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初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时教学设计
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这是一份初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时教学设计，共16页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.
3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
二、教学重难点
重点：理解切线长的定义及切线长定理.
难点：能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
三、教学过程
【新课导入】
[复习回顾]1.切线的判定定理是什么？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理是什么？
圆的切线垂直于过切点的半径
【新知探究】
切线长定理
[思考]问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
[归纳总结]注意：切线和切线长是两个不同的概念：
1. 切线是直线，不能度量；
2. 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
[思考]问题2 如图，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言表示:
∵PA、PB分别切☉O于A、B，
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB.
[思考]已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：连接OA和OB，
∵PA是☉O的切线，∴OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
[归纳总结]我们学过的切线，常有以下性质：
1.切线和圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于圆的半径；
3.切线垂直于过切点的半径；
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系.
解：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP .
（2）写出图中与∠OAC相等的角.
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
（3）写出图中所有的全等三角形.
△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP , △AOB .
（5）若PA=4，PD=2，则半径OA为3.
三角形的内切圆
[思考]问题3 如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面裁下一块圆形的用料，并且使裁下的圆与三角形的三条边相切？
[交流讨论]如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
（1）如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
[自主学习]已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
[归纳总结]
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
如图：☉I是△ABC的内切圆，
点I是△ABC的内心，
△ABC是☉I的外切三角形.
例2 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
解:设AF=x，则AE=x.∴CE=CD=AC-AE=13-x，
BF=BD=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，
解得x=4.
∴ AF=4，BD=5，CE=9.
【课堂小结】
【课堂训练】
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= 20 ° ,PB=4 .
第1题图第2题图
2.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= 10 °.
3.已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，
∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接BD，
∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，
∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.
∴DE∥OC．
5.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为C，求△ABC的面积S.
解：用面积法，记△ABC的内心为O,连接OA、OB、OC
∴S=SΔAOB+SΔBOC+SΔCOA=12AB⋅r+12BC⋅r+12CA⋅r
=12AB+BC+CAr=12Cr
【布置作业】
【教学反思】
教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.内心在三角形内部．
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.
3.能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
二、教学重难点
重点：理解切线长的定义及切线长定理.
难点：能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.
三、教学过程
【新课导入】
[复习回顾]1.切线的判定定理是什么？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理是什么？
圆的切线垂直于过切点的半径
【新知探究】
切线长定理
[思考]问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
[归纳总结]注意：切线和切线长是两个不同的概念：
1. 切线是直线，不能度量；
2. 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
[思考]问题2 如图，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言表示:
∵PA、PB分别切☉O于A、B，
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB.
[思考]已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：连接OA和OB，
∵PA是☉O的切线，∴OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
[归纳总结]我们学过的切线，常有以下性质：
1.切线和圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于圆的半径；
3.切线垂直于过切点的半径；
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系.
解：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP .
（2）写出图中与∠OAC相等的角.
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
（3）写出图中所有的全等三角形.
△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP , △AOB .
（5）若PA=4，PD=2，则半径OA为3.
三角形的内切圆
[思考]问题3 如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面裁下一块圆形的用料，并且使裁下的圆与三角形的三条边相切？
[交流讨论]如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
（1）如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
[自主学习]已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
[归纳总结]
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
如图：☉I是△ABC的内切圆，
点I是△ABC的内心，
△ABC是☉I的外切三角形.
例2 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF、BD、CE的长.
解:设AF=x，则AE=x.∴CE=CD=AC-AE=13-x，
BF=BD=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，
解得x=4.
∴ AF=4，BD=5，CE=9.
【课堂小结】
【课堂训练】
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= 20 ° ,PB=4 .
第1题图第2题图
2.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= 10 °.
3.已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切与点E、F、G、H，
∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接BD，
∵AC切⊙O于点D，AC切⊙O于点B，
∴DC=BC，OC平分∠DCB.
∴OC⊥BD.
∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.
∴DE∥OC．
5.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为C，求△ABC的面积S.
解：用面积法，记△ABC的内心为O,连接OA、OB、OC
∴S=SΔAOB+SΔBOC+SΔCOA=12AB⋅r+12BC⋅r+12CA⋅r
=12AB+BC+CAr=12Cr
【布置作业】
【教学反思】
教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.内心在三角形内部．
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