辽宁省大连市滨城2023届高三上学期期中（‖）考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市滨城2023届高三上学期期中（‖）考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知,i是虚数单位,若复数为纯虚数,则( )
A.0B.1或-1C.-1D.1
2、已知集合,, ,则C中元素的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
3、“”是“直线与平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4、已知函数若,则m的值为( )
A.B.2C.9D.2或9
5、将函数的图象向右平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称
C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增
6、济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型,其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2,和所在圆的圆心都在线段AB上,若,,则的长度为( )
A.B.C.D.
7、如图,是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且,E为线段AD上一点,若与的面积相等,则的值为( )
A.B.C.D.
8、已知数列,,,,,,,,,,…,其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数;接下来两项是分子与分母之和为3的有理数,并且从大到小排列;再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数,并且从大到小排列,依次类推.此数列第n项记为,则满足且的n的最小值为( )
A.47B.48C.57D.58
二、多项选择题
9、设m,n是两条不同直线,是平面,m,n不在内,下列结论中正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
10、下列不等关系中一定成立的是( )
A.B.
C.,D.,
11、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点（A在第一象限）,M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N,则下列说法正确的是( )
A.的最小值为4
B.
C.面积的最小值为6
D.若直线AB的斜率为,则
12、在棱长为1的正方体中,E,F,G分别为线段,CD,CB上的动点（E,F,G均不与点C重合）,则下列说法正确的是( )
A.存在点E,F,G,使得平面EFG
B.存在点E,F,G,使得
C.当平面EFG时,三棱锥与体积之和的最大值为
D.记CE,CF,CG与平面EFG所成的角分别为,,,则
三、填空题
13、已知,则__________．
14、已知,分别为双曲线的左､右焦点,点P在双曲线上,若,,则双曲线的离心率为___________.
15、已知有序数对,满足,有序数对满足,定义,则D的最小值为__________．
16、在高为2的直三棱柱中,,若该直三棱柱存在内切球,则底面周长的最小值为___________.
四、解答题
17、已知数列是公比为2的等比数列,,,成等差数列．
（1）求数列的通项公式;
（2）若,设数列的前n项和,求证：．
18、在①,②,③．
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答．
已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,__________,且．
（1）求角C的值;
（2）求a的取值范围．
19、在底面为正三角形的三棱柱中,平面平面,,.
（1）证明：;
（2）求二面角的余弦值.
20、“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断,2017年10月18日,该理论写入中共19大报告,为响应总书记号召,我国某西部地区进行沙漠治理,该地区有土地1万平方公里,其中是沙漠（其余为绿洲）,从今年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的改造为绿洲,同时原有绿洲的 被沙漠所侵蚀又变成沙漠,设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．
（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系;
（2）判断是否是等比数列,并说明理由;
（3）至少经过几年,绿洲面积可超过？
21、已知椭圆C的焦点坐标为和,且椭圆经过点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若,椭圆C上四点M,N,P,Q满足,,求直线MN的斜率.
22、已知函数,,．
（1）求函数的单调区间;
（2）当时,方程有两个实根,求实数m的取值范围．
参考答案
1、答案：D
解析：为纯虚数,
,即.
故选：D.
2、答案：C
解析：由题意,当时, ,当,时, ,
当,时, ,
即C中有三个元素,
故选：C.
3、答案：A
解析：充分性：当时,直线与即为：与,所以两直线平行.故充分性满足;
必要性：直线与平行,则有：,解得：或.
当时,直线与即为：与,所以两直线平行,不重合;
当时,直线与即为：与,所以两直线平行,不重合;
所以或.
故必要性不满足.
故“”是“直线与平行”的充分不必要条件.
故选：A.
4、答案：C
解析：函数,,
或,
解得.
故选：C.
5、答案：D
解析：函数的图象向右平移个单位长度可得：
,
再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得,
对A,的最小正周期为,故A错误;
对B,所以不是函数的对称轴,故B错误;
对C,因为,所以,所函数是先减再增,故C错误;
对D,因为,所以,所以在区间上单调递增,故D正确;
故选：D.
6、答案：A
解析：过C作,设圆弧AC的圆心为O,半径为R,则,
在中,,所以,,
所以在直角三角形CDO中,,所以,所以,而,
所以,所以.
故选：A.
7、答案：D
解析：D在线段BC上,且,
,又E为线段AD上一点,若与的面积相等,
,E为AD的中点,
如图建立平面直角坐标系,则,,,,.
,
.
故选：D.
8、答案：C
解析：将数列分组为,,,,,…,
设满足的首次出现在第m组的第x个数的位置上,
则,,x,
此时数列共有项数为 ,
即得,解得 由于 ,
而,故,
又,故符合条件的m,的最小值为11,
则满足且的n的最小值为,
故选：C.
9、答案：ABC
解析：A选项,由于,所以存在直线且,
由于,所以,所以,所以A选项正确.
