九年级上册期末综合测试卷（A卷）-2023-2024学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）。
1．方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3
【答案】D
【解答】解：∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：D．
2．下面左侧几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：从左面看，是一个长方形．
故选：C．
3．如果＝2，则的值是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【答案】A
【解答】解：∵＝2，
∴a＝2b，
∴＝＝3．
故选：A．
4．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ）
A．20B．30C．40D．50
【答案】B
【解答】解：根据题意得＝0.4，
解得：n＝30，
故选：B．
5．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【答案】B
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
6．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．300（1+x%）2＝950B．300（1+x2）＝950
C．300（1+2x）＝950D．300（1+x）2＝950
【答案】D
【解答】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，
列出方程为：300（1+x）2＝950．
故选：D．
7．若点（1，﹣3）、（﹣2，m）都是反比例函数y＝（k≠0）的图象上的点，则m的值是（ ）
A．B．C．6D．﹣6
【答案】B
【解答】解：∵点（1，﹣3）是反比例函数y＝（k≠0）的图象上的点，
∴k＝﹣3×1＝﹣3
∴反比例函数解析式：y＝
∵点（﹣2，m）都是反比例函数y＝的图象上的点，
∴m＝
故选：B．
8．如图，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，则∠ADB的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∴∠ADB＝×140°＝70°，
故选：D．
9．如图，DE∥BC，CD与BE相交于点O，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB＝（）2＝1：4，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
故选：C．
10．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
【答案】B
【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，
∴，解得x＝45（尺）．
故选：B．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0B．2a+b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0
【答案】D
【解答】解：抛物线开口向上，得：a＞0；
抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；
对称轴x＝﹣＞0，
所以b＜0；
所以abc＞0；
由图象可知：0＜﹣＜1，
所以﹣b＜2a，即2a+b＞0；
由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0；
由图可知：当x＝1时，y＜0，
所以a+b+c＜0；
故选：D．
12．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（ ）
A．①③B．②③C．②③④D．②④
【答案】B
【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM；
②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF＝OC，
∴∠OCF＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD＝90°，
∴∠GFM+∠AMD＝90°，
∴∠FGM＝90°，
∴AH⊥EF．
③正确．∵AD∥BH，
∴∠DAP＝∠H，
∵∠DAP＝∠PCM，
∴∠PCM＝∠H，
∵∠CPM＝∠HPC，
∴△CPM∽△HPC，
∴＝，
∴PC2＝PM•PH，
根据对称性可知：PA＝PC，
∴PA2＝PM•PH．
④错误．∵四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC＝2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1；
故选：B．
填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
13．若＝3，则＝ ．
【答案】．
解：∵＝3，
【解答】解：∵＝3，
∴设a＝3k，b＝k（k≠0），
∴＝＝．
故答案为：．
14．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个．
【答案】15
【解答】解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例为＝0.6，
设盒子中共有白球x个，则＝0.6，
解得：x＝15，
故答案为：15．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m为常数，且k≠0）的图象如图所示，交于点M （﹣，2）、N （2，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是 ．
【答案】﹣＜x＜2
【解答】解：当﹣＜x＜2时，ax2+bx+c＜kx+m，
所以不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＜0的解集为﹣＜x＜2．
故答案为﹣＜x＜2．
16．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为 ．
【答案】﹣2020
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2022，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2022﹣（﹣1）+1＝﹣2020．
故答案为：﹣2020．
17．如图，矩形ABCD的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且OA＝3，OB＝2，对角线AC、BD交于点G，若曲线y＝（x＞0）经过点C、G，则k＝ ．
【答案】
【解答】解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，
∴CE∥GF，
设C（m．n），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AG＝CG，
∴GF＝CE，EF＝（3﹣m），
∴OF＝（3﹣m）+m＝+m，
∴G（，n），
∵曲线y＝（x＞0）经过点C、G，
∴mn＝×n，
解得m＝1，
作CH⊥y轴于H，
∴CH＝1，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBH+∠ABO＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
