山西省运城市景胜学校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题A卷

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一、单选题（每题5分，共计40分）
1．双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线l：是圆C：的对称轴，则k的值为（ ）
A．B．C．D．1
3．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与C相交于M，N两点（M在第一象限）.若M，，N，四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．在区间上随机取一个实数k，使直线与圆相交的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，空间四边形ABCD的每条边和AC、BD的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆C：的上顶点为A，直线l：与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
7．正四面体ABCD的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点P到AD的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若△OPT的面积为，且，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每题5分，共计20分）
9．点P在圆：上，点Q在圆：上，则（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为
10．已知方程，则下列说法中正确的有（ ）
A．方程可表示圆
B．当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
C．当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线
D．当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
11．已知P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，I是的内心，双曲线的离心率为e，，，的面积分别为，，，且，下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．I在定直线上D．若，则或
12．如图，在三棱锥P-ABC中，，，，O为AC的中点，点M是棱BC上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥P-ABC的表面积为
B．若M为棱BC的中点，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为
C．若PC与平面PAM所成角的正弦值为，则二面角M-PA-C的正弦值为
D．的取值范围为
三、填空题（每题5分，共计20分）
13．经过，两点，且圆心在x轴上的圆C的标准方程为 .
14．已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若（O为坐标原点），则C的离心率为 ．
15．设双曲线C：的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线为l，以F为圆心的圆与l交于点M，N两点，，O为坐标原点，，则双曲线C的离心率的取值范围是 ．
16．已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足（），，，设，则在上的投影向量为 ．（结果用表示）．
四、解答题（共计70分）
17．（10分）
如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．
（1）证明：．
（2）求二面角的余弦值．
18．（12分）
已知圆：和圆：.
（1）证明：圆和相交；
（2）求圆和公共弦所在的直线方程.
19.（12分）
如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为等腰梯形，，二面角S-BD-A为直二面角．
（1）求证：；
（2）若△SBC为等边三角形，当点M在棱BC上运动时，记直线SM与平面SAD所成角为，当最小时，求的值．
20．（12分）
设椭圆C：长轴的左，右顶点分别为A，B．
（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为，，求的最小值；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交y轴于点S、T，记，（O为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求的取值范围．
21．（12分）
如图，在斜三棱柱中，，，，，底面ABC.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（12分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：的焦点为F，E的准线交x轴于点K，过K的直线l与拋物线E相切于点A，且交y轴正半轴于点P．已知△AKF的面积为2．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
高二数学（A）答案
1．B2．D3．B4．D5．C6．A7．A8．A
9．ABC10．BCD11．BC12．ABD
13．14．215．16．/
17．
（1）见解析
（2）
18．
（1）证明见解析；
（2）
19．
（1）证明见解析；
（2），
【分析】
（1）证明CD⊥SB，即证CD⊥平面SBD，即证CD⊥BD；
（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量以及平面的法向量求线面角，进而得到的值.
【详解】
（1）证明：设，因为四边形ABCD为等腰梯形，，
故，△ABD为等腰三角形，则，
而，，
所以，CD⊥BD．
又二面角S-BD-A为直二面角，故平面SBD⊥平面ABCD，
平面平面，平面ABCD，
所以CD⊥平面SBD，
又平面SBD，所以CD⊥SB．
（2）以D为原点，分别以DB，DC所在的直线为x轴，y轴，
以过点D垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图．
设，则，，，．
过点S作直线，交BD于点．
因为平面SBD⊥平面ABCD，平面平面，
所以平面ABCD．
又由，得，所以点在棱BC的垂直平分线上．
由对称性可知，A，，C三点共线．
由，得，即，则．
又由，得．
所以点S的坐标为，，且．
设平面SAD的法向量，
则即，取，则．
设，，
则，
由题知，直线SM与平面SAD所成角为，
则，
当时取等号，此时最大，最小，故．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）设点，则可表示出，然后结合椭圆的性质即可求出最小值；
（2）由题意可设直线l：，（），与椭圆方程联立，设、，则利用韦达定理可得两根和、两根积，及斜率的取值范围，然后结合条件可以用斜率表示出，即可求出其取值范围.
【详解】
（1）设点，由椭圆的对称性知，不妨令，
由已知，，则，，显然有，
则，，
则，
因为，所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为．
（2）当直线l的倾斜角为锐角时，设，，设直线l：，（），
由得，
从而，又，得，
所以，，
又直线AM的方程是：，令，解得，所以点S为；
直线AN的方程是：，同理点T为.
所以，，，
因为，，所以，，
所以
∵，
∴，
综上，所以的范围是．
21．（1）.（2）
【分析】
（1）以A为原点，，，分别为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz，求得向量的坐标，再根据底面ABC，得到，又AB⊥AC，由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面，从而是平面的一个法向量，然后由求解.
（2）由（1）知是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，然后由求解.
【详解】
（1）以A为原点，，，分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则，，，，，
则，
∵底面ABC，底面ABC，
∴，
又∵AB⊥AC，，
平面，平面，
∴AB⊥平面，
∴是平面的一个法向量，
∴，
故所求直线与平面所成角的正弦值为
（2），，
设为平面的一个法向量，
则，
令，得，，
得平面的一个法向量为，
又由（1）得是平面的一个法向量，
∴，
故所求面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查线面角和二面角的向量求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.
22．（1）（2）证明见解析
【分析】
（1）根据题意假设得直线l：，联立抛物线方程求得，，再利用三角形面积即可求得，由此得解；
（2）根据题意设得MN：，联立抛物线方程求得，再依次求得T，H的坐标，从而求得直线NH的方程，化简可得NH为，由此得证.
【详解】
（1）由题可知，，准线，，
因为直线l的斜率存在且不为0，所以设l：，
联立，消去x，得，
因为l与E相切，所以，所以（舍去）．
因此，解得，所以，
故AF⊥KF，所以，所以（负值舍去），
所以抛物线E的方程为．
（2）由（1）知，又l：，所以．
因为MN斜率存在且不为零，所以设MN：，，，
联立，消去x，得，
则，所以且，．
又直线OA：，令，得，所以，
因为，所以，所以，
所以直线NH的方程为，
所以，
因为，
所以直线NH为，所以NH恒过定点．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算△；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.