广东省珠海市紫荆中学2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题(含答案)

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1.下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
2.用配方法解方程x2+6x+4=0时，原方程变形为（ ）
A.(x+3)2=9 B. (x+3)2=13 C. (x+3)2=5 D. (x+3)2=4
3.二次函数y=﹣x2的图象向右平移2个单位，向上平移5个单位，则平移后的二次函数解析式为（ ）
A.y=﹣(x+2)2+5 B.y=﹣(x+2)2﹣5 C.y=﹣(x﹣2)2+5 D.y=﹣(x﹣2)2﹣5
4.若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k≥1且 k≠0 B.k≥﹣1 C.k>﹣1 D.k>﹣1且k≠0
5，如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接 BE，则 BE 的长为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2

第5题 第7题 第9题
6.已知二次函数y=3(x﹣1)2+1的图象上有A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）三个点，则y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A. y1 ＞y2＞ y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞ y2 D. y3＞y2＞y1
7，如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO.若OC：OB=3：5，则DE的长为（ ）
A.3 B. 4 C. 6 D. 8
8，某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A.289(1﹣x) 2=256 B.256(1﹣x) 2=289 C.289(1﹣2x) 2=256 D.256(1﹣2x) 2=289
9.在直径为10cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽AB为6cm，当油面宽AB为8cm时，油上升了（ ）厘米
A.1 B.7 C.1或7 D.3或4
10.已知抛物线 y=ax2+bx+c（a<0），经过点（﹣3，0）（1，0）.判断下列结论：①abc>0；
②a﹣b+c<0；③若m是任意实数，则am2+b≤ a﹣bm；④方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根；⑤无论a、b、c取何值，抛物线定过（，0）其中正确结论的个数（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11.抛物线y=(x﹣2)2﹣5的顶点坐标是_____
12.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣=0两个根为x1、x2，则x1+x2=____
13.已知 m 是一元二次方程x2﹣x﹣2=0 的一个根，则 2022+m2﹣m=_____
14.如图，在平面直角坐标系中，若直线 y=mx+n与抛物线 y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p）、B（2，q）则关于x的不等式mx+n15.如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为_____
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α（0° <α<180°）
得到△ABC'，BC交AB'于点F，连接BB'，则当△BB'F是等腰三角形时，旋转角α=_____

第14题 第15题 第16题
三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7分，共21分。
17.解方程x2﹣4x﹣5=0.
18.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系xOy后，点 A 的坐标为（﹣6，1）.
（1）作出△ABC关于点O中心对称的△DEF，直接写出△DEF的三个顶点的坐标
（2）将Rt△ABC绕点（﹣1，﹣1）顺时针旋转90°得到Rt△A1B1C1，画出Rt△A1B1C1，并直接写出线段CC1的长.
19.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”。
已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
20.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x++k=0.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值.
21、如图，已知⊙O中弦 AB=8，点P是AB上一动点，连接AP，BP，过点 O作 OC⊥PA于点C，OD⊥PB 于点 D，连接 CD.
（1）若点P运动到的中点，此时点P到弦AB的距离为2，求⊙O的半径；
（2）在点P运动过程中，线段CD的长是否发生改变？如果不变，求出线段CD的长；如果改变，请说明理由.
22.某工厂产品每件进价为25元，当售价为每件30元时，每天可售出220件，突如其来的新冠疫情影响了经济效益，在复工复产时对产品价格进行了调整，如果每件商品涨价1 元，每天就会少卖4件.
（1）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2700元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？
（2）在进价不变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案：方案A：每件商品涨价不超过26元；方案B：每件商品的利润至少为31元.请比较哪种方案的利润更大，并说明理由.
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
23.在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°.AB=AC，BC=6，D是线段BC 上的动点，M为AC中点.
（1）如图（1），若将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AF，连接CF，DF，MF，在点D的运动过程中，解决如下问题：
①【猜想证明】CF与DB的关系是______________
②【探究应用】求△CDF周长的最小值
③【探究应用】当MF取最小值时，求CD的长
（2）【拓展提升】如图（2），若 D、E 为线段 BC 上的两个动点，且 DE2=BD2+CE2，求∠DAE 的度数
24.如图，二次函数y=x2+bx +c 的图象与x轴交于 A，B 两点，与y轴交于C点，其中B（1，0）.
