甘肃省兰州市第五十六中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷

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1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃
2．（3分）用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体
3．（3分）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）
A．认B．真C．复D．习
4．（3分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000km（ ）
A．0.13×105B．1.3×104C．1.3×105D．13×103
5．（3分）如图经过折叠能围成棱柱的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
6．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2与B．﹣1与（﹣1）2C．（﹣1）2与1D．2与|﹣2|
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．最小的整数是0
B．互为相反数的两个数的绝对值相等
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
D．有理数分为正数和负数
8．（3分）若3x2n﹣1ym与﹣5xmy3是同类项，则m，n的值分别是（ ）
A．3，2B．﹣3，2C．3，﹣2D．﹣3，﹣2
9．（3分）已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a+b＜0B．a﹣b＜0C．ab＞0D．＞0
10．（3分）如图，一个窗户的上部是由4个扇形组成的半圆，下部是由4个边长相同的小正方形组成的长方形（ ）
A．6a+πaB．12aC．15a+πaD．6a
11．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示：化简|b﹣a|﹣|a+b|的结果是（ ）
A．﹣2aB．0C．2bD．﹣2b
12．（3分）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需要（ ）
A．2nB．2n+1C．2（n+1）D．2n+3
二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）单项式﹣3ab次数是 ．
14．（3分）下列各数中：1.2，，0，，1.010010001，5，0. 个．
15．（3分）已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，求（x+y）y＝ ．
16．（3分）由若干个相同的小正方体搭成一个几何体，分别从正面、左面看，所得的形状如图所示 个．
三、解答题
17．（12分）计算：
（1）26﹣7+（﹣6）+17；
（2）﹣81×（﹣）÷（﹣16）；
（3）（）×（﹣36）；
（4）﹣14+12÷（﹣2）2×（﹣8）．
18．（6分）化简：
（1）3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x；
（2）（2a2﹣1+2a）﹣3（a﹣1+a2）．
19．（5分）先化简，再求值：a﹣2（a﹣b2）﹣（a﹣b2），其中a＝﹣2，b＝．
20．（5分）分析图中几何体，请分别利用下面的网格图画出从正面、左面及上面所看到的几何体的形状图．
21．（4分）若a，b互为相反数，c、d互为倒数，求（a+b+cd）
22．（6分）中考当天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送学生，规定向东为正，当天出租车的行程如下（单位：km）：+5，﹣8，+10，﹣6．
（1）将最后一名学生送到目的地时，小王距出发地多少千米？方向如何？
（2）若汽车耗油量为0.2L/km，则当天耗油多少升？
（3）若汽油价格为6.2元/L，则小王共花费了多少元钱？
23．（6分）已知A＝2a2+3ab+2a﹣1，B＝﹣a2+ab+2．
（1）化简：4A﹣（3A﹣2B）；
（2）若（1）中式子的值与a的取值无关，求b的值．
24．（4分）如图所示，将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在同一水平面上（b＞a＞0）．
（1）用a、b表示阴影部分的面积；
（2）计算当a＝3，b＝5时，阴影部分的面积．
25．（4分）将一个长为6厘米，宽为4厘米的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，求得到的几何体的体积（结果保留π）．
26．（4分）若“三角表示运算a﹣b+c，“方框”表示运算x﹣y+z+w．求：×表示的运算，并计算结果．
27．（8分）为丰富校园体育生活，学校增设网球兴趣小组，需要采购某品牌网球训练拍30支（x＞30）．经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球20元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：
甲商店：买一支网球拍送一筒网球；
乙商店：网球拍与网球均按则90%付款，
（1）方案一：到甲商店购买，需要支付 元（用含x的代数式表示）；
方案二：到乙商店购买，需要支付 元（用含x的代数式表示）．
（2）若x＝100，请通过计算说明学校采用以上哪个方案较为优惠．
