轴的截距都相等的直线方程为和,故D错误.
故选：AB.
11、答案：ACD
解析：在正方体中,以D为原点,以射线DA,DC,分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系,如图：
则,,,
设,,y,
则,
因为,所以,即.
对于A：,则,
所以,即,故A正确;
对于B：,即CM与MN不垂直,从而MN与平面不垂直,故B不正确；
对于C：,则,当且仅当时取等号,故C正确；
对于D：不论点M如何移动,点M到平面的距离为4,且为定值,
而为定值,故三棱锥的体积为定值,故D正确.
故选：ACD.
12、答案：BCD
解析：A.由,可知,点A,D,C共线,
又可知,点D在的角平分线上,
所以BD为的角平分线,AD与DC不一定相等,故A错误；
B.若,则点O是AC的中点,点O又是的外心,
所以,,故B正确；
C. 因为,所以,如图,建立平面直角坐标系,
设,,,
因为,所以,
得,,
,,
,,则,故C正确；
D.因为,所以,
即,则,
同理,,所以,
设,
因为,所以,
即,则,
,即,
则,
,,故D正确.
故选：BCD.
13、答案：0或
解析：因为直线与直线互相垂直,
所以,解得或.
故答案为：0或.
14、答案：
解析：因为,,,,
点A到直线BC的距离为：
故答案为：.
15、答案：
解析：由直线,
得,
令,解得,
即直线l过定点,
圆得圆心,半径,
当直线时,直线l被圆C截得弦长取得最小值,
,所以,
所以直线l的方程为,即.
故答案为：.
16、答案：①②.
解析：如图将四棱锥补成平行六面体,设平行六面体的体积为,
根据E,F分别为棱PA,PB的中点,
则,而三棱柱与平行六面体的高相同,
则,
根据四棱锥与平行六面体底和高均相同,则,则,
易知,
则,
即,
图甲中上方的小四棱锥高为,体积为,
则,则,
故图甲中的水面高度,
所以.
故答案为：；.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）,
若A,B,C三点共线,所以,
即,解得；
（2）,
则,解得.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,即
由正弦定理可得,,化简可得,
且由余弦定理可得,,所以,
且,所以.
（2）因为,则可得,
所以
且,
即,
当且仅当,即时,等号成立.
所以
19、答案：（1）证明见解析；
（2）见解析.
解析：（1）证明：取PB的中点M,连接AM,ME,
因为E是PC的中点,所以,,
因为F是AD的中点,所以,
因为四边形ABCD是正方形,所以,,
所以,,
所以四边形AFEM平行四边形,所以,
因为平面PAB,平面PAB,
所以平面PAB；
（2）因为平面ABCD,AB,平面ABCD,
所以,
因为四边形ABCD是正方形,所以,
所以AB,AD,AP两两垂直,
所以以A为原点,以AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
所以,,
设平面BEF的法向量为,
则,令,则,
设平面,设,
因为,所以,则,
由,解得,
即H为PD的三等分点（）,
连接EH,FH,即EH,FH就是应画的线.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,甲发球时甲失分的概率为,乙发球时甲失分的概率为,
若打完前4个球时甲得3分,则甲失一球,
这个球可能是甲发也可能是乙发,
所以打完前4个球时甲得3分的概率为；
（2）若在该局双方比分打成平后,则接下来是甲发球,
若,则或,
,
,
所以.
21、答案：（1）证明见解析
（2）
证明：（1）如图,
取AC中点G,连接FG和EG,由已知得,且．
因为F,G分别为AB,AC的中点,所以,且
所以,且．
所以四边形DEGF是平行四边形．
所以．
因为翻折的,易知．
所以翻折后,．
又因为,EA,平面AEC,
所以平面AEC．
因为,
所以平面AEC．
因为平面AEC,所以．
因为是等边三角形,点G是AC中点,所以
又因为,AC,平面ABC．
所以平面ABC．
因为,所以平面ABC．
（2）（方法一）如图,
过点E作,以E为原点,EH、EC,ED所在直线分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系E-xyz,设,则,,,,
则,,,
因为平面AEC．所以是平面AEC的法向量,
设面ACD的法向量为,
则,即,解得．
取,得．
因为二面角为,所以,
解得,所以,．
记直线AB与平面ACD所成角为,
则,
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
（方法二）如图,
连接DG,因为平面AEC,平面AEC,所以．
又因,,DE,平面DEG．所以平面DEC．
因为EG,平面DEG,所以,,所以是二面角的平面角,故．
由是边长为2的等边三角形,得,
在中,,所以,．
过点F作,垂足为I,
因为平面DEGF,平面ACD,所以平面平面ACD．
又因为平面平面,平面DEGF,且,
所以平面ACD．
连接AI,则即为直线AB与平面ACD所成的角．
在中,,,得,由等面积法得,解得．
在中,,,所以．
在中,,
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
22、答案：（1）；
（2）2
解析：（1）设点,,即,
,即,
曲线C的方程为．
（2）由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l方程为,
由（1）可知,点M是圆的圆心,
点M到直线l的距离为,由得,即,
又,
所以,
令,所以,,
则,
所以,
当,即,此时,符合题意,
即时取等号,所以面积的最大值为2.