初中数学人教版九年级上册24.4 弧长和扇形面积第1课时教案

这是一份初中数学人教版九年级上册24.4 弧长和扇形面积第1课时教案，共15页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
二、教学重难点
重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
三、教学过程
【新课导入】
[复习回顾]生活里有好多物品或者建筑都呈现出流畅的圆弧形，小学已经学过了有关圆的周长和面积公式，你还记得吗？
圆的周长公式：2πR或πd（R表示圆的半径，d表示圆的直径）
圆的面积公式：πR2
【新知探究】
弧长
[思考]弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分；扇形是圆的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？
[思考]问题1 如图所示，在半径为R的⊙O上，有两动点A、B，当A、B两点在圆上运动时，想一想弧AB的长度与什么因素有关？
与∠AOB的大小有关
当∠AOB＝360°时，弧AB的长表示什么意思？
⊙O的周长，即l＝2πR
当∠AOB＝1°时呢？弧AB的长与整个圆的周长是什么关系？
此时弧AB的长是整个圆的周长的1360，即l= 1360×2πR.
当∠AOB＝2°时，弧AB的长呢？
弧AB的长是整个圆的周长的2360，即l ＝2360×2πR.
当∠AOB＝n°时，弧AB的长呢？
弧AB的长是整个圆的周长的n360，即l＝n360×2πR
[归纳总结]
弧AB的长l＝n360×2πR=nπR180，这就是弧长的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径.
弧长公式：在半径为R的圆中，nº的圆心角所对的弧长:l＝n360×2πR=nπR180.
注意：
（1）在应用弧长公式l＝n360×2πR=nπR180,进行计算时，要注意公式中n的意义,n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L.(结果取整数)
解：由弧长公式，可得AB的长
l=100×900×π180=500π≈1570 (mm),
因此所要求的展直长度L =2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
（二）扇形面积
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.
如图，阴影部分是一个扇形，记作扇形OAB.
[思考]问题2 你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？试试看吧！
类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形AOB的面积也与圆心角∠AOB的大小有关：当∠AOB＝360°时，扇形AOB的面积就是整个圆的面积，即S=πR2.
当∠AOB＝1°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的1360，即S= 1360×πR2.
当∠AOB＝2°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的2360，即S= 2360×πR2.
当∠AOB＝n°时，扇形AOB的面积就是整个圆面积的n360，即S= n360×πR2.
[归纳总结]
扇形AOB的面积S= n360×πR2，这就是扇形面积的计算公式，其中n表示弧AB所对的圆心角的度数，R表示弧AB所在圆的半径.
[思考]现在我们从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式l=nπR180和扇形面积的计算公式S=nπR2360，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？
都含有π；都与圆心角度数n有关；都与圆的半径R有关……
实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？
因为S=nπ R2360=12×nπR180×R，而l＝nπR180，所以S=12lR .
例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.
∵OC＝0.6, DC＝0.3, ∴OD＝OC- DC＝0.3，∴OD＝DC.
又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
从而∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB- SΔOAB
[归纳总结]弓形的面积公式
S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形
【课堂小结】
【课堂训练】
1.运用弧长计算公式解决下列各题：
（1）半径为3cm，圆心角为30°的弧长为π2cm；
（2）半径为6cm，圆心角为120°的弧长为4πcm；
（3）半径为4cm，长度为2π的弧所对的圆心角是90度；
（4）圆心角为150°，长度为5π的弧所在圆的半径是6.
2.运用扇形面积计算公式解决下列各题：
（1）半径为3cm，圆心角为30°的扇形面积为3π4cm2；
（2）半径为6cm，圆心角为120°的扇形面积为4πcm2；
（3）半径为4cm，面积为4π的扇形所对应的圆心角是90 °；
（4）圆心角为150°，面积为的扇形所在圆的半径是2.
3.（1）如图（1），以△ABC的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则图中阴影部分的面积
是12π；
（2）如图（2），若将三角形改为四边形，其他条件不变，则阴影部分的面积是π；
（3）若改为n边形，其他条件不变，则阴影部分的面积是n-22π.
解：（1）设三角形三个内角度数分别为x1，x2，x3 ∴x1 + x2 + x3 =180°
又∵半径为1
∴S阴影=x1360×π×12+x2360×π×12+x3360×π×12
​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​=x1+x2+x3360×π×12=180360×π×12=12π
（2）设四边形四个内角度数分别为x1，x2，x3 ，x4 ∴x1 + x2 + x3 + x4 =360°
又∵半径为1
∴S阴影=x1360×π×12+x2360×π×12+x3360×π×12+x4360×π×12
​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​=x1+x2+x3+x4360×π×12=3600360×π×12=π
（3）设n边形n个内角度数分别为x1，x2，x3 ，… ，xn
∴x1 + x2 + x3 +… + xn=180°（n-2）
又∵半径为1
∴S阴影=x1360×π×12+x2360×π×12+x3360×π×12+⋯+xn360×π×12
​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​=x1+x2+x3+⋯+xn360×π×12=180(n-2)360×π×12=n-22π
【布置作业】

【教学反思】
教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活割补法、转换法等.