浙江省舟山中学2023-2024学年高二上学期10月第一次素养测评数学试卷(含答案)

这是一份浙江省舟山中学2023-2024学年高二上学期10月第一次素养测评数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若，-1，0，，，则方程表示的圆的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2、已知方程表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
3、点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.相切或相交
4、若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为2，则c的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
5、已知圆，直线，若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线，，使得，则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
6、已知原点到直线l的距离为1，圆与直线l相切，则满足条件的直线l有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
7、椭圆，的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，为椭圆C的右焦点，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8、如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N，若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知椭圆，的离心率为，左，右焦点分别为，，P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是( )
A.椭圆C的焦距为1
B.椭圆C的短轴长为
C.面积的最大值为
D.椭圆C上存在点P，使得
10、圆和圆的交点为A，B，则有( )
A.公共弦所在直线的方程为
B.公共弦所在直线的方程为
C.公共弦的长为
D.P为圆上一动点，则P到直线的距离的最大值为
11、“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体.如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，半圆的方程为，，半椭圆的方程为，，则下列说法正确的是( )
A.点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，，则面积的最大值为6
B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C.若，，P是半椭圆上的一个动点，则的最小值为
D.画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上.称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为
12、已知F为椭圆的左焦点，直线，与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，与椭圆C的另一个交点为P，则( )
A.的最小值为2
B.的面积的最大值为
C.直线的斜率为
D.为直角
三、双空题
13、已知直线，若直线l与直线平行，则实数m的值为_________，动直线l被圆截得弦长的最小值为_________.
四、填空题
14、若过点作圆的切线有两条，则实数k的取值范围是_________.
15、已知，是离心率为的椭圆，的焦点，M是椭圆上第一象限的点，若I是的内心，G是的重心，记与的面积分别为，，则_________.
五、解答题
16、在平面直角坐标系中，椭圆C的中心为原点，焦点，在x轴上，离心率为，过作直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为_________.
17、已知动圆M过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
18、在平面直角坐标系中，已知点，直线设圆C的半径为1，圆心在直线l上.
（1）若圆心C也在直线上，过点作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使得，求圆心C的横坐标a的取值范围.
19、已知椭圆，的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆C上点M满足.
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段长为时直线l的方程.
20、已知椭圆及直线，.
（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点；
（2）若直线l与椭圆C交于P、Q两点，且，O为坐标原点，求直线l的方程.
21、已知椭圆，的一个顶点坐标为，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线，与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段的中点为M，点，求证：点M不在以为直径的圆上.
22、已知椭圆，的左、右焦点分别为，，，且.
（1）求C的方程.
（2）若A，B为C上的两个动点，过且垂直x轴的直线平分，证明：直线过定点.
参考答案
1、答案：C
解析：由题意可知：，
解之得，又，-1，0，，，，所以.
故选：C.
2、答案：B
解析：因为方程表示的曲线是椭圆，所以，
解得且，即实数m的取值范围是.
故选B.
3、答案：C
解析：M在圆内，且不为圆心，则，
则圆心到直线的距离为，所以相离.
故选：C.
4、答案：A
解析：由，
所以，半径，
过圆心C作直线的垂线交圆分别于A、B两点，易知，
当圆心C到的距离时可得，
此时圆上恰有三个不同的点到直线的距离为2，满足题意，
如图所示，可知C到l的距离为：.
故选：A.
5、答案：D
解析：圆，半径，设，
因为两切线，如下图，，由切线性质定理，知：
，，，所以，四边形为正方形，所以，，
则：，即点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.
直线过定点，直线方程即，
只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，
即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
即：，解得：，即实数k的取值范围是.
故选：D.
6、答案：C
解析：由已知，直线l满足到原点的距离为1，到点的距离为2，
满足条件的直线l即为圆和圆的公切线，
因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线.
故选：C.
7、答案：C
解析：由题意可知，即，
结合题意不妨设，，
则，，
所以，
由题意得，令，则，
由二次函数的单调性知当时，上式取得最大值，
当时，，
故.
故选：C.
8、答案：A
解析：因为过点的直线圆的切线，，，所以，
由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率.
故选：A.
