人教版八年级数学期中押题卷（原卷版+解析版）

这是一份人教版八年级数学期中押题卷（原卷版+解析版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（2022秋•海淀区校级期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2022秋•海淀区校级期中）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】如图，先根据全等三角形的性质得到∠2＝70°，然后根据三角形内角和计算出∠1的度数．
【解答】解：如图，
∵图中的两个三角形全等，
∴∠2＝70°，
∵∠1+∠2+50°＝180°，
∴∠1＝180°﹣70°﹣50°＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．
3．（2022秋•和平区校级期中）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件仍无法说明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DFB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．∠ACB＝∠F
【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以判断出哪个选项中的条件不一定能得到△ABC≌△DEF，从而可以解答本题．
【解答】解：在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，∠B＝∠DEF，
若AC∥DF，则∠ACB＝∠F，则△ABC≌△DEF（AAS），故选项A不符合题意；
若AC＝DF，则无法判定△ABC≌△DEF，故选项B符合题意；
若∠A＝∠D，则△ABC≌△DEF（ASA），故选项C不符合题意；
若∠ACB＝∠F，则△ABC≌△DEF（AAS），故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．
4．（2022秋•和平区校级期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点O，连接CO，则有（ ）
A．△CEO≌△CDOB．OE＝ODC．CO平分∠ACBD．OC＝OD
【分析】过O作OF⊥AB于，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：过O作OF⊥AB于，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴OF＝OH，OF＝OG，
∴OG＝OH，
∴CO平分∠ACB．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．（2022秋•和平区校级期中）如图，D、E是△ABC的BC边上的两点，DM，EN分别垂直平分AB、AC，垂足分别为点M、N．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵DM，EN分别垂直平分AB、AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC，
∵∠DAE＝20°，
∴∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝20°，
∴∠BAC﹣（∠B+∠C）＝20°，
∴∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝20°，
解得：∠BAC＝100°，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．（2022秋•和平区校级期中）若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，
边数n＝360°÷40°＝9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
7．（2022秋•和平区校级期中）下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．5，12，17D．6，8，20
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＝7＞5，能够组成三角形，符合题意；
C、12+5＝17，不能够组成三角形，不符合题意；
D、6+8＝14＜20，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
8．（2022秋•海淀区校级期中）如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP＝2OQ，若△OMP的面积是2，则△OQM的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】过点M作ME⊥OP，MF⊥OB，先利用角平分线的性质说明EM与MF的关系，再利用三角形的面积公式求出OP与EM的积，最后再利用三角形的面积公式得结论．
【解答】解：过点M作ME⊥OP，MF⊥OB，垂足分别为E、F．
∵M是∠AOB平分线上的一点，ME⊥OP，MF⊥OB，
∴ME＝MF．
∵S△OMP＝OP×EM＝2，
∴OP×EM＝4．
∵OP＝2OQ，
∴OQ×EM＝2．
∴S△OMQ＝OQ×EF
＝OQ×EM
＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”、三角形的面积公式是解决本题的关键．
9．（2022秋•海淀区校级期中）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，B，C分别落在点H，G的位置，CD与HE交于点M．下列说法中，不正确的是（ ）
A．∠MFE＜∠HMFB．ME＝MFC．FG+FM＝EBD．∠GFM＝∠MEA
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角得∠HMF＞∠MFE，则∠MFE＜∠HMF，可判断A正确；
由CD∥AB，得∠MFE＝∠BEF，由折叠得∠MEF＝∠BEF，则∠MFE＝∠MEF，所以ME＝MF，可判断B正确；
由折叠得FG＝FC，则FG+FM＝MC，如果FG+FM＝EB，那么需要满足的条件∠BEH＝90°，则∠HEF＝∠BEF＝45°，与已知条件不符，可判断C错误；
由FG∥EH，得∠GFM＝∠EMF，由CD∥AB，得∠EMF＝∠MEA，则∠GFM＝∠MEA，可判断D正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠HMF是△MEF的外角，
∴∠HMF＞∠MFE，
∴∠MFE＜∠HMF，
故A正确；
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD∥AB，
∴∠MFE＝∠BEF，
由折叠得∠MEF＝∠BEF，
∴∠MFE＝∠MEF，
∴ME＝MF，
故B正确；
∵FG＝FC，
∴FG+FM＝MC，
若FG+FM＝EB，则MC＝EB，需要满足的条件是∠BEH＝90°，
∴∠HEF＝∠BEF＝45°，与已知条件不符，
∴FG+FM与EB不一定相等，
故C错误；
∵FG∥EH，
∴∠GFM＝∠EMF，
∵∠EMF＝∠MEA，
∴∠GFM＝∠MEA，
故D正确，
