河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题

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本试卷共4页，22题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上把对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．向量，若与垂直，则的值为（ ）
A．B．1C．D．3
3．直线与两坐标轴所围成三角形的面积为（ ）
A．B．C．3D．6
4．在四面体中，，为的重心，点在线段上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．若点在圆上，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定
6．已知圆与圆外离，则的取值范围（ ）
A．B．C．或D．
7．在空间四边形中，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在正方体中，分别为的中点，则下列说法不正确的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
10．已知圆，直线，直线与圆交于两点，则（ ）
A．直线恒过定点B．当时，最长
C．当时，弦最短D．最短弦长
11．在正四棱台中，，点分别在直线与上，则（ ）
A．该四棱台的体积为B．该四棱台外接球的表面积为
C．线段长度的最小值为D．点到平面的距离为
12．已知，点满足，设点的轨迹为曲线，则（ ）
A．过点作曲线的切线，切线长为B．当三点不共线时，则
C．在上存在点，使得D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知三点共线，则__________．
14．直线与直线之间的距离为__________．
15．已知空间向量，若共面，则的最小值为__________．
16．已知圆与圆，则
①当时，两圆的公切线方程为__________．
②若两圆相交于两点，且，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
中，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程．
18．（12分）
已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为2，．
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角．
19．（12分）
已知点在圆上运动，点为线段的中点，设点的轨迹为曲线，
（1）求曲线的轨迹方程．
（2）过点作曲线的切线，求切线的方程．
20．（12分）
如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）
如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点，沿将翻折到，连接，得到如下图2的五棱锥，且．
图1 图2
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
22．（12分）
已知圆，过圆上一点作直线分别与圆交于两点，设直线的斜率为．
（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线方程；
（2）若，求证：直线恒过定点．
唐山市十县一中联盟2023-2024学年度第一学期期中考试
高二数学参考答案
一．选择题（单选）：
1-4．CCDA 5-8．BDBB
二．选择题（多选）：
9．BCD 10．AC 11．BD 12．ABD
三．填空题：
13．0 14． 15． 16．；或（第一空2分，第二空3分）
四．解答题：
17．解：（1）直线的斜率
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为．
（2）设的外接圆的方程为，
则
解得
所以的外接圆的方程为．
18．解：
设，则，
．
．
（1），
，
，即．
（2）
，
，
，
异面直线与所成角为．
19．解：
（1）设，因为点为线段的中点，
所以
即
因为点在圆上运动，
所以，
化简得，
所以曲线的轨迹方程为．
（2）由（1）知曲线的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
当切线斜率不存在时：，满足题意；
当切线斜率存在时，设，即．
由与圆相切，得，解得．
所以切线的方程为，即．
综上，切线的方程为或．
20．解：（1）取的中点，连接，
分别为的中点，
，且，
又且，
且，
四边形为平行四边形，则，
平面平面，
平面．
（2）取的中点，则．
以为原点，以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
．
所以，
设平面的法向量为．
则即
取，则．
又，
设直线与平面所成的角为，则，
故与平面所成角的正弦值为．
21．解：（1）点分别是边的中点，
．
菱形的对角线互相垂直，．
．
．
平面平面，
平面．
平面．
（2）设，连接，
为等边三角形．
．
在中，，
在中，，
．
平面，平面，
平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则．
．
设平面的法向量为，
由，得
令，得．
平面的一个法向量为．
由（1）知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则．
平面与平面的夹角的余弦值．
22．解：（1）设切线的方程为．
所以圆心到切线的距离为，
即，解得，
所求的切线方程为或．
（2）当直线斜率存在时，设直线．
将直线代入圆的方程得，
则．
，
即，
，
，
整理得，
即，
所以或．
当时，直线恒过点，不满足题意，舍去．
当时，由得．
直线恒过点，满足题意．
当直线斜率不存在时，设直线，
则．
则，
所以与圆无交点，不满足题意，舍去．
所以直线恒过点．