（3）若x＝100，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法并算出省多少钱？
28．（8分）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，我们把（a+b）看成一个整体（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝ ；
（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；
拓广探索：
（3）已知a﹣5b＝3，5b﹣3c＝﹣5，3c﹣d＝10，求（a﹣3c）+（5b﹣d）﹣（5b﹣3c）
2023-2024学年甘肃省兰州五十六中七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃B．零下3℃C．零上7℃D．零下7℃
【答案】B
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．
故选：B．
2．（3分）用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体
【答案】A
【分析】看所给选项的截面能否得到三角形即可．
【解答】解：A、圆柱的截面可能是圆，符合题意；
B、圆锥的截面可能是圆，不符合题意；
C、三棱柱的截面可能是三角形，不符合题意；
D、正方体的截面可能是三角形，或五边形，不符合题意；
故选：A．
3．（3分）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）
A．认B．真C．复D．习
【答案】B
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形．
【解答】解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．
故选：B．
4．（3分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13000km（ ）
A．0.13×105B．1.3×104C．1.3×105D．13×103
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将13000用科学记数法表示为：1.3×104．
故选：B．
5．（3分）如图经过折叠能围成棱柱的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④
【答案】C
【分析】根据棱柱的展开图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，①可以围成四棱柱，③可以围成三棱柱，
故选：C．
6．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2与B．﹣1与（﹣1）2C．（﹣1）2与1D．2与|﹣2|
【答案】B
【分析】根据各个选项中的说法可以判断选项中的两个数是否互为相反数，从而可以解答本题．
【解答】解：∵2与互为倒数，故选项A错误，
∵（﹣1）2＝6，∴﹣1与（﹣1）5互为相反数，故选项B正确，
∵（﹣1）2＝6，∴（﹣1）2与6不是互为相反数，故选项C错误，
∵|﹣2|＝2，∴2与|﹣2|不是互为相反数，
故选：B．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．最小的整数是0
B．互为相反数的两个数的绝对值相等
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
D．有理数分为正数和负数
【答案】B
【分析】根据有理数的定义、相反数的定义和绝对值的性质即可作出判断．
【解答】解：A、没有最小的整数，
B、互为相反数的两个数的绝对值相等；
C、如果两个数的绝对值相等，故选项错误；
D、有理数分为正数，故选项错误．
故选：B．
8．（3分）若3x2n﹣1ym与﹣5xmy3是同类项，则m，n的值分别是（ ）
A．3，2B．﹣3，2C．3，﹣2D．﹣3，﹣2
【答案】A
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得m、n的值．
【解答】解：∵3x2n﹣3ym与﹣5xmy3是同类项，
∴7n﹣1＝m，m＝3，
∴m＝4，n＝2．
故选：A．
9．（3分）已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a+b＜0B．a﹣b＜0C．ab＞0D．＞0
【答案】B
【分析】根据数轴上a、b的位置可以判定a与b大小与符号；然后据此解答．
【解答】解：根据图示知：
a＜0＜b，|a|＜|b|；
∴a+b＞0，a﹣b＜2，＜0．
故选：B．
10．（3分）如图，一个窗户的上部是由4个扇形组成的半圆，下部是由4个边长相同的小正方形组成的长方形（ ）
A．6a+πaB．12aC．15a+πaD．6a
【答案】A
【分析】先求出上半圆的直径为2a，即可得出结论．
【解答】解：由题意知，上半圆的直径为2a，
∴窗户的外框总长为2a×2+×π×2a＝6a+πa，
故选：A．
11．（3分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示：化简|b﹣a|﹣|a+b|的结果是（ ）
A．﹣2aB．0C．2bD．﹣2b
【答案】C
【分析】根据数轴分别求出b﹣a、a+b与0的大小关系．
【解答】解：由数轴可知：b＞0＞a，
∴b﹣a＞0，a+b＜3
原式＝b﹣a﹣[﹣（a+b）]＝b﹣a+a+b＝2b．
故选：C．
12．（3分）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需要（ ）
A．2nB．2n+1C．2（n+1）D．2n+3
【答案】B
