24.3 正多边形和圆 人教版数学九年级上册素养基础达标(含答案) 试卷

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24.3正多边形和圆【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册  基础知识梳理18.正多边形和圆正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.正n边形的对称性正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且圆心相同.正多边形的中心正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.如点O正多边形的半径外接圆的半径叫做正多边形的半径.如OD，OC正多边形的边心距正多边形中心到每条边的距离叫做正多边形的边心距.如OE正多边形的中心角正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于.如∠DOC圆内接正n边形面积公式：圆内接正多边形的辅助线1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形.19.正多边形内角计算公式正多边形的边数内角中心角外角n   素养基础达标一．选择题（共10小题）1．如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为　　A． B． C． D．2．如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则　　A． B． C． D．3．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为　　A． B．3 C． D．4．阅读理解：如图1，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点的极坐标应记为　　A． B． C． D．5．如图，一个蜂巢巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为　　A． B． C． D．6．如图，点是正六边形的中心，边心距，则正六边形的面积为　　A．6 B． C． D．87．如图，在边长为的正六边形中，连接，，相交于点，若点，分别分别为，的中点，则的长为　　A．6 B． C．8 D．98．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为　　A． B． C． D．9．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为　　A． B． C． D．10．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的3倍，则这个多边形的边数是　　A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（共8小题）11．如图，正六边形的半径为1，点在边上运动，连接，则的长度可以是 　　（只写出一个满足条件的值即可）．12．一枚圆形古钱币的中间是一个边长为的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍，则圆的半径为 　　．13．已知一个正多边形的中心角为，边长为5，那么这个正多边形的周长等于 　　．14．如图，在拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长为 　　．15．如图，的半径为6，如果弦是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边，那么弦的长为　　．16．已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为 　　．17．若一个圆的内接正六边形的边长为2，则这个圆的半径是 　　．18．如图，已知圆内接正六边形的边心距等于，则的周长等于 　　．三．解答题（共8小题）19．一个圆内接正方形的边心距为，求该圆的外切正六边形的边长．20．如图，正八边形的外接圆的半径为2，求正八边形的面积．21．如图所示，求半径为2的圆内接正方形的边心距与面积．22．已知圆外切正四边形的边长为6，求该圆的内接正三角形的边心距．23．如图，正五边形中，对角线、相交于，求证：（1）是等腰三角形；（2）四边形是等腰梯形；（3）四边形是菱形．24．已知一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求这两个正多边形的边长的比．25．如图，正方形的外接圆是正方形的内切圆，试求的值．26．计算边长为3的等边三角形外接圆半径为和圆心到边的距离．
24.3正多边形和圆【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册  基础知识梳理18.正多边形和圆正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.正n边形的对称性正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且圆心相同.正多边形的中心正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.如点O正多边形的半径外接圆的半径叫做正多边形的半径.如OD，OC正多边形的边心距正多边形中心到每条边的距离叫做正多边形的边心距.如OE正多边形的中心角正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于.如∠DOC圆内接正n边形面积公式：圆内接正多边形的辅助线1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形.19.正多边形内角计算公式正多边形的边数内角中心角外角n   素养基础达标一．选择题（共10小题）1．如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为　　A． B． C． D．【答案】【分析】由正六边形的性质得出，由圆周角定理求出．【解答】解：连接，，多边形是正六边形，，，故选：．2．如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据正多边形的内角的性质解决此题．【解答】解：如图：正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角相等且分别为、、、，，，．，．故选：．3．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的边长为　　A． B．3 C． D．【答案】【分析】连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长为3．【解答】解：连接、，如图：的周长等于，的半径，六边形是正六边形，，是等边三角形，，即正六边形的边长为3，故选：．4．阅读理解：如图1，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点的极坐标应记为　　A． B． C． D．【答案】【分析】设正六边形的中心为，连接，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再求出，然后根据“极坐标”的定义写出即可．【解答】解：如图，设正六边形的中心为，连接，，，是等边三角形，，，，正六边形的顶点的极坐标应记为．故选：．5．如图，一个蜂巢巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据正六边形的性质证得是等边三角形，即可求得正六边形的边长．【解答】解：连接，，、交于点，如图2， 六边形是正六边形，的长约为，，，约为，约为，故选：．6．如图，点是正六边形的中心，边心距，则正六边形的面积为　　A．