∵∠AOB＝∠BHC＝90°，
∴△AOB∽△BHC，
∴＝，即＝，
∴BH＝，
∴OH＝+2＝，
∴C（1，），
∴k＝1×＝；
故答案为．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为 ．
【答案】7
【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
又∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
又∠ACB＝∠AMF＝∠CFM＝90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF＝5，
∴OF＝CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC＝6，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2＝OC2，
解得：CF＝OF＝6，
∴FB＝OM＝OF﹣FM＝6﹣5＝1，
则BC＝CF+BF＝6+1＝7．
故答案为：7．
解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM＝ON，MA＝NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC＝6，
∴CM＝ON＝6．
∴MA＝CM﹣AC＝6﹣5＝1，
∴BC＝CN+NB＝6+1＝7．
故答案为：7．
解答题（本题共8题，19-21题8分，22-24题10分，25题12分）。
19．解方程：x2﹣6x﹣16＝0．
【解答】解：原方程变形为（x﹣8）（x+2）＝0
x﹣8＝0或x+2＝0
∴x1＝8，x2＝﹣2．
20．在一个不透明的箱子中装有2个红球、n个白球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若每次摸球前先将箱子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么估计箱子里白球的个数n为 ；
（2）如果箱子里白球的个数n为1，小亮随机从箱子里摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，请用画树状图或列表法求两次均摸到红球的概率．
【解答】解：（1）根据题意知，＝0.25，
解得：n＝5，
经检验n＝5是分式方程的解，
即估计箱子里白球的个数n为5，
故答案为：5；
（2）列表得
摸球的结果共有12种等可能结果，其中两次均摸到红球的有2种结果，
∴P（两次均摸到红球）＝＝．
22．如图，是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．
（1）请画出路灯灯泡的位置（用字母O表示）；
（2）在图中画出路灯灯杆（用线段OC表示）；
（3）若左边树AB的高度是4米，影长是3米，树根B离灯杆底的距离是1米，求灯杆的高度．
【解答】解：（1）如图所示：O即为所求；
（2）如图所示：CO即为所求；
（3）由题意可得：△EAB∽△EOC，
则＝，
∵EB＝3m，BC＝1m，AB＝4m，
∴＝，
解得：CO＝，
答：灯杆的高度是 米．
23．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为：（300﹣10x）．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）＝3750，
整理，得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
24．如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E和F，EF交AC于点O．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝8，EF＝6，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵EF垂直平分AC，
∴AF＝FC，AE＝EC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴∠FCA＝∠ACB，
∵∠FCA+∠CFE＝90°，∠ACB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴AF＝FC＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形．
证法二：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠AFO＝∠CEO，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，
∴△AOF≌△COE，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形
∴OC＝AC＝4，OE＝EF＝3
∴CE＝＝＝5，
∵∠COE＝∠ABC＝90，∠OCE＝∠BCA，
∴△COE∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝．
25．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点D，与y轴交于点C，经过点C的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣6，0）、B两点，顶点为E．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）连接DE，求tan∠CDE的值；
（3）设P为抛物线上一动点，Q为直线CD上一动点，是否存在点P与点Q，使得以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】（1）解：对于y＝x+3，由x＝0，得y＝3，
∴C（0，3）
∵抛物线过点A（﹣6，0）、C（0，3）
解得：
∴该抛物线为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）解：由y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+2）2+4得顶点E（﹣2，4）
过点E分别作EF⊥x轴于F，作EG⊥y轴于G，连接EC，
则EF＝4，DF＝2，EG＝2，CG＝1
∴＝＝
∵∠DFE＝∠CGE＝90°
∴△DFE∽△CGE
∴∠DEF＝∠CEG，＝＝．
∵∠CEG+∠CEF＝90°，∠DEF+∠CEF＝90°
∴∠DEC＝90°，
∴tan∠CDE＝＝；
（3）设Q（m，m+3）
①若DE为平行四边形的一边，且点P在点Q的上方
∵D（﹣4，0），E（﹣2，4），Q（m，m+3）
∴P（m+2，m+7），代入抛物线得：m+7＝﹣（m+2）2﹣（m+2）+3，
解得m1＝﹣7，m2＝﹣4（舍去）
∴Q（﹣7，﹣）；
②若DE为平行四边形的一边，且点P在点Q的下方
∵D（﹣4，0），E（﹣2，4），Q（m，m+3）
∴P（m﹣2，m﹣1）
同理得Q（，）或Q（，）
③若DE为平行四边形的对角线
∵D（﹣4，0），E（﹣2，4），Q（m，m+3）
∴P（﹣m﹣6，﹣m+1）代入抛物线得：﹣m+1＝﹣（﹣m﹣6）2﹣（﹣m﹣6）+3，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣4（舍去）
∴Q（﹣1，）
综上所述，点Q的坐标为（﹣7，﹣）、（，）、Q（，）或 （﹣1，）．
红1
红2
白
黄
红1
（红2，红1）
（白，红1）
（黄，红1）
红2
（红1，红2）
（白，红2）
（黄，红2）
白
（红1，白）
（红2，白）
（黄，白）
黄
（红1，黄）
（红2，黄）
（白，黄）