24.3 正多边形和圆 贵州省各地九年级数学期末试题选编(含答案)

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24.3 正多边形和圆 一、单选题1．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）已知四个正六边形按如图所示摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F均在上，连接．若两个大正六边形的边长均为4，两个小正六边形全等，则小正六边形的边长是（    ）A． B． C． D．2．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（    ）A．4 B．5 C． D．63．（2022秋·贵州黔西·九年级期末）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（    ）A． B． C． D．4．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于（    ）A．8 B．10 C．12 D．165．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于（    ）A． B． C． D．6．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）如图，四边形内接于，若，则（    ）A． B． C． D．7．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③连结．则的长是（    ）A． B． C． D．8．（2022秋·贵州黔西·九年级期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（    ）A．70° B．90° C．100° D．110°9．（2022秋·贵州黔南·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（　　）A．100° B．105° C．110° D．115°10．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　）A．2 B．2 C． D．4 二、填空题11．（2022秋·贵州黔东南·九年级期末）边长为2的正六边形的面积为             ．12．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，连接DF．若DF恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为      ．13．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为     ．14．（2022秋·贵州安顺·九年级期末）如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝         ．15．（2022秋·贵州黔西·九年级期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是       ．16．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）如图，扇形AOB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB=   °.  三、解答题17．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
参考答案：1．B【分析】在边长为4的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出和半径，进而得出小正六边形对应点的距离，再根据正六边形的性质求出半径，即边长即可．【详解】解：∵连接交于，∴点是圆心，过点作于，连接，取的中点，连接，，由对称性可知，，由正六边形的性质可得，，，由正六边形的性质可知，、、都是正三角形，，故选：B．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．2．C【分析】根据圆内接正多边形的特点求正六边形的面积即可；【详解】如图：求半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，∴该面积为：，故选：C．【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的性质，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．3．A【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，故选：A．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．4．C【分析】连接OA、OB、OC，根据正方形及正三角形的性质得出∠AOB==90°，∠AOC==120°，进而得出∠BOC=30°，即可得出n的值．【详解】如图，连接OA、OB、OC，∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三角形的边，∴∠AOB==90°，∠AOC==120°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，∴n==12，故选C.【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出∠BOC=30°是解题关键．5．A【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【详解】连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°，∵，∴∠CAB=∠DAB=35°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．D【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，∴∠C＝1800－400＝1400，故选D.【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补7．C【分析】如图（见解析），先根据六等分点可得是的直径，，再根据圆周角定理、勾股定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：如图，连接，是的六等分点，是的直径，，由圆周角定理得：，在中，，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，，又点是的中点，（等腰三角形的三线合一），在中，，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．8．C【分析】先根据圆内接四边形内对角的和为180度，解得的度数，再根据同圆中，同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半解题即可．【详解】四边形是的内接四边形，，，故选：C．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．B【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=130°，∴∠C=180°-130°=50°，∵AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=50°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=25°，∴∠BDC=180°-25°-50°=105°，故选B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．10．B【详解】分析：连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．详解：如图所示，连接OC、OB∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OC=OB，∴△BOC是等边三角形，∴∠OBM=60°，∴OM=OBsin∠OBM=4×＝2.故选B.点睛：考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．11．【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OG的长，再由△OAB的面积即可求解．【详解】解：∵此多边形为正六边形，∴∠AOB60°；∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴OG＝OA•＝2，∴S△OABAB×OG2，∴S六边形＝6S△OAB＝66．故答案为：6．【点睛】此题考查了学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，不仅要熟悉正六边形的性质，还要熟悉正三角形的面积公式．12．12【分析】连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．【详解】解：连接OA、OD、OF，如图，设这个正多边形为n边形，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，∴n==12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．13．1800°【详解】解：根据题意得：这个正多边形的边数为=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．故答案为1800°．14．【分析】结合正多边形和等边三角形的性质求解．【详解】解：根据题意，采用割补法，如图，边长为a的正六边形内的空白部分是一个边长为a的等边三角形∴∴故答案为：【点睛】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．15．120°【分析】根据圆内接四边形的对角互补，得∠A =180°- ∠BCD =60°，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠BOD=2∠A=120°.【详解】∵∠BCD＝120°，∴∠A =180°- ∠BCD =60°，∴∠BOD=2∠A=120°.故答案为120°.【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质.16．119【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠ADB的度数；又因为四边形ADBC是圆内接四边形，可知圆内接四边形对角互补，据此进行求解即可.【详解】如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=122°，∴∠ADB=∠AOB=×122°=61°，∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB=180°-61°=119°．故答案为119．【点睛】本题考查的是圆周角定理以及圆内接四边形的性质，作出正确的辅助线是解题关键.17．(1)(2) 【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【详解】（1）解：连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴．（2）解：连接PO，OB，如图所示：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为的中点，∴，∴，∴n＝360÷45＝8．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．