6 B． C． D．8【答案】【分析】连接、．根据正六边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，连接、．六边形是正六边形，，，，，，，，，，，故选：．7．如图，在边长为的正六边形中，连接，，相交于点，若点，分别分别为，的中点，则的长为　　A．6 B． C．8 D．9【答案】【分析】连接，过点作于，根据正六边形的性质可得，然后根据含角直角三角形的性质可得的长，由勾股定理可得的长，再利用三角形中位线定理可得答案．【解答】解：连接，过点作于，在正六边形中，，，，，，，，，，点，分别分别为，的中点，是的中位线，，故选：．8．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的面积为　　A． B． C． D．【答案】【分析】连接、，根据圆的周长得到圆的半径，再利用正六边形的性质即可解答．【解答】解：连接、，作于点，的周长等于，的半径为：，六边形是正六边形，，是等边三角形，，，，，故选：．9．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则的度数为　　A． B． C． D．【答案】【分析】根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，根据周角的定义即可得到结论．【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于，，，，故选：．10．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的3倍，则这个多边形的边数是　　A．6 B．7 C．8 D．9【答案】【分析】根据“多边形的内角与其相邻外角互补”可求出这个外角的度数，再根据正多边形的外角和是即可求出答案．【解答】解：这个内角相邻的外角为，则这个内角为，由题意得，，解得，由正多边形的外角和是，所以这个正多边形的边数为（条，故选：．二．填空题（共8小题）11．如图，正六边形的半径为1，点在边上运动，连接，则的长度可以是 　1.8（答案不唯一，只要符合即可）．　（只写出一个满足条件的值即可）．【答案】1.8（答案不唯一，只要符合即可）．【分析】设正六边形的中心为，连接，，，，，根据正六边形的性质得和为等边三角形，然后可由勾股定理求出，进而得，再求出，根据在边上运动得，最后在这个的范围内取一个值即可．【解答】解：设正六边形的中心为，连接，，，，根据正六边形的性质得：经过点，，，为等边三角形，，同理：为等边三角形，，又，，，，在中，，，由勾股定理得：，，又，，在边上运动，，即：，．故答案为：1.8（答案不唯一，只要符合即可）．12．一枚圆形古钱币的中间是一个边长为的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍，则圆的半径为 　　．【答案】．【分析】根据正方形面积是圆面积的，列出方程即可得到结论．【解答】解：设圆的半径为，由题意得．，故答案为：．13．已知一个正多边形的中心角为，边长为5，那么这个正多边形的周长等于 　40　．【答案】40．【分析】先利用中心角求出正多边形的边数，再利用正多边形的性质求出正多边形的周长．【解答】解：该正多边形的中心角为，正多边形的边数为：，该正多边形的周长为．故答案为40．14．如图，在拧开一个边长为的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长为 　40　．【答案】40．【分析】如图，连接、，过作于．解直角三角形求出即可．【解答】解：如图，连接、，过作于．，，是等边三角形，，，，，，，故答案为：40．15．如图，的半径为6，如果弦是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边，那么弦的长为　　．【答案】．【分析】连接、、，作于点，根据是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边得到，，从而得到，然后求得的长即可．【解答】解：连接、、，作于点，是内接正方形的一边，弦是内接正十二边形的一边，，，，，，，，，故答案为：．16．已知是的内接正三角形，的半径是，则边心距的值为 　　．【答案】．【分析】先在图上作出边心距对应的线段，连接，在直角中，，求出的长即可．【解答】解：是的内接正三角形，，过作于，连接，则长为边心距，在直角中，，．故答案为：．17．若一个圆的内接正六边形的边长为2，则这个圆的半径是 　2　．【答案】2．【分析】证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可解决．【解答】解：如图，在正六边形内，，，易证，同理，，是等边三角形，，故答案为：2．18．如图，已知圆内接正六边形的边心距等于，则的周长等于 　　．【答案】．【分析】根据圆内接正六边形的边心距与半径的关系，求出圆的半径，再由圆的周长公式进行计算即可．【解答】解：如图，连接，圆内接正六边形的边心距，，在中，，，的周长为．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．一个圆内接正方形的边心距为，求该圆的外切正六边形的边长．【分析】直接利用正方形的性质得出，的长，再利用锐角三角函数关系以及正六边形性质求出答案．【解答】解：如图所示：过点作正方形边长于点，并延长到圆上一点，连接，，由题意可得：，则，故，可得：，故，则该圆的外切正六边形的边长为：．20．如图，正八边形的外接圆的半径为2，求正八边形的面积．【分析】根据正八边形的性质得出，，进而得出的长，即可得出的面积，进而得出答案．【解答】解：连接，，，，正八边形的外接圆半径为2，，，，，此时与垂直，，正八边形面积为：．21．如图所示，求半径为2的圆内接正方形的边心距与面积．【分析】根据题意首先求出、的长，即可解决问题．【解答】解：如图，四边形是的内接正方形，；而，；而，，，，，，故半径为2的圆内接正方形的边心距与面积分别为，8．22．已知圆外切正四边形的边长为6，求该圆的内接正三角形的边心距．【分析】连接，过点作于点，根据圆的外切正方形的边长为可知，根据直角三角形的性质可得出的长．【解答】解：连接，过点作于点，圆的外切正方形的边长为6，．是正三角形，，．23．如图，正五边形中，对角线、相交于，求证：（1）是等腰三角形；（2）四边形是等腰梯形；（3）四边形是菱形．【分析】（1）根据正五边形的性质求出，，再根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理得出的度数，故可得出，由此可得出结论；（2）先根据正五边形的性质求出其内角的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，的度数，由平行线的判定定理得出，再由即可得出结论；（3）由（1）知，，，故，由（2）知，，，所以，由此可得出结论．【解答】解：（1）五边形为正五边形，，．，，，，，是等腰三角形； （2）由（1）知，，．，，．，四边形是等腰梯形； （3）由（1）知，，，．由（2）知，，，，四边形是菱形．24．已知一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求这两个正多边形的边长的比．【分析】根据题意画出图形，分别设出边长并表示出面积后即可利用面积相等得到答案．【解答】解：设正三角形的边长为，则正六边形的边长为；过作于，则，，；连接、，过作；，，，，，，解得：．这两个正多边形的边长的比为．25．如图，正方形的外接圆是正方形的内切圆，试求的值．【分析】设大正方形的边长为1，那么圆的直径为1，根据“正方形的面积边长边长”求出大正方形的面积，从而得出的面积：，即可得出正方形的面积：，再根据相似得出边之比．【解答】解：如图，大正方形的边长为1，则，则，，正方形正方形，．26．计算边长为3的等边三角形外接圆半径为和圆心到边的距离．【分析】连接，作于，由才知道了得出，由等边三角形的性质得出，由三角函数得出，由含角的直角三角形的性质得出即可．【解答】解：如图所示，连接，作于，则，，是等边三角形，，，；即外接圆半径为，圆心到边的距离为．