2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第63讲变量间的相关关系、统计案例（讲）（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第63讲变量间的相关关系、统计案例（讲）（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了变量间的相关关系，两个变量的线性相关，独立性检验等内容，欢迎下载使用。
思维导图
知识梳理
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)， eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
(3)通过求eq \a\vs4\al(Q＝\i\su(i＝1,n, )yi－bxi－a2)的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
(1)2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
(2)独立性检验
利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
题型归纳
题型1 相关关系的判断
【例1-1】对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
【解析】选C 由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．
【例1-2】(2019·郑州市第一次质量预测)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
根据表中数据，下列说法正确的是( )
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
【解析】选A 画出利润率与人均销售额的散点图，如图．由图可知利润率与人均销售额成正相关关系，故选A.
【跟踪训练1-1】已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
【解析】选C 因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，
故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝eq \(b,\s\up6(^))y＋eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))＞0，则z＝eq \(b,\s\up6(^))y＋eq \(a,\s\up6(^))＝－0.1eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(b,\s\up6(^))＋eq \(a,\s\up6(^))，故x与z负相关．
【跟踪训练1-2】在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝eq \f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0
C.eq \f(1,2) D.1
【解析】选D 所有样本点均在同一条斜率为正数的直线上，则样本相关系数最大，为1，故选D.
【跟踪训练1-3】变量X与Y相应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2