故选：C．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，根据平行线的性质和轴对称的性质推导出相等的角是解题的关键．
10．（2022秋•和平区校级期中）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD为BC边上的中线，CG⊥AD于G，交AB于F，过点B作BC的垂线交CG于E．现有下列结论：①△ADC≌△CEB；②DF＝CD；③∠ADC＝∠BDF；④F为EG中点．其中结论正确的为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
【分析】①由条件可知∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°，可得到∠E＝∠ADC，再结合条件可证明△ADC≌△CEB；
②AD为BC边上的中线，得到BD＝CD，得到∠AFB≠90°，求得DF≠CD；
③BE＝CD＝BD，结合条件可证明△BEF≌△BDF，则有∠E＝∠BDF＝∠ADC，可得结论；
④由③可得EF＝DF，而DF＞FG，故F不可能为EG中点．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，CG⊥AD，
∴∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°，
∴∠E＝∠ADC，
∵BE⊥BC，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴①正确；
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵AG⊥CE，
∴∠BFC≠90°，
∴DF≠CB，
∴DF≠CD，
∴②不正确；
∵△ADC≌△CEB，且D为BC中点，
∴BE＝CD＝BD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠DBF＝∠EBF＝45°，
在△BEF和△BDF中，
，
∴△BEF≌△BDF（SAS），
∴∠E＝∠BDF，又∠E＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠BDF，
∴③正确；
∵△BEF≌△BDF，
∴EF＝DF，
在Rt△DFG中，DF＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中点，
∴④不正确；
综上可知正确的有①③共两个，
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，3）关于y轴对称的点的坐标是 （1，3） ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．
【解答】解：根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
则点A（﹣1，3）关于y轴对称的点的坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．（2022秋•和平区校级期中）如图，△ABE和△ADC是由△ABC沿着AB、AC边翻折180°得到的，若∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，则∠1的度数为 80° ．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，根据翻折可得∠E＝∠BCA＝∠DCA，∠BAE＝∠BAC＝140°，求出∠EAC的度数，根据∠E＝∠ACD，对顶角相等，可知∠1＝∠EAC．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∵∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，
∴180°÷（28+5+3）＝5°，
∴∠BAC＝5°×28＝140°，
根据翻折，可知∠E＝∠BCA＝∠DCA，∠BAE＝∠BAC＝140°，
∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAD＝80°，
∴∠1＝∠EAC＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形翻折，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
13．（2022秋•和平区校级期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠E＝70°，∠D＝30°，∠CAD＝40°，则∠BAD＝ 40° ．
【分析】根据全等三角形的性质分别求出∠C、∠B，根据三角形内角和定理计算∠BAC，则可求得∠BAD．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E＝70°，∠B＝∠D＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝80°﹣40°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
14．（2022秋•鼓楼区校级期中）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，若AC＝1，则BC＝ 2 ．
【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD＝120°，易得∠ABC＝30°；然后由含30度角的直角三角形的性质作答．
【解答】解：如图，
∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，
∴六边形花环为正六边形，
∴∠ABD＝＝120°，
而∠CBD＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°．
∵AC＝1，
∴BC＝2AC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等图形，多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．
15．（2022秋•海淀区校级期中）如图，两根旗杆AC和BD垂直于地面AB放置，它们相距AB＝12m．某人从点B出发，沿BA方向走了5m到达点M处．此时，他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角∠CMD＝90°，且CM＝DM，则可以推知旗杆AC的长是 5 m，旗杆BD的长是 7 m．
【分析】根据已知条件易证△CAM≌△MBD（AAS），根据全等三角形的性质可得AC＝BM，BD＝AM，进一步求解即可．
【解答】解：∵两根旗杆AC和BD垂直于地面AB放置，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠C+∠CMA＝90°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
∴∠C＝∠DMB，
在△CAM和△MBD中，
，
∴△CAM≌△MBD（AAS），
∴AC＝BM，BD＝AM，
∵BM＝5m，AB＝12m，
∴AC＝5m，BD＝AM＝12﹣5＝7（m），