C（0，3）.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P是二次函数上一动点，过点P作 PQ//y轴交直线AC于点 Q，连接CP，将△PCQ沿PC折叠，当Q的对应点Q'恰好落在y轴上时，请求出点Q的坐标；
（3）在二次函数的图象上，是否存在点M.使得∠MCA=∠OCB？若存在，请求出M点坐标：若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. （2，﹣5）
12. 3
13. 2024
14. ﹣1＜x＜2
15. 7
16. 12°或36°
三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7分，共21分。
17.解：∵x2﹣4x﹣5=0.
∴(x+1) (x﹣5) =0
∴x1=﹣1， x2=5
18.解：（1）如图所示：
D(6﹣1) ，E(3，1) ， F(3，﹣3)
（2）如图所示：
CC1==2
19.解：连接CM
∵ y=x2﹣2x﹣3
∴ 点D（0，﹣3）
∴ OD=3
令y=0
∴ x2﹣2x﹣3=0
解得：x1=﹣1， x2=3
∴OA=1，OB=3，AB=4
∴ 点M（1，0），AM=MC=2
在Rt△COM中
OC= = =
∴CD= OC+ OD=3+
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
20. （1）证明：∵关于x的一元二次方程为x2﹣(2k+1)x+ k2+k=0.
∴△ =b2﹣4ac
= [﹣(2k+1)]2﹣4(k2+k)
= 4k2+4k +1﹣4k2﹣4k
=1>0
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：∵关于x的一元二次方程为x2﹣(2k+1)x+ k2+k=0.
∴(x﹣k) [ x ﹣(k+1) ]=0
∴x1= k， x2= k+1
当△ ABC是直角三角形时，分两种情况讨论如下：
当BC=5为直角边时，k2+52=(k+1) 2，
解得：k=12；
当BC=5为斜边时，k2+(k+1) 2=52，
解得：k1=3，k2=﹣4（根据边长为正判断不合题意，舍去）
∴k=12或k=3.
21、解：（1）连接OP交AB于点E，连接OA如图所示
∵P是的中点
∴OP⊥AB，PE=2
∵ AB=8
∴AE=4
设OA=OP= x，OE= x﹣2
在Rt△OEA中
OE2+ AE2=OA2
(x﹣2) 2+42= x2
x=5
∴⊙O的半径为5
（2）线段CD的长不变，理由如下：
∵OC⊥PA，OD⊥PB
∴AC=CP，BD=PD
∴CD// AB，CD=AB
∴ CD=×8=4
22. 解：（1）设该商品应涨价x元，依题意得：
(30﹣25+x) (220﹣4x) =2700
整理得：x2﹣50x+400=0
解得：x1=10， x2=40
∵销量尽可能大
∴该商品应涨价10元
（2）设销售该商品获得的利润为W元，涨价x元。
∴W=(30﹣25+x) (220﹣4x)
=﹣4x2+200x+1100
=﹣4(x﹣25) 2+3600
方案A：每件商品涨价不超过26元，即 x≤21
∵﹣4＜0
∴x=21时，利润最大，最大利润为W =﹣4(21﹣25) 2+3600=3544元
方案B：每件商品的利润至少为31元，x≥26
∵﹣4＜0
∴x=26时，利润最大，最大利润为W =﹣4(26﹣25) 2+3600=3596元
∵3596＞3544
∴方案B的利润更大
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
23.解（1）①CF=DB，CF⊥DB，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵∠DAF=90°
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC
即∠BAD=∠CAF
∵AD=AF
∴△ABD≌△ACF
∴CF=DB，∠ABD=∠ACF=45°