9、答案：BC
解析：由已知得，，解得，，，
对于A，椭圆C的焦距为，故A错误；
对于B，椭圆C的短轴长为，故B正确；
对于C，设，，
当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于D，假设椭圆C上存在点P，使得，设，，
所以，，，
所以m，n是方程，其判别式，所以方程无解，
故假设不成立，故D错误.
故选：BC.
10、答案：AD
解析：由两圆的方程作差可知公共弦方程为：
，故A正确，B错误；
由，
易知，半径，
则点到的距离为，
故弦长，故C错误；
当，并在如下图所示位置时，
P到直线的距离的最大，为，故D正确；
故选：AD.
11、答案：ABD
解析：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，，
则，，则，当B位于椭圆的下顶点时取等号，
所以面积的最大值为6，故A正确；对于B，半圆上的点到O点的距离都是3，
半椭圆上的点到O点的距离的最小值为3，最大值为4，
所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；
对于C，，是椭圆的两个焦点，
在中，，由余弦定理知：
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C错误；
对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点，
在椭圆，中取两条切线：和，它们交点为，
该点在蒙日圆上，半径为，
此时蒙日圆方程为：，故D正确.
故选：ABD.
12、答案：BCD
解析：设椭圆C的右焦点，
由椭圆对称性知线段，互相平分于点O，
则四边形为平行四边形，如图，则，
有
，
当且仅当，即时取“=”，A不正确；
设，，则，
当且仅当，即时取“=”，
即，因，垂足为E，
则，B正确；
因，有，由椭圆对称性可得，而，
则直线的斜率，C正确；
设，由及得，，
即，
直线，的斜率，有，
而，
于是得，有，所以为直角，D正确.
故选：BCD.
13、答案：①-1②
解析：由题意得，所以，
当时，两直线重合，舍去，故，
因为圆C的方程可化为，
即圆心为，半径为5，由于直线过定点，
所以过点P且与垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为.
故答案为：-1；.
14、答案：
解析：圆的标准方程为，
圆心为，半径的平方为，即，
因为过点作圆的切线有两条，所以点在圆外，
故点到圆心的距离大于圆的半径，即，
解得或，综上所述，k的取值范围是.
故答案为：.
15、答案：
解析：由于椭圆的离心率为，所以，即，
设的面积为S，内切圆的半径为r，
则，
所以，所以，
因为G是的重心，所以，所以.
故答案为：.
16、答案：
解析： 依题意：，即，又，，.
椭圆C的方程为.
17、答案：
解析：设动圆M和定圆B内切于点C，
由得，
即动圆圆心M到两定点，的距离之和等于定圆的半径，
动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且，，
则，，.
M的轨迹方程是.
18、答案：（1）所求切线方程为或
（2）
解析：（1）由题设，知圆心C是直线和的交点，
所以点C的坐标为，圆C的方程为，
当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为，满足条件；
当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为，
由题意得，解得，所以切线方程为.
故所求切线方程为或.
（2）因为圆心C在直线上，所以设点C的坐标为，
圆C的方程为，设点，因为，
所以，化简得，即，
所以点M在以点为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则，即，解得.
所以圆心C的横坐标a的取值范围为.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，解得，所以椭圆方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，不符合题意；
所以直线的斜率存在，设直线方程为，则，
消元整理得，设，，
则，，所以，
即，解得，所以直线l的方程为.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）联立直线l的方程与椭圆C的方程，
消去y得，
由于直线l与椭圆C有公共点，
则，
解得，
因此，实数m的取值范围是.
（2）设点、，由韦达定理可得，，
，所以，
，解得.
因此，直线l的方程为.
21、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意可知，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：设，，，
由得，
所以，
所以当k为任何实数时，都有，
所以，，
因为线段的中点为M，
所以，，
因为B(1，0)，所以，，
所以
，
又因为，，
所以，所以点M不在以为直径的圆上.
22、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，所以，所以，
又，所以，，
故C的方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，，
设直线的方程为，
设，，
由，得，
则，
，，
设直线，的倾斜角分别为，，
则，，
所以，
即，
所以，
所以，
化简可得，
所以直线的方程为，
故直线过定点.