B选项,垂直于同一个平面的两条直线平行,所以B选项正确.
C选项,若,,则存在,,由于,所以,所以C选项正确.
D选项,若,,则可能与平行,D选项错误.
故选：ABC.
10、答案：ABC
解析：A.因为,所以,故正确
B.因为在上递增,则,因为在上递减,
则,所以,故正确;
C.因为,所以,,故正确;
D. 当时, ,故错误;
故选：ABC.
11、答案：ABD
解析：由题意知,设直线AB方程,,
联立,可得, ,
故,
则,
故当 时,的最小值为4,故A正确;
又 ,即M点纵坐标为2m,故 ,
当时,轴,NF在x轴上,此时 ;
当时, ,,故,
综合可知,,故B正确;
又点N到直线AB的距离为 ,
故 ,当 时,取最小值4,故C错误;
若直线AB的斜率为,则直线AB方程为,即 ,
则,
由于A在第一象限,故解得,
故,由于,同向,故,故D正确,
故选：ABD.
12、答案：ACD
解析：如图,以点D为原点建立空间直角坐标系,
设,,,
对于A,因为平面ABCD,平面ABCD,
所以,
又因,
所以平面,
又平面,所以,
当时,,此时,
要使平面EFG,只需即可,
,,
则,
则,即,
当时,,
故存点E,F,G,使得平面EFG,故A正确;
对于B,,
则,
要使,
只需要即可,
,,
,
,
则,
故,
因为,所以,
所以,
所以不存在点E,F,G,使得,故B错误;
对于C,因为平面EFG,
所以,
,,,,
则,,
则,所以,
要使最大,则,此时,
所以体积之和的最大值为,故C正确;
对于D,由B,,
则,
因为,
所以C到平面EFG的距离d满足,
所以,
所以,
,
,
所以,故D正确.
故选：ACD.
13、答案：
解析：
.
故答案为：.
14、答案：
解析：不妨假设点P在双曲线右支上,则,
由于,,故,
故,
而 ,
故 ,
故答案为：.
15、答案：
解析：对于有序数对,整理得,令,
则
对于有序数对,整理得,令,则,
根据切线的性质,当取最小值时,必有,令,得到,代入,得,
故点到直线的距离设为d,即D的最小值为,
则所求的D的最小值为
故答案为：.
16、答案：
解析：因为直三棱柱的高为2,设内切球的半径为,所以,所以,
又因为,所以设,,所以,
因为,所以周长的最小值即为面积的最小值,而,当且仅当 “”时取等.
当时,底面周长最小,所以,
所以,所以此时
周长的最小值：.
故答案为：.
17、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,,成等差数列,所以,
又因为数列的公比为2,所以,
即,解得,所以．
（2）由（1）知,则,
所以,①
,②
①-②得
．
所以．
又因为,
所以是递增数列,所以,所以．
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）选择条件①．
,
由正弦定理,得．
,,
,,
即, ．
,,,．
选择条件②．
由,得,
．
则由余弦定理,得．
,．
选择条件③．
,,
结合,得．
由正弦定理,得,即．
则由余弦定理,得．
,．
（2）,．
为锐角三角形,且,
,．
又,,．
由正弦定理,得,
,
,,即a的取值范围为．
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为,,
所以,则,
所以,即,
因为平面平面,平面平面,
所以平面平面,
因为平面平面,
所以平面,又平面,
所以;
（2）如图,以为原点,,所在直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,
设平面的法向量为,
则,即,取,则,
又因为x轴⊥平面ABC,所以取平面ABC的法向量,
所以,
由图可知,二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.
20、答案：(1)
(2)是等比数列,理由见解析.
(3)至少经过6年,绿洲面积可超过60%．
解析：（1）由题意得
,
所以;
（2）由（1）得,,
所以是等比数列.
（3）由（2）有,又,所以,
,即;
,即,两边取常用对数得：
,所以,
．
至少经过6年,绿洲面积可超过60%．
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知,,
设椭圆方程为,将点代入椭圆方程,
得,
解得（舍）,,
所以椭圆方程为.
（2）设,,,,,
因为,所以,即,
又,都在椭圆上,
所以,,
即,
②-①得,
即③,
又,同理得④
④-③得,
所以.
22、答案：（1）答案见解析;
（2）.
解析：（1）由题意知函数的定义域为,
因为,
所以．
①当时,在区间上恒成立,
所以函数的单调递增区间为,无单调递减区间．
②当时,
令,得,
令,得,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为．
（2）方程有两个实根,即关于x的方程有两个实根,
即函数有两个零点．
又,
令,由（1）得t是关于x的单调递增函数,且,
所以只需函数有两个零点．
令,得,
令,则,
易知当时,单调递增,
当时,单调递减,
所以当时,取得最大值．
又因为当时,,当时,,
,则函数的图象如图所示,
所以当,即时,函数有两个零点．
所以实数m的取值范围为