∴∠DCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°
∴CF=DB，CF⊥DB
②由①知：CF=DB，∠DCF=90°
∴CF+CD= DB+CD=BC=6
设CF=DB= x，则CD=6﹣x
∴DF2= CF2+ CD2= x 2+(6﹣x) 2=2(x﹣3) 2+18
∴当x=3时，DF2的最小值为18
∴DF的最小值为3
∴△CDF周长的最小值6+3
③作EF⊥AC于点E，如图所示：
∵∠BAC=90°.AB=AC，BC=6
∴ AC=×6=3
∵M为AC中点
∴MC=
由①知：∠ACF=45°，
∴△CEF为等腰直角三角形
设CE=EF= x，则ME=﹣ x
∴MF2= EF 2+ ME2= x 2+(﹣x) 2=2(x﹣) 2+
∴ x=时，MF取最小值
此时：DB =CF=CE=×=
∴CD=6﹣=
（2）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AF，连接CF，EF如图所示：
由（1）①知：CF=DB, ∠DCF=90°
∴CF2+CE2=EF2
∵DE2=BD2+CE2
∴DE= EF
∵AD=AF, AE= AE
∴△ADE≌△AEF
∴∠DAE=∠FAE=45°
24.解：（1）将点B（1，0），C（0，3）代入y=x2+bx +c得
解得：
∴二次函数的表达式：y=x2﹣4x +3
（2）令y=0
∴ x2﹣4x +3=0
解得：x1=1， x2=3
∴点A(3，0)
∴OA=OC=3
∴∠OCA=∠OAC=45°
设直线AC:y=kx+b
∴
解得：
∴直线AC:y= - x+3
设点Q的坐标为（m，- m+3）,则点P(m，m 2﹣4m +3）
当点Q'在点C下方时，过点Q作QE⊥y轴于点E，如图所示：
则QP=- m+3-（m 2﹣4m +3）=- m 2+3m
∵ Q，Q'关于PC对称
∴∠OCP=∠QCP
∵PQ//y
∴∠OCP=∠QPC
∴∠QCP=∠QPC
∴CQ=QP
∵∠OCA=45°，∠CEQ=90°
∴QE= m，CQ=QE=m
∴- m 2+3m=m
解得：m1=0（舍去），m2=3-
∴Q1（3- ，）
②当点Q'在点C上方时，过点P作PE⊥y轴于点E，PF⊥AC于点F，如图所示：
则QP= m 2﹣4m +3-（- m+3）= m 2- 3m
∵ Q，Q'关于PC对称
∴∠Q'CP=∠QCP
∵ PE⊥CE，PF⊥AC
∴PE= PF= m
∵PQ//y
∴∠PQC=∠OCA=45°
∴△PFQ为等腰直角三角形
PQ=PF=m
∴ m 2- 3m=m
解得：m1=0（舍去），m2=3+
∴Q2（3+，-）
综上所述：Q的坐标为（3- ，）或（3+，-）
（3）存在，理由如下
①将线段BC绕点B顺时针绕旋转90°得线段BE，过点E作EF⊥x轴于点F,如图所示：
则△CBE为等腰直角三角形
∴∠CEB=∠OCA=45°
∴∠OCB=∠ACE
∴直线CE与二次函数y=x2﹣4x +3的交点就是M
∵∠CBE=90°
∴∠CBO+∠EBF=90°
∵∠CBO+∠OCB=90°
∴∠OCB=∠EBF
∵∠COB=∠BFE=90°,CB=BE
∴△COB≌△BFE
∴ FE= OB=1, CO=BF=3
∴OF=4
∴点E(4,1)
设直线CE：y1=kx+b
∴
解得：
∴直线CE：y1=﹣x+3
令y1=y
∴﹣x+3 =x2﹣4x +3
整理得： x2﹣x=0
解得：x1=0（舍去）， x2=
∴M(，)
②作点E关于A的中心对称点G, 如图所示：
则∠GCA=∠ECA=∠OCB
设点G（a，b）
∵点E(4,1), A(3，0 )
∴a+4=6, b+1=0
∴a=2, b=﹣1
∴点G（2，﹣1）
设直线CG：y2=kx+b
∴
解得：
∴直线CG：y2=﹣2x +3
令y2=y
∴ x2﹣4x +3=﹣2x +3
∴ x2﹣2x=0
解得：x1=0（舍去）， x2=2
∴点M（2, ﹣1）
综上所述：M的坐标为(，)或（2, ﹣1）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
C
C
D
A
D
D
A
C
C