九年级上册期末综合测试卷（B卷）-2023-2024学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）。
1．已知x＝1是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则实数c的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】C
【解答】解：根据题意，将x＝1代入x2﹣2x+c＝0，得：1﹣2+c＝0，
解得：c＝1，
故选：C．
2．如图是一个三棱柱的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：从正面看到的图形是主视图，故主视图为正三角形，
故选：A．
3．已知A（2，﹣2）、B（﹣1，m）两点均在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则m的值为（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
【答案】D
【解答】解：把A点的坐标代入y＝得：﹣2＝，
解得：k＝﹣4，
即y＝﹣，
把B的坐标代入得：m＝﹣，
解得：m＝4，
故选：D．
4．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE＝2，BE＝4，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AE＝2，BE＝4，
∴＝，
故选：A．
5．已知菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的周长是（ ）
A．108B．52C．48D．20
【答案】B
【解答】解：如图，BD＝10，AC＝24，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，
∴AB＝＝13，
∴菱形的周长＝4×13＝52
故选：B．
6．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（ ）对．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
由AF∥CD，可以推出△EAF∽△EDC，
由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF，
则△EDC∽△CBF，
故图中相似的三角形有3对．
故选：B．
7．已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，则a的值可能是（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴2﹣a＜0，
解得：a＞2．
故选：A．
8．天猫某店铺第2季度的总销售额为662万元，其中4月份的销售额是200万元，设5、6月份的平均增长率为x，求此平均增长率可列方程为（ ）
A．200（1+x）2＝662
B．200+200（1+x）2＝662
C．200+200（1+x）+200（1+x）2＝662
D．200+200x+200（1+x）2＝662
【答案】C
【解答】解：设利润平均每月的增长率为x，
又知：第2季度的总销售额为662万元，其中4月份的销售额是200万元，
所以，可列方程为：200+200（1+x）+200（1+x）2＝662；
故选：C．
9．如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，∠AOB＝60°，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E．四边形OCED的周长是20，则BC＝（ ）
A．5B．5C．10D．10
【答案】B
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
∵四边形OCED的周长是20，
∴CO＝DO＝5，
∴BD＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝AB＝5，
∴BC＝＝5．
故选：B．
10．依次连接菱形的四边中点得到的四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．正方形D．三角形
【答案】A
【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF＝AC，
同理，GH∥AC且GH＝AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选：A．
11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：解法一：逐项分析
A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，二次函数的对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x＝＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
12．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列四个结论中正确的有几个？（ ）①abc＞0； ②b2＞4ac；③2c＜3b；④4a+2b+c＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
而a＝﹣b，
∴﹣b﹣b+c＜0，
∴2c＜3b，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（﹣1，0）之间，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（2，0）与（3，0）之间，
∴x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以④正确．
故选：C．
填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
13．抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标是 ．
【答案】（1，0）
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
14．二次函数y＝﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴方程是 ．
【答案】x＝﹣
【解答】解：y＝﹣（x﹣1）（x+2）
＝﹣（x2+x﹣2）
＝﹣（x+）2+，
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）（x+2）的对称轴为x＝﹣，
故答案为：x＝﹣．
15．反比例函数y1＝，y2＝（k≠0）在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于点B，交y轴于点C，若S△AOB＝2，则k＝ ．
【答案】12
【解答】解：∵y1＝，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，
∴S△AOC＝×8＝4，
又∵S△AOB＝2，
∴△CBO面积为6，
∴|k|＝6×2＝12，
∵根据图示知，y2＝（k≠0）在第一象限内，
∴k＞0，
∴k＝12
故答案为：12．
16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠后，若点B的对应点B1刚好落在对角线BD上，则BE＝ ．
【答案】1
【解答】解：由折叠的性质可知，AB＝AB1，EB＝EB1，
∴AE⊥BB1，
∴∠BAE+∠ABD＝90°，
∵∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠BAE＝∠CBD，
∴tan∠BAE＝tan∠CBD，即＝，
解得BE＝1，
故答案为：1．
17．如图，已知直线y＝﹣x+5与双曲线y＝（x＞0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为 ．
【答案】8
【解答】解：如图，过A作AE⊥OD于E，
∵直线解析式为y＝﹣x+5，
∴C（0，5），D（10，0），
∴OC＝5，OD＝10，
∴Rt△COD中，CD＝＝5，
∵OA⊥AB，
∴CO×DO＝CD×AO，
∴AO＝2，
∴AD＝＝4，
∵OD×AE＝AO×AD，
∴AE＝4，
∴Rt△AOE中，OE＝＝2，
∴A（2，4），
∴代入双曲线y＝，可得k＝2×4＝8，
故答案为：8．
18．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与点B，C重合），过点C作CN⊥DM交AB于点N，连接OM、ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON＝OM；③ON⊥OM；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是1；⑤AN2+CM2＝MN2．其中正确结论是 ；（只填序号）
【答案】①②③⑤．
【解答】解：①∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCN+∠DCN＝90°，
∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
在△CNB和△DMC中，