故答案为：5，7．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16．（2022秋•和平区校级期中）如图，△ABC的周长为19cm，AB的垂直平分线DE交BC于点D，E为垂足，AE＝4cm，则△ACD的周长为 11cm ．
【分析】根据垂直平分线的性质计算．△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+BD+CD＝AC+BC．
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，E为垂足，
∴AD＝BD，AB＝2AE＝8cm，
∵△ABC的周长为19cm，
∴AC+BC＝11cm，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝11cm．
故答案为：11cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等．
17．（2022秋•和平区校级期中）如图，△ABC中，AF是∠BAC的外角∠EAB的平分线，交CB的延长线于点F，BG是∠ABC的外角∠DBC的平分线，交AC的延长线于点G，若AF＝BG＝AB，则∠F的大小＝ 48 （度）．
【分析】可设∠BAC的度数是x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到∠DBG＝2x度，根据角平分线的性质得到∠DBC＝4x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质和对顶角相等得到∠ABF＝4x，∠F＝4x，∠ACB＝3x，∠EAF＝7x，根据角平分线的性质得到∠BAF＝7x，再根据平角的定义即可求解．
【解答】解：设∠BAC的度数是x，
∵BG＝AB，
∴∠BAC＝∠G＝x，
∴∠DBG＝∠BAC+∠G＝2x，
∵BG是∠DBC的外角∠DBC的平分线，
∴∠DBC＝4x，
∴∠ABF＝∠DBC＝4x，
∵AB＝AF，
∴∠F＝∠ABF＝4x，
∴∠ACB＝3x，
∴∠EAF＝∠F+∠ACB＝7x，
∵AF是∠A的外角∠EAB的平分线，
∴∠BAF＝7x，
∴7x+7x+x＝180，
解得x＝12°，
∴∠F＝12°×4＝48°，
故答案为：48．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，关键是熟练掌握三角形外角的性质；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
18．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，下列结论：①AE＝CE；②BE＝DE；③BD⊥AC；④四边形ABCD的面积等于AC×BD．其中正确的有 ①③④ ．（填序号）
【分析】先证明△ABD≌△DBD，得∠ADB＝∠CDB，根据等腰三角形的“三线合一”得AE＝CE，BD⊥AC，可判断①正确、③正确；
若BE＝DE，则AC垂直平分BD，得AD＝AB，与已知条件不符，可知BE与DE不一定相等，可判断②错误；
由S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD，可求得S四边形ABCD＝AE•BD+CE•BD＝AC•BD，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：在△ABD和△DBD中，
，
∴△ABD≌△DBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∴AE＝CE，BD⊥AC，
故①正确、③正确；
若BE＝DE，则AC垂直平分BD，
∴AD＝AB，与已知条件不符，
∴BE与DE不一定相等，
故②错误；
∵S△ABD＝AE•BD，S△CBD＝CE•BD，
∴S△ABD+S△CBD＝AE•BD+CE•BD＝AC•BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝AC•BD，
故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角形的性质等知识，证明△ABD≌△DBD是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19．（2022秋•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，BF⊥CD于点E，交AC于点F．
（1）求证：∠BCD＝2∠ABF；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，（1）根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解；
（2）由∠A＝45°，CG⊥AB得出∠ACG＝45°，即得∠ACB＝45°+∠BCG，根据三角形外角定理得出∠BFC＝45°+∠ABF，由（1）知∠BCG＝∠ABF，可得∠BCF＝∠BFC，由“等角对等边”即可得解．
【解答】（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD，
即∴∠BCD＝2∠ABF；
（2）解：如图，△BCF是等腰三角形，
理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记“等角对等边”及“等边对等角”是解题的关键．
20．（2022秋•和平区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；
（3）△ABC的面积为：3×5﹣2×5﹣1×3﹣2×3＝．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
21．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，点E和点F分别在BA和BC边上，且BE＝BF，连接EF并延长交AC的延长线于点G，∠G＝20°，取EF的中点O，连接BO并延长交AC于点D．
（1）求∠BEF的度数；
（2）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，解答即可；
（2）根据三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：（1）∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠ABC＝50°，
∴，
即∠BEF的度数为65°；
（2）∵EF的中点为O，
∴OE＝OF，即BO是△BEF的中线，
又∵BE＝BF，
∴BO⊥EF，
∴∠DOG＝90°，
又∵∠G＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DOG﹣∠G＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
即∠BDC的度数为70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22．（2022秋•和平区校级期中）如图，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，BC的延长线交DE于点F．
求证：（1）△ACB≌△ADE；
（2）BC＝CF+EF．
【分析】（1）由ASA证明△ACB≌△ADE即可；