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
【解答】解：因为第一个三角形需要三根火柴棍，再每增加一个三角形就增加2根火柴棒，
所以有n个三角形，则需要2n+2根火柴棍．
故选：B．
二、填空题（本大题4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）单项式﹣3ab次数是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．
【解答】解：单项式﹣3ab次数是：2．
故答案为：6．
14．（3分）下列各数中：1.2，，0，，1.010010001，5，0. 4 个．
【答案】4．
【分析】根据分数包括正分数和负分数解答即可．
【解答】解：在实数1.2，，0，﹣，8.010010001，5中，分数有1.2，﹣，0.．
故答案为：4．
15．（3分）已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，求（x+y）y＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵（x+3）2与|y﹣4|互为相反数，
∴（x+3）2+|y﹣6|＝0，
又∵（x+3）8≥0，|y﹣2|≥6，
∴x+3＝0，y﹣8＝0，
解得x＝﹣3，y＝4，
∴（x+y）y＝（﹣3+2）6＝1．
故答案为：1．
16．（3分）由若干个相同的小正方体搭成一个几何体，分别从正面、左面看，所得的形状如图所示 5 个．
【答案】5．
【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【解答】解：综合主视图和左视图，底层最少有3个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个．
故答案为：2．
三、解答题
17．（12分）计算：
（1）26﹣7+（﹣6）+17；
（2）﹣81×（﹣）÷（﹣16）；
（3）（）×（﹣36）；
（4）﹣14+12÷（﹣2）2×（﹣8）．
【答案】（1）30；（2）﹣1；（3）﹣3；（4）0．
【分析】（1）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可；
（2）利用有理数的乘除混合运算的法则解答即可；
（3）利用乘法的分配律解答即可；
（4）利用有理数的混合运算的法则解答即可．
【解答】解：（1）原式＝（26+17）﹣（7+6）
＝43﹣13
＝30；
（2）原式＝81××
＝﹣1；
（3）原式＝（﹣36）﹣（﹣36）
＝﹣24+27﹣2
＝﹣（24+6）+27
＝﹣30+27
＝﹣3；
（4）原式＝﹣5+12÷4+（﹣2）
＝﹣6+3+（﹣2）
＝2﹣（1+2）
＝6﹣3
＝0．
18．（6分）化简：
（1）3x2﹣1﹣2x﹣5+3x﹣x；
（2）（2a2﹣1+2a）﹣3（a﹣1+a2）．
【答案】（1）3x2﹣6；（2）＝﹣a2﹣a+2．
【分析】根据合并同类项的法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝3x2﹣8；
（2）原式＝2a2﹣3+2a﹣3a+2﹣3a2
＝﹣a3﹣a+2．
19．（5分）先化简，再求值：a﹣2（a﹣b2）﹣（a﹣b2），其中a＝﹣2，b＝．
【答案】9．
【分析】先利用整式化简的方法进行化简，再代入求值即可．
【解答】解：a﹣8（a﹣b8）﹣（a﹣b2）
＝a﹣2a+b3﹣a+b2
＝﹣7a+b8．
当a＝﹣2，b＝时，
原式＝（﹣3）×（﹣2）+×（）2
＝6+4
＝9．
20．（5分）分析图中几何体，请分别利用下面的网格图画出从正面、左面及上面所看到的几何体的形状图．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三视图的定义画出图形即可．
【解答】解：三视图如图所示：
21．（4分）若a，b互为相反数，c、d互为倒数，求（a+b+cd）
【答案】1．
【分析】根据题意可知a+b＝0，cd＝1，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a、b互为相反数，c，
∴a+b＝0，cd＝1，
∴原式＝（4+1）+＝1．
22．（6分）中考当天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费接送学生，规定向东为正，当天出租车的行程如下（单位：km）：+5，﹣8，+10，﹣6．
（1）将最后一名学生送到目的地时，小王距出发地多少千米？方向如何？
（2）若汽车耗油量为0.2L/km，则当天耗油多少升？
（3）若汽油价格为6.2元/L，则小王共花费了多少元钱？
【答案】（1）回到原位置；
（2）当天耗油7.2升；
（3）小王共花费44.64元．
【分析】（1）求出各个数的和，依据结果即可判断；
（2）求出汽车行驶的路程即可解决．
（3）根据题意列出式子再进行计算即可．
【解答】解：（1）+5﹣4﹣8+10+3﹣6＝2，则回到原位置；
（2）汽车的总路程是：5+4+7+10+3+6＝36（千米），
则耗油是36×3.2＝7.6（升）．
答：当天耗油7.2升．
（3）4.2×6.4＝44.64（元）．
答：小王共花费44.64元．
23．（6分）已知A＝2a2+3ab+2a﹣1，B＝﹣a2+ab+2．
（1）化简：4A﹣（3A﹣2B）；
（2）若（1）中式子的值与a的取值无关，求b的值．
【答案】（1）5ab+2a+3；
（2）b＝﹣．
【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）将含a的项进行合并，然后令系数为0即可求出b的值．
【解答】解：（1）4A﹣（3A﹣6B）
＝A+2B，
将A＝2a4+3ab+2a﹣4，B＝﹣a2+ab+2，代入上式，