∴△CNB≌△DMC（ASA），
故①正确；
②∵△CNB≌△DMC，
∴CM＝BN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，
在△OCM和△OBN中，，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，
故②正确；
③∵△OCM≌△OBN，
∴∠COM＝∠BON，
∴∠BOM+∠COM＝∠BOM+∠BON，即∠NOM＝∠BOC＝90°，
∴ON⊥OM；
故③正确；
④∵AB＝2，
∴S正方形ABCD＝4，
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，
∴△MNB的面积S＝x（2﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1﹣＝，
故④不正确；
⑤∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BM＝AN，
在Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2，
故⑤正确；
∴本题正确的结论有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
解答题（本题共8题，19-21题8分，22-24题10分，25题12分）。
19．计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．
【解答】解：原式＝1﹣3+2+3
＝3．
20．解方程：x2﹣4x﹣3＝0．
【解答】解：移项得x2﹣4x＝3，
配方得x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝，
开方得x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
21．数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣，某校同学们就对“概率发展的历史背景”的了解程度在初三年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图：根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查 60 名学生，条形统计图中m＝ ．
（2）若该校初三共有学生1500名，则该校约有 名学生不了解“概率发展的历史背景”；
（3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两人去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．
【解答】（1）由题目图表提供的信息可知总人数为：24÷40%＝60（名），
m＝60﹣12﹣24﹣6＝18，
故答案为：60，18；
（2）1500×＝300（名），
即该校初三共有学生1500名，则该校约有300名学生不了解“概率发展的历史背景”，
故答案为：300；
（3）画树形图得：
∵共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一男生一女生的共有4种情况，
∴恰好抽中一男生一女生的概率为＝．
22．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）把A（2，3）代入反比例解析式得：m＝6，
∴反比例解析式为y＝，
把B（﹣3，n）代入反比例解析式得：n＝﹣2，即B（﹣3，﹣2），
把A与B代入一次函数解析式得：，
解得：k＝1，b＝1，即一次函数解析式为y＝x+1；
（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴由图象得：kx+b＞的解集为﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）根据题意得：△ABC的面积S＝×|﹣2|×[2﹣（﹣3）]＝5．
23．某商场试销一种商品，成本为每件100元，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如下表：
（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；
（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由表格可知y与x成一次函数关系，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即y关于x的函数关系式是y＝﹣2x+500；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣100）（﹣2x+500）＝﹣2（x﹣175）2+11250，
∴当x＝175时，w取得最大值，此时w＝11250，
即将商品销售单价定为175元时，才能使所获利润最大，最大利润是11250元．
24．如图1，△ABC中，点P在AB边上自点A向终点B运动，运动速度为每秒1个单位长度，过点P作PD∥AC，交BC于点D，过D点作DE∥AB，交AC于点E，且AB＝10，AC＝5，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜10）．
（1）填空：当 t＝ 5 秒时，△PBD≌△EDC；
（2）当四边形APDE是菱形时．试求t的值？
（3）如图2，若△ABC的面积为20，四边形APDE的面积为S，试问S是否有最大值？如果有最大值，请求出最大值，如果没有请说明理由．
【解答】解：（1）由运动知，AP＝t，
∵AB＝10，
∴BP＝10﹣t，
∵DP∥AC，DE∥AB，
∴四边形APDE是平行四边形，
∴DE＝AP，
∵△PBD≌△EDC，
∴BP＝DE，
∴BP＝AP，
∴t＝10﹣t，
∴t＝5，
故答案为5；
（2）由（1）知，AP＝DE＝t，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∵AB＝10，AC＝5，
∴CE＝t，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣t，
∵四边形APDE是菱形，
∴AP＝AE，
∴t＝5﹣t，
∴t＝；
（3）S有最大值，理由如下：
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝＝，
∵S△CAB＝20，
∴S△CED＝×S△CAB＝，
同理：S△DPB＝，
∴S＝S△CAB﹣S△CED﹣S△DPB
＝20﹣﹣
＝﹣（t﹣5）2+10（0＜t＜10）
当t＝5时，S最大＝10．
即：S有最大值，最大值为10．
25．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，线段AD＝6，二次函数y＝﹣x2﹣x+4与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧）
（1）分别求A、B、E点的坐标；
（2）连接AE、OD，请判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由；
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
当y＝0时，﹣x2﹣x+4＝0，
2x2+x﹣24＝0，
（x+3）（3x﹣8）＝0，
x1＝﹣3，x2＝，
∴B（﹣3，0），E（，0）；
（2）△AOE与△AOD相似，理由是：
∵A（0，4），
∴OA＝4，
∵E（，0），
∴OE＝，
∴＝＝，＝，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵BC⊥AO，
∴AD⊥AO，
∴∠OAD＝∠AOE＝90°，
∴△AOE∽△DAO，
（3）如图2，在Rt△AOC中，AO＝4，OC＝3，
∴AC＝5，
同理AB＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∴当F与B重合时，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，
即F1（﹣3，0），
当AF2＝AB＝5时，△AF2C是等腰三角形，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，
此时F2与B关于点A对称，
∴F2（3，8），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把A（0，4），B（﹣3，0）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+4，
如图2，作AC的中垂线l，交直线AB于F3，连接F3C，分别过A、F3作x轴、y轴的平行线，交于H，HF3交x轴于G，
则AF3＝F3C，
设F3（x，x+4），
则＝，
（﹣x）2+（4﹣x﹣4）2＝（﹣x﹣4）2+（﹣x+3）2，
x＝﹣，
当x＝﹣时，y＝×+4＝﹣，
∴F3（﹣，﹣）；
如图3，以C为圆心，以AC为半径，画圆交直线AB于F4，过F4作F4P⊥x轴于P，则AC＝F4C，
设F4（x，x+4），
则，
＝0，
25x2+42x＝0，
x（25x+42）＝0，
x1＝0（舍），x2＝﹣，
当x＝﹣时，y＝，
∴F4（﹣，），
综上所述，F点的坐标为：F1（﹣3，0），F2（3，8），F3（﹣，﹣），F4（﹣，）．
销售单价x（元）
…
130
135
140
145
…
销售量y（件）
…
240
230
220
210
…