（2）连接AF，由全等三角形的性质得BC＝DE，再证Rt△ACF≌Rt△ADF（HL），得CF＝DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）在△ACB和△ADE中，
，
∴△ACB≌△ADE（ASA）；
（2）如图，连接AF，
由（1）可知，△ACB≌△ADE，
∴BC＝DE，
∵∠ACB＝∠ADE＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠ADF，
在Rt△ACF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ADF（HL），
∴CF＝DF，
∵DE＝DF+EF，
∴BC＝CF+EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．
请你补全下述证明过程：
证：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，，① BE ，② CF ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（ HL ）
∴DE＝DF．
∵DE＝DF， DE⊥AB ， DF⊥AC
∴AD平分∠BAC．
【分析】由DE⊥AB，DF⊥AC，得∠BED＝∠CFD＝90°即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△DBE≌Rt△DCF，得DE＝DF，再根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”证明AD平分∠BAC，于是得到问题的答案．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
故答案为：BE，CF，HL，DE⊥AB，DF⊥AC．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上等知识，证明Rt△DBE≌Rt△DCF是解题的关键．
24．（2022秋•和平区校级期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
【分析】（1）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG＝90°，需证明∠CAG＝∠BCF，利用三角形全等，易证．
（2）要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证CF＝AF，从而判断其形状．
【解答】（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∴∠BDE＝45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF＝90°．
∴∠BFD＝45°＝∠BDE．
∴BF＝DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD＝DB．
即BF＝CD．
在△CBF和△ACD中，
，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF＝∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA＝90°，
∴∠CAD+∠GCA＝90°．
即AD⊥CF．
（2）△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵CF＝AD，
∴CF＝AF，
∴△ACF是等腰三角形．
【点评】此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．
25．（2022秋•思明区校级期中）如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝7，AC＝5．则BE＝ 2 ；
（2）如图2，若AB＝7，AC＝5，△ACD的面积是10，求△ABC的面积；
（3）如图3，若∠C＝2∠B，AB＝m，AC＝n，请直接写出BD的长（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；
（2）过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可求出BD的长．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA＝∠EFA，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，
故答案为：2；
（2）过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴DF＝DE，
∵AC＝5，△ACD的面积是10，
∴DE＝4，
∴DF＝4，
∴S△ABD＝AB•DF＝×7×4＝14，
∴△ABC的面积＝24；
（3）在AB上取AN＝AC，
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠NAD＝∠CAD，
在△ADN与△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（SAS），
∴∠AND＝∠C，DN＝CD，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AND＝2∠B，
∴∠B＝∠BDN，
∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，
∴CD＝DN＝m﹣n，
根据△ABD和△ACD的高相等，面积比等于底之比可得：
＝，
∴＝，
∴BD＝﹣m．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积等知识，利用角的轴对称性构造全等三角形是解题的关键．
26．（2022秋•和平区校级期中）已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，点D是边BC，EF的中点．
（1）如图①，连接AD，GD，则∠ADC的大小＝ 90 （度）；∠GDF的大小＝ 90 （度）；
AD与GD的数量关系是 AD＝GD ；DC与DF的数量关系是 DC＝DF ；
（2）如图②，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小．
【分析】（1）如图①中，根据等边三角形的性质解答即可．
（2）如图连接AD，DG，利用等边三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①，连接AD，GD，∵△ABC是等边三角形，BD＝DC，则∠ADC的大小＝90°；
∵△EGF是等边三角形，ED＝DF，
∴∠GDF＝90°；
∵BC＝EF，
∴AD＝GD；DC＝DF；
故答案为：90；90；AD＝GD；DC＝DF．
（2）连接AD，DG，
由（1）得：∠ADC＝∠GDF＝90°，
∴∠ADC﹣∠GDC＝∠GDF﹣∠GDC，
即∠1＝∠2，
由（1）得：AD＝GD，
∴∠DGA＝∠DAG＝，
由（1）得：DC＝DF，
∴∠3＝∠DCF＝，
∴∠DGA＝∠3，
∵∠AMF＝∠AGF+∠5，
∴∠AMF＝∠DGA+∠5+∠4
＝∠3+∠5+∠4
＝180°﹣∠GDF
＝180°﹣90°
＝90°．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质解答．