原式＝4a2+3ab+3a﹣1+2（﹣a7+ab+2）
＝2a6+3ab+2a﹣5﹣2a2+3ab+4
＝5ab+4a+3．
（2）∵5ab﹣6a+3＝a（5b﹣2）+3，
若（1）中式子的值与a的取值无关，则5b﹣8＝0．
∴b＝﹣．
24．（4分）如图所示，将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在同一水平面上（b＞a＞0）．
（1）用a、b表示阴影部分的面积；
（2）计算当a＝3，b＝5时，阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形的面积公式列出即可；
（2）把a、b的值代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）阴影部分的面积为b4+a（a+b）；
（2）当a＝7，b＝5时，b2+a（a+b）＝×3×（5+5）＝，
即阴影部分的面积为．
25．（4分）将一个长为6厘米，宽为4厘米的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，求得到的几何体的体积（结果保留π）．
【答案】见试题解答内容
【分析】圆柱体的体积＝底面积×高，注意底面半径和高互换得圆柱体的两种情况．
【解答】解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×42×6＝96π（立方厘米）；
绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积：π×62×4＝144π（立方厘米）．
故得到的几何体的体积是96π或144π立方厘米．
26．（4分）若“三角表示运算a﹣b+c，“方框”表示运算x﹣y+z+w．求：×表示的运算，并计算结果．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用已知的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：原式＝（﹣+）×（﹣2﹣3+2﹣6）＝﹣．
27．（8分）为丰富校园体育生活，学校增设网球兴趣小组，需要采购某品牌网球训练拍30支（x＞30）．经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球20元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：
甲商店：买一支网球拍送一筒网球；
乙商店：网球拍与网球均按则90%付款，
（1）方案一：到甲商店购买，需要支付 （20x+2400） 元（用含x的代数式表示）；
方案二：到乙商店购买，需要支付 （18x+2700） 元（用含x的代数式表示）．
（2）若x＝100，请通过计算说明学校采用以上哪个方案较为优惠．
（3）若x＝100，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法并算出省多少钱？
【答案】（1）（20x+2400），（18x+2700）；
（2）甲店需要费用4400元，乙店需要费用4500元，因此到甲商店购买优惠；
（3）答：有，
优惠的方案为，先在甲店购买30只球拍，送30个网球筒，剩下的去乙店购买70个网球筒；
省140元．
【分析】（1）根据优惠的方案分别列式计算；
（2）把x＝100分别代入（1）的两个代数式计算；
（3）根据两种方案的优惠条件，把它们合二为一分别购买．
【解答】解：（1）到甲商店购买，需要支付30×100+（x﹣30）×20
＝3000+20x﹣600
＝20x+2400（元），
到乙商店购买，需要支付：30×100×0.9+20×7.9x＝18x+2700（元），
故答案为：（20x+2400），（18x+2700）；
（2）当x＝100时，甲店需要：100×20+2400＝4400（元），
乙店需要：18×100+2700＝4500（元），
∵4400＜4500，
∴到甲商店购买优惠；
（3）有，
先在甲店购买30只球拍，送30个网球筒，
总费用：30×100+70×20×0.6＝4260（元），
4400﹣4260＝140（元），
答：有，
优惠的方案为，先在甲店购买30只球拍，剩下的去乙店购买70个网球筒；
省140元．
28．（8分）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，我们把（a+b）看成一个整体（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b），它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝ ﹣（a﹣b）2 ；
（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；
拓广探索：
（3）已知a﹣5b＝3，5b﹣3c＝﹣5，3c﹣d＝10，求（a﹣3c）+（5b﹣d）﹣（5b﹣3c）
【答案】（1）﹣（a﹣b）2；
（2）﹣9；
（3）8．
【分析】（1）将（a﹣b）看成一个整体，然后合并系数即可；
（2）把3x2﹣6y﹣21变形为3（x2﹣2y）﹣21，再整体代入计算；
（3）将原式变形为（a﹣5b）+（5b﹣3c）+（3c﹣d），然后整体代入计算即可．
【解答】解：（1）3（a﹣b）2﹣2（a﹣b）2+2（a﹣b）2
＝（3﹣6+2）（a﹣b）2
＝﹣（a﹣b）2，
故答案为：﹣（a﹣b）2；
（2）∵3x2﹣3y﹣21＝3（x2﹣3y）﹣21，
又∵x2﹣2y＝6，
∴原式＝3×4﹣21
＝12﹣21
＝﹣7；
（3）∵（a﹣3c）+（5b﹣d）﹣（2b﹣3c）
＝a﹣3c+2b﹣d﹣5b+3c
＝（a﹣3b）+（5b﹣3c）+（8c﹣d），
∴当a﹣5b＝3，2b﹣3c＝﹣5，
原式＝3+（﹣5）+10
＝8．